七年级（上）数学期末考试卷（含解析）（苏科版）
文档属性
| 名称 | 七年级（上）数学期末考试卷（含解析）（苏科版） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 424.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年七年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3 ．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4 ．测试范围：苏科版2025七年级上册全册。
5 ．难度系数：0.85。
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ．下列各数中，与 2025 相等的是( )
A ． - (+2025) B ． + (-2025) C ． - -2025 D ． - (-2025)
2 ．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿” ，预计 2025 到年，中国 5G 用户将超过460000000 人，将数 460000000 用科学记数法表示为 ( )
A ． 4.6 × 108 B ． 46× 107 C ． 0.46× 109 D ． 4.6 × 107
3 ．下列运算中，正确的是( )
A ． a + b = ab B ． -3a2 - 2a2 = -5a4
C ． -3a2b + 2a2b = -a2b D ． -(a - 4) = -a - 4
4 ．下列说法中，正确的有（ ）个
①射线 AB 与射线BA 是同一条射线；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为 AM = MB ，所以点M 是 AB 的中点．
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
5 ．如图 A 、B 两点之间相距 4 个单位长度，B 、C 两点之间相距 6 个单位长度，现有一动点 P 从点 A 开始沿数轴的正方向运动到达点 C 停止，点 P 到 A、B、C 三点的距离之和的最大值为 m，最小值为 n．则m - n的值是 ( )
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A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
6 ．如图，已知长方形纸片 ABCD ，点 E 和点 F 分别在边 AD 和 BC 上，且∠EFC=37° , 点 H 和点 G 分别是边 AD 和 BC 上的动点，现将点A ，B ，C，D 分别沿 EF，GH 折叠至点 N，M，P ，K，若 MN∥PK，则∠KHD 的度数为 ( )
A ．37°或 143° B ．74°或 96° C ．37°或 105° D ．74°或 106°
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
7 ．比较大小： - +1.35 ．（填“ < ”、“ > ”或“= ”）
8 ． 上AOB = 60。， 上AOC = 15。，则 上BOC 的余角的度数为____________．
9 ．已知x = 2 是关于 x 的方程3a + 2x =9 - x 的解，那么关于y 的方程2 - ay = -1+ 2y 的解为____________．
10 ．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是____________（填序号）．
11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是____________．
12 ．如图，将一个三角尺60。角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若上1 = 20。，则上2 的度数是
.
____________
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13 ．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①) , 其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC 丄 AB ， ED AB ．经使用发现，当上DCB = 140O 时，台灯光线最佳，此时上EDC 的大小为____________．
14 ．如图① , 点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线OC , 上BOC = 120O ，三角板的顶点与点 O 重合，边OM 与OB重合，边 ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点 O 按10O / s 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第____________ s 时，直线 ON 恰好平分锐角 上 AOC （图②) .
15 ．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为 1 米，则长方形展板的面积是____________平方米．
16．如图，有一张三角形纸片 ABC ，上B = 50O ，上C = 32O，点D 是 AC 边上的固定点 请在BC上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与V ABC 的一边平行，则上CDF为____________度．
三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
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17 ．（本小题 8 分）计算：
18 ．（本小题 8 分）解方程：
(1)5x - 2(x -1) = x - 2 ；
19 ．（本小题 6 分） 已知 A = -3a2 + 3ab- 3 ， B = -10a2 + 3ab- 6 ．
(1)若a b = 4 ，求2A - B 的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
20 ．（本小题 8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1 ，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x -1 = 3 的解为x = 2 ，x +1 = 0 解为x= - 1 ，两个方程解之和为 1 ，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程4x - (x + 5) = 1 与方程-2y - y = 3 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程与方程3x = x + 4是互为“美好方程” ，求 m 的值．
21 ．（本小题 8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售. 已知甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有 m 的代数式填写下表：
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品 100 件，乙类纪念品 80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为 1080元， 问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
22 ．（本小题 8 分）按要求画图．
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(1)①如图①由点 A 到河边 l 的最短路线的依据是_________________．
②如果从点 A 经过点 B 再到河边 l ，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图② , 上AOB 内有一点 P ．过点 P 作PC∥OB交OA 于点 C，PD∥OA交OB 于点 D．
23 ．（本小题 8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)从正面看到的形状图是图____________ ，从左面看到的形状图是图____________ ，从上面看到的形状图是图____________ ；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm ，求这个几何体的表面积与体积．
24．（本小题 8 分）如图，已知 O 为直线AD 上一点，OC 是上AOB 内部一条射线且满足上AOB 与 上 AOC 互补， OM ， ON 分别为 上AOB ， 上 AOC 的角平分线．
(1)上COD 与上AOB 相等吗？请说明理由；
(2)若上AOB = 150O ，试求上AON 与上MON 的度数；
(3)若上MON = 52O ，试求上AOB 的度数．
25．（本小题 8 分）如图，已知线段 AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C 的右边．
在线段 AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆规找出点 E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
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26 ．（本小题 9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A ，点 B 表示的数分别为 a ，b ，则 A ，B 两点之间的距离为： AB= | a -b | ，线段 AB 的中点表示的数为 ．
【问题情境】 已知，点 A 、B 、O 在数轴上对应的数为 a 、b 、0 ，且满足a + 6 + (b -10)2 = 0 ，点 M、N分别从 O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒 1 个单位长度，N 的速度为每秒 3 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（ t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA =____________ ； OB = ____________；
(2)①用含 t 的代数式表示：t 秒后，点 M 表示的数为____________ ；点 N 表示的数为____________．
②当 t 为何值时，恰好有 AN = AM ？
(3)若点 P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，PQMN 的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时， PQMN 有最小值？最小值是多少？
27 ．（本小题 9 分）如图1 ，在上AOB 的内部引一条射线OC ，则图中共有3 个角，分别是 上AOB 、 上 AOC和 上BOC ．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是上AOB 的“定分线”．
(1)一个角的角平分线____________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若上MPN = 87 ，其中射线PQ 是 上MPN 的“定分线” ，请求出上MPQ 的度数；
(3)如图3 ，若上MPN = 140 ，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ 与PN成105 时停止旋转，旋转的时间为t 秒．同时射线PM绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ 同时停止旋转．请直接写出射线PQ 是上MPN“定分线”时t 的值．
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答案解析
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ．下列各数中，与 2025 相等的是 ( )
A ． - (+2025) B ． + (-2025) C ． - -2025 D ． - (-2025)
(
【答案】
D
【详解】解：
A
、
-
(
+
2025
)
= -
2025
，不符合题意；
B
、
+
(
-
2025
)
= -
2025
，不符合题意；
C
、
-
-
2025
= -
2025
，不符合题意；
D
、
-
(
-
2025
)
=
2025
，符合题意；
故选
D
．
)
2 ．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿” ，预计 2025 到年，中国 5G 用户将超过460000000 人，将数 460000000 用科学记数法表示为 ( )
A ． 4.6 × 108 B ． 46× 107 C ． 0.46× 109 D ． 4.6 × 107
(
【答案】
A
【详解】解：
460000000
=
4.6
×
10
8
，
故选：
A
．
)
3 ．下列运算中，正确的是( )
A ． a + b = ab B ． -3a2 - 2a2 = -5a4
C ． -3a2b + 2a2b = -a2b D ． -(a - 4) = -a - 4
(
【答案】
C
【详解】解：
A
、
a
+
b
≠
ab
，故
A
错误；
B
、
-
3
a
2
-
2
a
2
= -
5
a
2
≠ -
5
a
4
，故
B
错误；
C
、
-
3
a
2
b
+
2
a
2
b
= -
a
2
b
，故
C
正确；
D
、
-
(
a
-
4)
=
4
-
a
≠ -
a
-
4
，故
D
错误．
故选：
C
．
)
4 ．下列说法中，正确的有（ ）个
①射线 AB 与射线BA 是同一条射线；
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②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为AM = MB ，所以点M 是 AB 的中点．
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
(
【答案】
A
【详解】解：射线
AB
与射线
BA
不是同一条射线，端点不同，延伸方向也不同，故①错误；
连接两点的线段的长度，叫两点之间的距离，故②错误；
把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，故③错误；
因为
AM
=
MB
，若
M
在线段
AB
上，则点
M
是
AB
的中点，
故④错误；
即没有正确的说法，
故选：
A
．
)
5 ．如图 A 、B 两点之间相距 4 个单位长度，B 、C 两点之间相距 6 个单位长度，现有一动点 P 从点 A 开始沿数轴的正方向运动到达点 C 停止，点 P 到A、B 、C 三点的距离之和的最大值为 m ，最小值为 n ．则m - n的值是 ( )
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
【答案】B
【详解】解：点P 在线段AB上(0 ≤ PB ≤ 4) ，
PA + PB + PC = AB +(PB + BC) = 4 + PB + 6 = 10 + PB ， 0 ≤ PB ≤ 4, :10 ≤ PA + PB + PC ≤ 14 ；
点P 在线段CB上(0 ≤ PB ≤ 6)，
PA + PB + PC = (AB + BP) + PB + PC = 4 + BP + PC = 4 + BP + 6 = 10 + PB ， 0 ≤ PB ≤ 6 ，
:10 ≤ PA + PB + PC ≤ 16 ，
综上： 10 ≤ PA + PB + PC ≤ 16.
