4.4.1 对数函数的概念 课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
课时1 对数函数的概念
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
课后精练·重达标
学习目标
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.（数学抽象）
2.会求简单对数函数的定义域.（数学运算）
3.了解对数函数在实际问题中的简单应用.（数学建模）
在指数函数中我们已经知道,若某种放射性物质最初的质量为1,则经过 年,该物质
的剩留量为 .
1.经过多少年这种物质的剩留量为0.5？
[答案] 由,可得 .
2.若经过年,该物质的剩留量为,能用表示 吗？
[答案] 能. .
3.问题2得到的等式中,是 的函数吗？为什么？
[答案] 是,因为这种对应关系符合函数的定义
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 由,且,得,所以 .( )
√
（2） 是对数函数.( )
×
（3） 若函数是对数函数,则且 .( )
√
（4） 函数的定义域为 .( )
×
2.下列函数为对数函数的是( ).
C
A.,且 B.,且
C.,且 D.,且
[解析] 根据对数函数的定义可知C是对数函数
3.函数 的定义域是( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 由,得 .
4.已知对数函数的图象过点,,则 ___.
[解析] 设对数函数,且,由可知,, ,
, .
探究1 对数函数的概念
问题1: 已知函数,那么反过来,是否为关于 的函数？
[答] 因为是单调函数,所以对于任意，都有唯一确定的 与之对应,
故也是关于的函数,其函数关系式是,此处.习惯上用, 分别表
示自变量、因变量.上式可改为, .
同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax (a>0, 且a≠1)可以得到 x=logay (a>0, 且a≠1),x也是y的函数.
通常我们用x表示自变量，y表示函数.
为此将x=logay (a>0, 且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax (a>0, 且a≠1).
一般地,函数________________________叫作对数函数,其中___是自变量,函数的定
义域是________.
,且
特别提醒:（1）对数函数的概念与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.
（2）由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值 ,
所以对数函数的定义域是 .
（3）对数函数对底