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(
∴最大值为
m
=
16
，最小值为
n
=
10
，
∴
m
-
n
=
16
-
10
=
6
，
故选：
B
．
)
6 ．如图，已知长方形纸片 ABCD ，点 E 和点 F 分别在边 AD 和 BC 上，且∠EFC=37° , 点 H 和点 G 分别是边 AD 和 BC 上的动点，现将点A ，B ，C，D 分别沿 EF，GH 折叠至点 N，M，P ，K，若 MN∥PK，则∠ KHD 的度数为 ( )
A ．37°或 143° B ．74°或 96° C ．37°或 105° D ．74°或 106°
【答案】D
【详解】解：①当PK 在 AD 上方时，延长MN 、 KH 相交于点Q ，如图所示
∵ MN ∥ PK ， ∴∠K = ∠Q ，
∵ 上K = 90O ， ∴ 上Q = 90O，
∵ 上MNE = 90O ， ∴∠MNE = ∠Q ， ∴EN ∥KQ ， ∴∠AEN = ∠AHQ ， ∵ 上EFC = 37O ， AD∥BC ， ∴ ∠AEF=∠EFC = 37O ，
∵翻折， ∴ ∠AEF=∠NEF = 37O ， ∴ ∠AEN = 74O ， ∴∠AHQ = 74O ， ∵∠KHD = ∠AHQ ， ∴ ∠KHD = 74O ，
②当PK 在BC 下方时，延长MN 、 HK 相交于点O ，如图所示
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∵ MN ∥ PK ， ∴ ∠O = ∠OKP = 90O ，
∵ 上MNE = 90O ， ∴ ∠MNE = ∠O ， ∴ EN ∥ HO ， ∴ ∠AEN = ∠AHO ， ∵ 上EFC = 37O ， AD∥BC ， ∴ ∠AEF=∠EFC = 37O ，
∵翻折， ∴ ∠AEF=∠NEF = 37O ， ∴ ∠AEN = 74O ， ∴ ∠AHO = 74O ， ∵ ∠AHO +∠KHD = 180O ， ∴ ∠KHD = 106O ，
故选 D．
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
(
(
2
)
) (
1.35
．（
填
“
<
”
、
“
>
”
或
“
=
”
）
) (
____________
-
+
)7 ．比较大小： - |(-15 ,
(
【答案】
>
【详解】解：
-
(|
(
-
1
)
,
=
1
，
-
+
1.35
i
= -
1.35
，
1
> -
1.35
，
)
(
(
2
)
故
-
|(
-
1
5
,
> -
+
1.35
，
)
(
故答案为：
>
．
)
8 ． 上AOB = 60 O ， 上AOC = 15O ，则 上BOC 的余角的度数为____________．
【答案】 45O 或15O
【详解】解：当射线OC 在上AOB 内部时，
∵ 上AOB = 60 O ， 上AOC = 15O ，
(
∴
上
BOC
= 上
AOB
-
上
AOC
=
60
O
-
15
O =
45
O
，
)
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∴ 上BOC 的余角的度数为90o — 45o = 45o ；当射线OC 在上AOB 的外部时，
∵ 上AOB = 60 o ， 上AOC = 15o ，
∴ 上BOC = 上AOB + 上AOC = 60o +15o = 75o ，
∴ 上BOC 的余角的度数为90o — 75o = 15o，
综上所述， 上BOC 的余角的度数为 45o 或15o ．故答案为： 45o 或15o ．
9 ．已知x = 2 是关于 x 的方程3a + 2x =9 — x 的解，那么关于y 的方程2 — ay = —1+ 2y 的解为____________．
(
【答案】
y
=
1
【详解】把
x
=
2
代入方程
3
a
+
2
x
=
9
—
x
中得：
3
a
+
4
=
7
，
解得：
a
=
1
，
将
a
=
1
代入方程
2
—
ay
= —
1
+
2
y
得：
2
—
y
= —
1
+
2
y
，
解得：
y
=
1
，
故答案为：
y
=
1
．
)
10 ．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是____________（填序号）．
(
【答案】①②③
【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实
“
两点确定一条直线
”
；
②建筑工人砌墙，体现了基本事实
“
两点确定一
条直线
”
；
③会场摆直茶杯，体现了基本事实
“
两点确定一
条直线
”
；
④弯河道改直，体现了基本事实
“
两点之间线段最短
”
；
所以，在上列现象中，体现了基本事实
“
两点确定一条直线
”
的有①②③
,
故答案为：①②③.
)
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11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是____________．
(
【答案】三棱柱
【详解】根据题意得，有
2
个三角形的面，
3
个长方形的面，
∴围成的几何体名称是三棱柱．
故答案为：三棱柱．
)
12 ．如图，将一个三角尺60O 角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若上1 = 20O ，则上2 的度数是
.
____________
(
【答案】
50
O
【详解】解：
∵
上
BAC
=
60
O
，
上
1
=
20
O
，
∴
上
CAE
= 上
BAC
—上
1
=
60
O
—
20
O
=
40
O
，
又∵
上
DAE
=
90
O
，
∴
上
2
= 上
DAE
—上
CAE
=
90
O
—
40
O =
50
O
，
故答案为：
50
O
．
)
13 ．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①) , 其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC 丄 AB ， ED AB ．经使用发现，当上DCB = 140O 时，台灯光线最佳，此时上EDC 的大小为
.
____________
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【答案】 130O
【详解】解：如图所示，过点C 作CK∥AB ，
∵ DE ∥AB ， ∴ CK ∥DE ，
BC 丄 AB ，
: BC 丄 CK ，
:上BCK = 90O，
上DCB = 140O ，
: 上DCK = 上DCB — 上BCK = 50O ， ∵ CK ∥DE ，
: 上EDC + 上DCK = 180O ，
:上EDC = 130O ．故答案为： 130O ．
14 ．如图① , 点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线OC , 上BOC = 120O ，三角板的顶点与点 O 重合，边OM 与OB重合，边ON 在直线 AB 的下方．若三角板绕点 O 按10O / s 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第____________ s 时，直线ON 恰好平分锐角 上 AOC （图②) .
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【答案】6 或 24
【详解】解： 上BOC = 120o，
: 上AOC = 60 o，
当直线ON 恰好平分锐角 上 AOC 时，如图：
上BON = 上AOC = 30o，
此时，三角板旋转的角度为90o — 30o = 60o ， : t = 60o ÷ 10o = 6 ；
当ON 在 上 AOC 的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360o — 90o — 30o = 240o ， : t = 240o ÷ 10o = 24 ；
: t 的值为：6 或 24．故答案为：6 或 24．
15 ．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为 1 米，则长方形展板的面积是____________平方米．
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(
【答案】
130
【详解】解：设第二小的正方形的边长是
x
米，则五种正方形的边长从小
到大依次是
1
米，
x
米，
(
x
+
1
)
米，
(
x
+
3
)
米，
(
x
+
4
)
米，
根据长方形展板上下对边相等，得
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
=
3
x
+
(
x
+
1
)
，
解得
x
=
3
，
:
展板的长是
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
=
2
x
+
7
=
13
（米）
,
展板的宽是
x
+
(
x
+
4
)
=
2
x
+
4
=
10
（米
），
:
长方形展板的面积是
13
×
10
=
130
（平方米
）．
故答案为：
130
．
)
16．如图，有一张三角形纸片 ABC ，上B = 50O ，上C = 32O，点D 是 AC 边上的固定点（ CD < AC ），请在BC上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与V ABC 的一边平行，则上CDF 为____________度．
【答案】 74 或33 或123 或58
【详解】解： 由题意知，分EF∥AC ， EF ∥ AB ， EF ∥ BC 三种情况求解；当EF∥AC 时，如图，
∴ 上EFB = 上C = 32O ，
第 15 页 共 25 页
由折叠可知， 上CFD = 上EFD ∴ 上CDF = 180O — 上C — 上CFD = 74O ；
当EF ∥ AB 时，如图，延长EF 交AC 于M ，
∴ 上CFM = 上B = 50O ，
∴ 上BFE = 上CFM = 50O ，
由折叠可得， 上DFC O ， ∴ 上CDF = 180O — 上DFC — 上C = 33O ；
当EF ∥ AB 时，如图，
∴ 上CFE = 上B = 50O ，
由折叠可得， 上CFD = 上CFE = 25O ， ∴ 上CDF = 180O — 上CFD — 上C = 123O ，当EF ∥ BC 时，如图， DF 丄 BC ，
∴ 上CDF = 180O — 90O — 上C = 58O ，
综上所述， 上CDF 的度数为74O 或33O 或123O 或58O ，故答案为： 74 或33 或123 或58 ．
第 16 页 共 25 页
三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17 ．（本小题 8 分）计算：
(
【详解】（
1
）解：
—
2
3
—
「
L
|
—
3
+
(
—
3
)
2
÷
(|
(
—
)
,
=
—
8
—
—
3
+
9
×
(
—
6
)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
=
—
8
—
(
—
3
—
54
)
=
—
8
+
3
+
54
=
49
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：
(|
(
—
+
—
)
,
×
(
—
36
)
=
—
)
+
)
—
)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
=
24
—
20
+
21
=
25
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
第 17 页 共 25 页
18 ．（本小题 8 分）解方程：
(1)5x — 2(x —1) = x — 2 ；
(
【详解】（
1
）解：
5
x
—
2
(
x
—
1
)
=
x
—
2
，
去括号，得
5
x
—
2
x
+
2
=
x
—
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
移项，得
5
x
—
2
x
—
x
=
—
2
—
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
合并同类项，得
2
x
= —
4
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
系数化为
1
，得
x
=
—
2
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：
去分母，得
2
(
2
x
—
1
)
+
6
=
3
(
x
—
2
)
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
去括号，得
4
x
—
2
+
6
=
3
x
—
6
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
移项，得
4
x
—
3
x
=
—
6
+
2
—
6
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
合并同类项，得
x
= —
10
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
19 ．（本小题 6 分） 已知 A = -3a2 + 3ab- 3 ， B = -10a2 + 3ab- 6 ． (1)若a = - ，b = 4 ，求2A - B 的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
(
【详解】（
1
）解：
∵
A
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
，
B
= -
10
a
2
+
3
ab
-
6
∴
2
A
-
B
=
2
(
-
3
a
2
+
3
ab
-
3
)
-
(
-
10
a
2
+
3
ab
-
6
)
=
-
6
a
2
+
6
ab
-
6
+
10
a
2
-
3
ab
+
6
=
4
a
2
+
3
ab
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
当
a
= -
，
b =
4
时，原式
=
4
×
|(
(
-
)
,
2
+
3
×
|(
(
-
)
,
×
4
=
1
-
6
= -
5
；
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
（
2
）解：
A
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
，
B
= -
10
a
2
+
3
ab
-
6
∴
A
-
B
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
-
(
-
10
a
2
+
3
ab
-
6
)
=
-
3
a
2
+
3
ab
-
3
+
10
a
2
-
3
ab
+
6
=
7
a
2
+
3
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
∵
a
2
≥
0
∴
7
a
2
+
3
>
0
，即
A
-
B
>
0
，
∴
A
>
B
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
)
20 ．（本小题 8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1 ，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x -1 = 3 的解为x = 2 ，x +1 = 0 解为x= - 1 ，两个方程解之和为 1 ，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程4x - (x + 5) = 1 与方程-2y - y = 3 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程 + m = 0 与方程3x = x + 4是互为“美好方程” ，求 m 的值．
(
【详解】（
1
）解：解方程
4
x
-
(
x
+
5
)
=
1
得：
x
=
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
解方程
-
2
y
-
y
=
3
得：
y
= -
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
∴
x
+
y
=
2
-
1
=
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
)
第 18 页 共 25 页
(
∴方程
4
x
-
(
x
+
5
)
=
1
与方程
-
2
y
-
y
=
3
是互为
“
美好方程
”
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：关于
x
的方程
+
m
=
0
的解为：
x
= -
2
m
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
方程
3
x
=
x
+
4
的解为
x
=
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
∵关于
x
的方程
+
m
=
0
与方程
3
x
=
x
+
4
是互为
“
美好方程
”
，
∴
-
2
m
+
2
=
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
解得：
m
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
21 ．（本小题 8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售. 已知甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5 元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％ ，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有 m 的代数式填写下表：
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品 100 件，乙类纪念品 80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为 1080 元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
【详解】（1）解： ∵甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5 元/件、若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60% ，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40% ， ∴乙类纪念品的进价为(m + 5) 元/件，每件甲类纪念品的售价是(1+ 60%)m = 1.6m 元/件，每件乙类纪念品的售价是(1+ 40%)(m + 5)= 1.4 (m + 5 ) 元/件， 故可填写下表： … … … … … … … … … … … … … … … … … …4 分
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m 1.6m
乙类纪念品 m + 5 1.4 (m + 5)
(
（
2
）解：该商店分别购进甲类纪念品
100
件，乙类纪念品
80
件，两类纪念品全部售出后
所得的总利润为
1080
元，
)
第 19 页 共 25 页
(
∵
100
×
60%
m
+
80
×
40%
（
m
+
5
）
=
1080
，
解得，
m
=
10
，
m
+
5
=
15
（元
），
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为
10
元和
15
元．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
22 ．（本小题 8 分）按要求画图．
(1)①如图①由点 A 到河边 l 的最短路线的依据是_________________．
②如果从点 A 经过点 B 再到河边 l ，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图② , 上AOB 内有一点 P ．过点 P 作PC∥OB交OA 于点 C，PD∥OA交OB 于点 D．
【详解】（1）解：①由点 A 到河边l 的最短路线的依据是：垂线段最短，故答案为：垂线段最短；
②如图， A — B — C 即为所求作：
第 20 页 共 25 页
………………………………………………
4 分
（2）解：如图， PC 、 PD 即为所求作：
………………………………………………
8 分
23 ．（本小题 8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)从正面看到的形状图是图____________ ，从左面看到的形状图是图____________ ，从上面看到的形状图是图____________ ；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm ，求这个几何体的表面积与体积．
(
【详解】（
1
）解：由题意可得，从正面、左面、上面看到的平面图形分别是①
,
②
,
③
,
故答案为：①
,
②
,
③.
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
（
2
）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生
改变，
则这个几何体的表面积为：
2
×
(
20
×
20
+
20
×
20
+
2
0
×
20
)
=
2
×
1200
=
2400cm
2
，
…
…
…
…
…
…
…5
分
这个几何体的体积为：
20
×
20
×
20
-
10
×
10
×
10
=
7000cm
3
，
…
…
…
…
…
…
…
7
分
答：这个几何体的表面积与体积分别为
2400cm
2
，
7000c
m
3
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
24．（本小题 8 分）如图，已知 O 为直线AD 上一点，OC 是上AOB 内部一条射线且满足上AOB 与 上 AOC 互补， OM ， ON 分别为 上AOB ， 上 AOC 的角平分线．
(1)上COD 与上AOB 相等吗？请说明理由；
(2)若上AOB = 150O ，试求上AON 与上MON 的度数；
(3)若上MON = 52O ，试求上AOB 的度数．
【详解】（1）解： 上COD = 上AOB ；理由如下：
上AOC 与 上AOB 互补，
:上AOC + 上AOB = 180O ，
上AOC + 上DOC = 180O ，
:上COD = 上AOB ； … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 分
（2）解： ∵ 上AOB 与上AOC 互补， 上AOB = 150O ， ∴ 上AOC = 180O -150O = 30O ，
∵ ON 为上AOC 的角平分线，
∴ 上AON = 上AOC = ×30 O =15 O，
∵ OM 为上AOB 的角平分线， 上AOB = 150O ，
第 21 页 共 25 页
(
∴
上
MON
= 上
AOM
一 上
AON
=
75
O
一
15
O =
60
O
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
（
3
）解：
∵
OM
，
ON
分别为
上
AOB
，
上
AOC
的角平分线，
∴
上
AOM
上
AOB
，
上
AOM
上
AOC
，
∴
上
MON
= 上
AOM
一
上
AON
上
AOB
一
上
AOC
O
，
∴
上
AOB
一
上
AOC
=
104
O
①
,
∵
上
AOB
+
上
AOC
=
180
O
②
,
①
+
②
得
上
AOB
=
142
O
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
25．（本小题 8 分）如图，已知线段 AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C 的右边．
在线段AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆规找出点 E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
(
【详解】解：存在，理由如下，
以点
D
为圆心，
以
BD
长为半径画弧，交
AC
于点
E
，
E
即为所求作，如图，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
理由：
∵
DE
=
BD
=
AB
，
∴
AE
=
AB
，
∴
AE
=
DE
=
AD
，
∴
E
是
AD
的中点，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
∵点
C
是
AB
的中点，
∴
AC
=
BC
AB
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
∴
CD
=
BC
一
BD
=
AB
一
AB
=
AB
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
∴
CE
=
CD
DE
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
∴
C
是
DE
的中点．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…8
分
)
26 ．（本小题 9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研
第 22 页 共 25 页
究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A ，点 B 表示的数分别为 a ，b ，则 A ，B 两点之间的距离为： AB= | a b | ，线段 AB 的中点表示的数为 ．
【问题情境】已知，点 A 、B 、O 在数轴上对应的数为 a 、b 、0 ，且满足a + 6 + (b 10)2 = 0 ，点 M、N 分别从 O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒 1 个单位长度，N 的速度为每秒 3 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（ t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA = ____________ ； OB = ____________；
(2)①用含 t 的代数式表示：t 秒后，点 M 表示的数为____________ ；点 N 表示的数为____________．
②当 t 为何值时，恰好有 AN = AM ？
(3)若点 P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，PQ + MN 的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时， PQ + MN 有最小值？最小值是多少？
(
【详解】（
1
）解：由题意得：
6
+
a
=
0
，
b
-
10
=
0
，
解得：
a
=
6
，
b
=10
，
\
OA
=
6
，
OB
=10
，
故答案为：
6
，
10
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
（
2
）解：①
M
，
N
都是向左运动，
M
的速度为每秒
1
个单位长度，
N
的速度为每秒
3
个单位长度，
\
M
：
-
t
，
N
：
10
-
3
t
，
故答案为：
t
，
10
3
t
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
②由题意得：
6
+
t
=
6
(
10
3
t
)
，
解得：
t
1
=
5.5
，
t
2
=
5
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
（
3
）解：
P
为线段
AM
的中点，
Q
为线段
BN
的中点，
:
点
P
表示的数为
：
，
点
Q
表示的数为：
t
，
点
M
表示的数是
t
，点
N
表示的数是
10
3
t
，
:
MN
=
t
(
10
3
t
)
＝
2
t
10
，
)
第 23 页 共 25 页
(
2
) (
①当
t
≤
5
时，
PQ
+
MN
=
13
一
t
+
t
一
5
=
13
一
t
+
5
一
t
=
18
一
2
t
，
一
2
<
0
\
PQ
+
MN
的值随
t
的值的增大而减小，
:
当
t
=5
时，
PQ
+
MN
取得最小值，最小值为
8
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
②当
5
<
t
<
13
时，
PQ
+
MN
=
13
-
t
+
t
-
5
=
8
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
③当
t
≥
13
时，
PQ
+
MN
=
t
-
13
+
t
-
5
=
2
t
-
18
，
2
>
0
，
\
PQ
+
MN
的值随
t
的值的增大而增大，
:
当
t
=13
时，
PQ
MN
取得最小值，最小值为
8
，
∴当
5s
＃
t
13s
时，
PQ
+
MN
取得最小值，最小
值是
8
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
9
分
1
)
27 ．（本小题 9 分）如图1 ，在上 AOB 的内部引一条射线OC ，则图中共有3 个角，分别是 上 AOB 、 上 AOC和 上BOC ．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是上 AOB 的“定分线”．
(1)一个角的角平分线____________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若上MPN = 87 ，其中射线PQ 是 上MPN 的“定分线” ，请求出上MPQ 的度数；
(3)如图3 ，若上MPN = 140 ，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成105时停止旋转，旋转的时间为t 秒．同时射线PM 绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ 同时停止旋转．请直接写出射线PQ 是上MPN“定分线”时t 的值．
(
【详解】（
1
）解：一个角的角平分线是这个角的
“
定分线
”
，
故答案为：是；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
（
2
）解：①当
PQ
是
上
MPN
的角平分线时，
上
MPQ
上
MPN
=
43.5
o
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
②当
PQ
是
上
MPN
的三等分线时，且
上
MPQ
更小时，
上
MPQ
上
MPN
=
29
o
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
)
第 24 页 共 25 页
③当PQ 是 上MPN 的三等分线时，且上MPQ 更大时，上MPQ 上MPN = 58o ；
综上， 上MPQ 的度数为43.5o 或29o 或58o ； … … … … … … … … … … … … … … … … … …4 分（3）解：①当上QPN 上MPN 时，如图，
则 ，解得t
第 25 页 共 25 页
………………………………………………
5 分
②当上QPN = 上MPN 时，如图，则 解得t = ；
………………………………………………
6 分
③当上QPN = 上MPN 时，如图，
则15t = 140 -10t) ，解得t … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
综上，t 的值为或 或 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … …9 分
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3 ．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4 ．测试范围：苏科版2025七年级上册全册。
5 ．难度系数：0.85。
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ．下列各数中，与 2025 相等的是( )
A ． - (+2025) B ． + (-2025) C ． - -2025 D ． - (-2025)
2 ．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿” ，预计 2025 到年，中国 5G 用户将超过460000000 人，将数 460000000 用科学记数法表示为 ( )
A ． 4.6 × 108 B ． 46× 107 C ． 0.46× 109 D ． 4.6 × 107
3 ．下列运算中，正确的是( )
A ． a + b = ab B ． -3a2 - 2a2 = -5a4
C ． -3a2b + 2a2b = -a2b D ． -(a - 4) = -a - 4
4 ．下列说法中，正确的有（ ）个
①射线 AB 与射线BA 是同一条射线；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为 AM = MB ，所以点M 是 AB 的中点．
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
5 ．如图 A 、B 两点之间相距 4 个单位长度，B 、C 两点之间相距 6 个单位长度，现有一动点 P 从点 A 开始沿数轴的正方向运动到达点 C 停止，点 P 到 A、B、C 三点的距离之和的最大值为 m，最小值为 n．则m - n的值是 ( )
第 1 页 共 25 页
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
6 ．如图，已知长方形纸片 ABCD ，点 E 和点 F 分别在边 AD 和 BC 上，且∠EFC=37° , 点 H 和点 G 分别是边 AD 和 BC 上的动点，现将点A ，B ，C，D 分别沿 EF，GH 折叠至点 N，M，P ，K，若 MN∥PK，则∠KHD 的度数为 ( )
A ．37°或 143° B ．74°或 96° C ．37°或 105° D ．74°或 106°
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
7 ．比较大小： - +1.35 ．（填“ < ”、“ > ”或“= ”）
8 ． 上AOB = 60。， 上AOC = 15。，则 上BOC 的余角的度数为____________．
9 ．已知x = 2 是关于 x 的方程3a + 2x =9 - x 的解，那么关于y 的方程2 - ay = -1+ 2y 的解为____________．
10 ．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是____________（填序号）．
11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是____________．
12 ．如图，将一个三角尺60。角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若上1 = 20。，则上2 的度数是
.
____________
第 2 页 共 25 页
13 ．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①) , 其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC 丄 AB ， ED AB ．经使用发现，当上DCB = 140O 时，台灯光线最佳，此时上EDC 的大小为____________．
14 ．如图① , 点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线OC , 上BOC = 120O ，三角板的顶点与点 O 重合，边OM 与OB重合，边 ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点 O 按10O / s 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第____________ s 时，直线 ON 恰好平分锐角 上 AOC （图②) .
15 ．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为 1 米，则长方形展板的面积是____________平方米．
16．如图，有一张三角形纸片 ABC ，上B = 50O ，上C = 32O，点D 是 AC 边上的固定点 请在BC上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与V ABC 的一边平行，则上CDF为____________度．
三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
第 3 页 共 25 页
17 ．（本小题 8 分）计算：
18 ．（本小题 8 分）解方程：
(1)5x - 2(x -1) = x - 2 ；
19 ．（本小题 6 分） 已知 A = -3a2 + 3ab- 3 ， B = -10a2 + 3ab- 6 ．
(1)若a b = 4 ，求2A - B 的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
20 ．（本小题 8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1 ，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x -1 = 3 的解为x = 2 ，x +1 = 0 解为x= - 1 ，两个方程解之和为 1 ，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程4x - (x + 5) = 1 与方程-2y - y = 3 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程与方程3x = x + 4是互为“美好方程” ，求 m 的值．
21 ．（本小题 8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售. 已知甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有 m 的代数式填写下表：
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品 100 件，乙类纪念品 80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为 1080元， 问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
22 ．（本小题 8 分）按要求画图．
第 4 页 共 25 页
(1)①如图①由点 A 到河边 l 的最短路线的依据是_________________．
②如果从点 A 经过点 B 再到河边 l ，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图② , 上AOB 内有一点 P ．过点 P 作PC∥OB交OA 于点 C，PD∥OA交OB 于点 D．
23 ．（本小题 8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)从正面看到的形状图是图____________ ，从左面看到的形状图是图____________ ，从上面看到的形状图是图____________ ；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm ，求这个几何体的表面积与体积．
24．（本小题 8 分）如图，已知 O 为直线AD 上一点，OC 是上AOB 内部一条射线且满足上AOB 与 上 AOC 互补， OM ， ON 分别为 上AOB ， 上 AOC 的角平分线．
(1)上COD 与上AOB 相等吗？请说明理由；
(2)若上AOB = 150O ，试求上AON 与上MON 的度数；
(3)若上MON = 52O ，试求上AOB 的度数．
25．（本小题 8 分）如图，已知线段 AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C 的右边．
在线段 AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆规找出点 E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
第 5 页 共 25 页
26 ．（本小题 9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A ，点 B 表示的数分别为 a ，b ，则 A ，B 两点之间的距离为： AB= | a -b | ，线段 AB 的中点表示的数为 ．
【问题情境】 已知，点 A 、B 、O 在数轴上对应的数为 a 、b 、0 ，且满足a + 6 + (b -10)2 = 0 ，点 M、N分别从 O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒 1 个单位长度，N 的速度为每秒 3 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（ t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA =____________ ； OB = ____________；
(2)①用含 t 的代数式表示：t 秒后，点 M 表示的数为____________ ；点 N 表示的数为____________．
②当 t 为何值时，恰好有 AN = AM ？
(3)若点 P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，PQMN 的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时， PQMN 有最小值？最小值是多少？
27 ．（本小题 9 分）如图1 ，在上AOB 的内部引一条射线OC ，则图中共有3 个角，分别是 上AOB 、 上 AOC和 上BOC ．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是上AOB 的“定分线”．
(1)一个角的角平分线____________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若上MPN = 87 ，其中射线PQ 是 上MPN 的“定分线” ，请求出上MPQ 的度数；
(3)如图3 ，若上MPN = 140 ，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ 与PN成105 时停止旋转，旋转的时间为t 秒．同时射线PM绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ 同时停止旋转．请直接写出射线PQ 是上MPN“定分线”时t 的值．
第 6 页 共 25 页
答案解析
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ．下列各数中，与 2025 相等的是 ( )
A ． - (+2025) B ． + (-2025) C ． - -2025 D ． - (-2025)
(
【答案】
D
【详解】解：
A
、
-
(
+
2025
)
= -
2025
，不符合题意；
B
、
+
(
-
2025
)
= -
2025
，不符合题意；
C
、
-
-
2025
= -
2025
，不符合题意；
D
、
-
(
-
2025
)
=
2025
，符合题意；
故选
D
．
)
2 ．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿” ，预计 2025 到年，中国 5G 用户将超过460000000 人，将数 460000000 用科学记数法表示为 ( )
A ． 4.6 × 108 B ． 46× 107 C ． 0.46× 109 D ． 4.6 × 107
(
【答案】
A
【详解】解：
460000000
=
4.6
×
10
8
，
故选：
A
．
)
3 ．下列运算中，正确的是( )
A ． a + b = ab B ． -3a2 - 2a2 = -5a4
C ． -3a2b + 2a2b = -a2b D ． -(a - 4) = -a - 4
(
【答案】
C
【详解】解：
A
、
a
+
b
≠
ab
，故
A
错误；
B
、
-
3
a
2
-
2
a
2
= -
5
a
2
≠ -
5
a
4
，故
B
错误；
C
、
-
3
a
2
b
+
2
a
2
b
= -
a
2
b
，故
C
正确；
D
、
-
(
a
-
4)
=
4
-
a
≠ -
a
-
4
，故
D
错误．
故选：
C
．
)
4 ．下列说法中，正确的有（ ）个
①射线 AB 与射线BA 是同一条射线；
第 7 页 共 25 页
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为AM = MB ，所以点M 是 AB 的中点．
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
(
【答案】
A
【详解】解：射线
AB
与射线
BA
不是同一条射线，端点不同，延伸方向也不同，故①错误；
连接两点的线段的长度，叫两点之间的距离，故②错误；
把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，故③错误；
因为
AM
=
MB
，若
M
在线段
AB
上，则点
M
是
AB
的中点，
故④错误；
即没有正确的说法，
故选：
A
．
)
5 ．如图 A 、B 两点之间相距 4 个单位长度，B 、C 两点之间相距 6 个单位长度，现有一动点 P 从点 A 开始沿数轴的正方向运动到达点 C 停止，点 P 到A、B 、C 三点的距离之和的最大值为 m ，最小值为 n ．则m - n的值是 ( )
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
【答案】B
【详解】解：点P 在线段AB上(0 ≤ PB ≤ 4) ，
PA + PB + PC = AB +(PB + BC) = 4 + PB + 6 = 10 + PB ， 0 ≤ PB ≤ 4, :10 ≤ PA + PB + PC ≤ 14 ；
点P 在线段CB上(0 ≤ PB ≤ 6)，
PA + PB + PC = (AB + BP) + PB + PC = 4 + BP + PC = 4 + BP + 6 = 10 + PB ， 0 ≤ PB ≤ 6 ，
:10 ≤ PA + PB + PC ≤ 16 ，
综上： 10 ≤ PA + PB + PC ≤ 16.
第 8 页 共 25 页
(
∴最大值为
m
=
16
，最小值为
n
=
10
，
∴
m
-
n
=
16
-
10
=
6
，
故选：
B
．
)
6 ．如图，已知长方形纸片 ABCD ，点 E 和点 F 分别在边 AD 和 BC 上，且∠EFC=37° , 点 H 和点 G 分别是边 AD 和 BC 上的动点，现将点A ，B ，C，D 分别沿 EF，GH 折叠至点 N，M，P ，K，若 MN∥PK，则∠ KHD 的度数为 ( )
A ．37°或 143° B ．74°或 96° C ．37°或 105° D ．74°或 106°
【答案】D
【详解】解：①当PK 在 AD 上方时，延长MN 、 KH 相交于点Q ，如图所示
∵ MN ∥ PK ， ∴∠K = ∠Q ，
∵ 上K = 90O ， ∴ 上Q = 90O，
∵ 上MNE = 90O ， ∴∠MNE = ∠Q ， ∴EN ∥KQ ， ∴∠AEN = ∠AHQ ， ∵ 上EFC = 37O ， AD∥BC ， ∴ ∠AEF=∠EFC = 37O ，
∵翻折， ∴ ∠AEF=∠NEF = 37O ， ∴ ∠AEN = 74O ， ∴∠AHQ = 74O ， ∵∠KHD = ∠AHQ ， ∴ ∠KHD = 74O ，
②当PK 在BC 下方时，延长MN 、 HK 相交于点O ，如图所示
第 9 页 共 25 页
∵ MN ∥ PK ， ∴ ∠O = ∠OKP = 90O ，
∵ 上MNE = 90O ， ∴ ∠MNE = ∠O ， ∴ EN ∥ HO ， ∴ ∠AEN = ∠AHO ， ∵ 上EFC = 37O ， AD∥BC ， ∴ ∠AEF=∠EFC = 37O ，
∵翻折， ∴ ∠AEF=∠NEF = 37O ， ∴ ∠AEN = 74O ， ∴ ∠AHO = 74O ， ∵ ∠AHO +∠KHD = 180O ， ∴ ∠KHD = 106O ，
故选 D．
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
(
(
2
)
) (
1.35
．（
填
“
<
”
、
“
>
”
或
“
=
”
）
) (
____________
-
+
)7 ．比较大小： - |(-15 ,
(
【答案】
>
【详解】解：
-
(|
(
-
1
)
,
=
1
，
-
+
1.35
i
= -
1.35
，
1
> -
1.35
，
)
(
(
2
)
故
-
|(
-
1
5
,
> -
+
1.35
，
)
(
故答案为：
>
．
)
8 ． 上AOB = 60 O ， 上AOC = 15O ，则 上BOC 的余角的度数为____________．
【答案】 45O 或15O
【详解】解：当射线OC 在上AOB 内部时，
∵ 上AOB = 60 O ， 上AOC = 15O ，
(
∴
上
BOC
= 上
AOB
-
上
AOC
=
60
O
-
15
O =
45
O
，
)
第 10 页 共 25 页
∴ 上BOC 的余角的度数为90o — 45o = 45o ；当射线OC 在上AOB 的外部时，
∵ 上AOB = 60 o ， 上AOC = 15o ，
∴ 上BOC = 上AOB + 上AOC = 60o +15o = 75o ，
∴ 上BOC 的余角的度数为90o — 75o = 15o，
综上所述， 上BOC 的余角的度数为 45o 或15o ．故答案为： 45o 或15o ．
9 ．已知x = 2 是关于 x 的方程3a + 2x =9 — x 的解，那么关于y 的方程2 — ay = —1+ 2y 的解为____________．
(
【答案】
y
=
1
【详解】把
x
=
2
代入方程
3
a
+
2
x
=
9
—
x
中得：
3
a
+
4
=
7
，
解得：
a
=
1
，
将
a
=
1
代入方程
2
—
ay
= —
1
+
2
y
得：
2
—
y
= —
1
+
2
y
，
解得：
y
=
1
，
故答案为：
y
=
1
．
)
10 ．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是____________（填序号）．
(
【答案】①②③
【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实
“
两点确定一条直线
”
；
②建筑工人砌墙，体现了基本事实
“
两点确定一
条直线
”
；
③会场摆直茶杯，体现了基本事实
“
两点确定一
条直线
”
；
④弯河道改直，体现了基本事实
“
两点之间线段最短
”
；
所以，在上列现象中，体现了基本事实
“
两点确定一条直线
”
的有①②③
,
故答案为：①②③.
)
第 11 页 共 25 页
11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是____________．
(
【答案】三棱柱
【详解】根据题意得，有
2
个三角形的面，
3
个长方形的面，
∴围成的几何体名称是三棱柱．
故答案为：三棱柱．
)
12 ．如图，将一个三角尺60O 角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若上1 = 20O ，则上2 的度数是
.
____________
(
【答案】
50
O
【详解】解：
∵
上
BAC
=
60
O
，
上
1
=
20
O
，
∴
上
CAE
= 上
BAC
—上
1
=
60
O
—
20
O
=
40
O
，
又∵
上
DAE
=
90
O
，
∴
上
2
= 上
DAE
—上
CAE
=
90
O
—
40
O =
50
O
，
故答案为：
50
O
．
)
13 ．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①) , 其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC 丄 AB ， ED AB ．经使用发现，当上DCB = 140O 时，台灯光线最佳，此时上EDC 的大小为
.
____________
第 12 页 共 25 页
【答案】 130O
【详解】解：如图所示，过点C 作CK∥AB ，
∵ DE ∥AB ， ∴ CK ∥DE ，
BC 丄 AB ，
: BC 丄 CK ，
:上BCK = 90O，
上DCB = 140O ，
: 上DCK = 上DCB — 上BCK = 50O ， ∵ CK ∥DE ，
: 上EDC + 上DCK = 180O ，
:上EDC = 130O ．故答案为： 130O ．
14 ．如图① , 点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线OC , 上BOC = 120O ，三角板的顶点与点 O 重合，边OM 与OB重合，边ON 在直线 AB 的下方．若三角板绕点 O 按10O / s 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第____________ s 时，直线ON 恰好平分锐角 上 AOC （图②) .
第 13 页 共 25 页
【答案】6 或 24
【详解】解： 上BOC = 120o，
: 上AOC = 60 o，
当直线ON 恰好平分锐角 上 AOC 时，如图：
上BON = 上AOC = 30o，
此时，三角板旋转的角度为90o — 30o = 60o ， : t = 60o ÷ 10o = 6 ；
当ON 在 上 AOC 的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360o — 90o — 30o = 240o ， : t = 240o ÷ 10o = 24 ；
: t 的值为：6 或 24．故答案为：6 或 24．
15 ．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为 1 米，则长方形展板的面积是____________平方米．
第 14 页 共 25 页
(
【答案】
130
【详解】解：设第二小的正方形的边长是
x
米，则五种正方形的边长从小
到大依次是
1
米，
x
米，
(
x
+
1
)
米，
(
x
+
3
)
米，
(
x
+
4
)
米，
根据长方形展板上下对边相等，得
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
=
3
x
+
(
x
+
1
)
，
解得
x
=
3
，
:
展板的长是
(
x
+
3
)
+
(
x
+
4
)
=
2
x
+
7
=
13
（米）
,
展板的宽是
x
+
(
x
+
4
)
=
2
x
+
4
=
10
（米
），
:
长方形展板的面积是
13
×
10
=
130
（平方米
）．
故答案为：
130
．
)
16．如图，有一张三角形纸片 ABC ，上B = 50O ，上C = 32O，点D 是 AC 边上的固定点（ CD < AC ），请在BC上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与V ABC 的一边平行，则上CDF 为____________度．
【答案】 74 或33 或123 或58
【详解】解： 由题意知，分EF∥AC ， EF ∥ AB ， EF ∥ BC 三种情况求解；当EF∥AC 时，如图，
∴ 上EFB = 上C = 32O ，
第 15 页 共 25 页
由折叠可知， 上CFD = 上EFD ∴ 上CDF = 180O — 上C — 上CFD = 74O ；
当EF ∥ AB 时，如图，延长EF 交AC 于M ，
∴ 上CFM = 上B = 50O ，
∴ 上BFE = 上CFM = 50O ，
由折叠可得， 上DFC O ， ∴ 上CDF = 180O — 上DFC — 上C = 33O ；
当EF ∥ AB 时，如图，
∴ 上CFE = 上B = 50O ，
由折叠可得， 上CFD = 上CFE = 25O ， ∴ 上CDF = 180O — 上CFD — 上C = 123O ，当EF ∥ BC 时，如图， DF 丄 BC ，
∴ 上CDF = 180O — 90O — 上C = 58O ，
综上所述， 上CDF 的度数为74O 或33O 或123O 或58O ，故答案为： 74 或33 或123 或58 ．
第 16 页 共 25 页
三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17 ．（本小题 8 分）计算：
(
【详解】（
1
）解：
—
2
3
—
「
L
|
—
3
+
(
—
3
)
2
÷
(|
(
—
)
,
=
—
8
—
—
3
+
9
×
(
—
6
)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
=
—
8
—
(
—
3
—
54
)
=
—
8
+
3
+
54
=
49
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：
(|
(
—
+
—
)
,
×
(
—
36
)
=
—
)
+
)
—
)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
=
24
—
20
+
21
=
25
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
第 17 页 共 25 页
18 ．（本小题 8 分）解方程：
(1)5x — 2(x —1) = x — 2 ；
(
【详解】（
1
）解：
5
x
—
2
(
x
—
1
)
=
x
—
2
，
去括号，得
5
x
—
2
x
+
2
=
x
—
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
移项，得
5
x
—
2
x
—
x
=
—
2
—
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
合并同类项，得
2
x
= —
4
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
系数化为
1
，得
x
=
—
2
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：
去分母，得
2
(
2
x
—
1
)
+
6
=
3
(
x
—
2
)
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
去括号，得
4
x
—
2
+
6
=
3
x
—
6
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
移项，得
4
x
—
3
x
=
—
6
+
2
—
6
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
合并同类项，得
x
= —
10
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
19 ．（本小题 6 分） 已知 A = -3a2 + 3ab- 3 ， B = -10a2 + 3ab- 6 ． (1)若a = - ，b = 4 ，求2A - B 的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
(
【详解】（
1
）解：
∵
A
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
，
B
= -
10
a
2
+
3
ab
-
6
∴
2
A
-
B
=
2
(
-
3
a
2
+
3
ab
-
3
)
-
(
-
10
a
2
+
3
ab
-
6
)
=
-
6
a
2
+
6
ab
-
6
+
10
a
2
-
3
ab
+
6
=
4
a
2
+
3
ab
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
当
a
= -
，
b =
4
时，原式
=
4
×
|(
(
-
)
,
2
+
3
×
|(
(
-
)
,
×
4
=
1
-
6
= -
5
；
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
（
2
）解：
A
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
，
B
= -
10
a
2
+
3
ab
-
6
∴
A
-
B
= -
3
a
2
+
3
ab
-
3
-
(
-
10
a
2
+
3
ab
-
6
)
=
-
3
a
2
+
3
ab
-
3
+
10
a
2
-
3
ab
+
6
=
7
a
2
+
3
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
∵
a
2
≥
0
∴
7
a
2
+
3
>
0
，即
A
-
B
>
0
，
∴
A
>
B
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
)
20 ．（本小题 8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1 ，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2x -1 = 3 的解为x = 2 ，x +1 = 0 解为x= - 1 ，两个方程解之和为 1 ，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程4x - (x + 5) = 1 与方程-2y - y = 3 是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程 + m = 0 与方程3x = x + 4是互为“美好方程” ，求 m 的值．
(
【详解】（
1
）解：解方程
4
x
-
(
x
+
5
)
=
1
得：
x
=
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
解方程
-
2
y
-
y
=
3
得：
y
= -
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
∴
x
+
y
=
2
-
1
=
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
)
第 18 页 共 25 页
(
∴方程
4
x
-
(
x
+
5
)
=
1
与方程
-
2
y
-
y
=
3
是互为
“
美好方程
”
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
（
2
）解：关于
x
的方程
+
m
=
0
的解为：
x
= -
2
m
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
方程
3
x
=
x
+
4
的解为
x
=
2
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
∵关于
x
的方程
+
m
=
0
与方程
3
x
=
x
+
4
是互为
“
美好方程
”
，
∴
-
2
m
+
2
=
1
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
解得：
m
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
21 ．（本小题 8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售. 已知甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5 元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％ ，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有 m 的代数式填写下表：
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品 100 件，乙类纪念品 80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为 1080 元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
【详解】（1）解： ∵甲类纪念品的进价为 m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多 5 元/件、若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60% ，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40% ， ∴乙类纪念品的进价为(m + 5) 元/件，每件甲类纪念品的售价是(1+ 60%)m = 1.6m 元/件，每件乙类纪念品的售价是(1+ 40%)(m + 5)= 1.4 (m + 5 ) 元/件， 故可填写下表： … … … … … … … … … … … … … … … … … …4 分
进价/元 售价/元
甲类纪念品 m 1.6m
乙类纪念品 m + 5 1.4 (m + 5)
(
（
2
）解：该商店分别购进甲类纪念品
100
件，乙类纪念品
80
件，两类纪念品全部售出后
所得的总利润为
1080
元，
)
第 19 页 共 25 页
(
∵
100
×
60%
m
+
80
×
40%
（
m
+
5
）
=
1080
，
解得，
m
=
10
，
m
+
5
=
15
（元
），
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为
10
元和
15
元．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
22 ．（本小题 8 分）按要求画图．
(1)①如图①由点 A 到河边 l 的最短路线的依据是_________________．
②如果从点 A 经过点 B 再到河边 l ，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图② , 上AOB 内有一点 P ．过点 P 作PC∥OB交OA 于点 C，PD∥OA交OB 于点 D．
【详解】（1）解：①由点 A 到河边l 的最短路线的依据是：垂线段最短，故答案为：垂线段最短；
②如图， A — B — C 即为所求作：
第 20 页 共 25 页
………………………………………………
4 分
（2）解：如图， PC 、 PD 即为所求作：
………………………………………………
8 分
23 ．（本小题 8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)从正面看到的形状图是图____________ ，从左面看到的形状图是图____________ ，从上面看到的形状图是图____________ ；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm ，求这个几何体的表面积与体积．
(
【详解】（
1
）解：由题意可得，从正面、左面、上面看到的平面图形分别是①
,
②
,
③
,
故答案为：①
,
②
,
③.
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
（
2
）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生
改变，
则这个几何体的表面积为：
2
×
(
20
×
20
+
20
×
20
+
2
0
×
20
)
=
2
×
1200
=
2400cm
2
，
…
…
…
…
…
…
…5
分
这个几何体的体积为：
20
×
20
×
20
-
10
×
10
×
10
=
7000cm
3
，
…
…
…
…
…
…
…
7
分
答：这个几何体的表面积与体积分别为
2400cm
2
，
7000c
m
3
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
24．（本小题 8 分）如图，已知 O 为直线AD 上一点，OC 是上AOB 内部一条射线且满足上AOB 与 上 AOC 互补， OM ， ON 分别为 上AOB ， 上 AOC 的角平分线．
(1)上COD 与上AOB 相等吗？请说明理由；
(2)若上AOB = 150O ，试求上AON 与上MON 的度数；
(3)若上MON = 52O ，试求上AOB 的度数．
【详解】（1）解： 上COD = 上AOB ；理由如下：
上AOC 与 上AOB 互补，
:上AOC + 上AOB = 180O ，
上AOC + 上DOC = 180O ，
:上COD = 上AOB ； … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 分
（2）解： ∵ 上AOB 与上AOC 互补， 上AOB = 150O ， ∴ 上AOC = 180O -150O = 30O ，
∵ ON 为上AOC 的角平分线，
∴ 上AON = 上AOC = ×30 O =15 O，
∵ OM 为上AOB 的角平分线， 上AOB = 150O ，
第 21 页 共 25 页
(
∴
上
MON
= 上
AOM
一 上
AON
=
75
O
一
15
O =
60
O
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
（
3
）解：
∵
OM
，
ON
分别为
上
AOB
，
上
AOC
的角平分线，
∴
上
AOM
上
AOB
，
上
AOM
上
AOC
，
∴
上
MON
= 上
AOM
一
上
AON
上
AOB
一
上
AOC
O
，
∴
上
AOB
一
上
AOC
=
104
O
①
,
∵
上
AOB
+
上
AOC
=
180
O
②
,
①
+
②
得
上
AOB
=
142
O
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
)
25．（本小题 8 分）如图，已知线段 AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C 的右边．
在线段AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆规找出点 E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
(
【详解】解：存在，理由如下，
以点
D
为圆心，
以
BD
长为半径画弧，交
AC
于点
E
，
E
即为所求作，如图，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
理由：
∵
DE
=
BD
=
AB
，
∴
AE
=
AB
，
∴
AE
=
DE
=
AD
，
∴
E
是
AD
的中点，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
∵点
C
是
AB
的中点，
∴
AC
=
BC
AB
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…5
分
∴
CD
=
BC
一
BD
=
AB
一
AB
=
AB
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
∴
CE
=
CD
DE
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
∴
C
是
DE
的中点．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…8
分
)
26 ．（本小题 9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研
第 22 页 共 25 页
究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A ，点 B 表示的数分别为 a ，b ，则 A ，B 两点之间的距离为： AB= | a b | ，线段 AB 的中点表示的数为 ．
【问题情境】已知，点 A 、B 、O 在数轴上对应的数为 a 、b 、0 ，且满足a + 6 + (b 10)2 = 0 ，点 M、N 分别从 O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒 1 个单位长度，N 的速度为每秒 3 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（ t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA = ____________ ； OB = ____________；
(2)①用含 t 的代数式表示：t 秒后，点 M 表示的数为____________ ；点 N 表示的数为____________．
②当 t 为何值时，恰好有 AN = AM ？
(3)若点 P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，PQ + MN 的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时， PQ + MN 有最小值？最小值是多少？
(
【详解】（
1
）解：由题意得：
6
+
a
=
0
，
b
-
10
=
0
，
解得：
a
=
6
，
b
=10
，
\
OA
=
6
，
OB
=10
，
故答案为：
6
，
10
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
（
2
）解：①
M
，
N
都是向左运动，
M
的速度为每秒
1
个单位长度，
N
的速度为每秒
3
个单位长度，
\
M
：
-
t
，
N
：
10
-
3
t
，
故答案为：
t
，
10
3
t
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…4
分
②由题意得：
6
+
t
=
6
(
10
3
t
)
，
解得：
t
1
=
5.5
，
t
2
=
5
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…6
分
（
3
）解：
P
为线段
AM
的中点，
Q
为线段
BN
的中点，
:
点
P
表示的数为
：
，
点
Q
表示的数为：
t
，
点
M
表示的数是
t
，点
N
表示的数是
10
3
t
，
:
MN
=
t
(
10
3
t
)
＝
2
t
10
，
)
第 23 页 共 25 页
(
2
) (
①当
t
≤
5
时，
PQ
+
MN
=
13
一
t
+
t
一
5
=
13
一
t
+
5
一
t
=
18
一
2
t
，
一
2
<
0
\
PQ
+
MN
的值随
t
的值的增大而减小，
:
当
t
=5
时，
PQ
+
MN
取得最小值，最小值为
8
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…7
分
②当
5
<
t
<
13
时，
PQ
+
MN
=
13
-
t
+
t
-
5
=
8
，
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
8
分
③当
t
≥
13
时，
PQ
+
MN
=
t
-
13
+
t
-
5
=
2
t
-
18
，
2
>
0
，
\
PQ
+
MN
的值随
t
的值的增大而增大，
:
当
t
=13
时，
PQ
MN
取得最小值，最小值为
8
，
∴当
5s
＃
t
13s
时，
PQ
+
MN
取得最小值，最小
值是
8
．
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
9
分
1
)
27 ．（本小题 9 分）如图1 ，在上 AOB 的内部引一条射线OC ，则图中共有3 个角，分别是 上 AOB 、 上 AOC和 上BOC ．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是上 AOB 的“定分线”．
(1)一个角的角平分线____________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若上MPN = 87 ，其中射线PQ 是 上MPN 的“定分线” ，请求出上MPQ 的度数；
(3)如图3 ，若上MPN = 140 ，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成105时停止旋转，旋转的时间为t 秒．同时射线PM 绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ 同时停止旋转．请直接写出射线PQ 是上MPN“定分线”时t 的值．
(
【详解】（
1
）解：一个角的角平分线是这个角的
“
定分线
”
，
故答案为：是；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
分
（
2
）解：①当
PQ
是
上
MPN
的角平分线时，
上
MPQ
上
MPN
=
43.5
o
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…2
分
②当
PQ
是
上
MPN
的三等分线时，且
上
MPQ
更小时，
上
MPQ
上
MPN
=
29
o
；
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…3
分
)
第 24 页 共 25 页
③当PQ 是 上MPN 的三等分线时，且上MPQ 更大时，上MPQ 上MPN = 58o ；
综上， 上MPQ 的度数为43.5o 或29o 或58o ； … … … … … … … … … … … … … … … … … …4 分（3）解：①当上QPN 上MPN 时，如图，
则 ，解得t
第 25 页 共 25 页
………………………………………………
5 分
②当上QPN = 上MPN 时，如图，则 解得t = ；
………………………………………………
6 分
③当上QPN = 上MPN 时，如图，
则15t = 140 -10t) ，解得t … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
综上，t 的值为或 或 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … …9 分
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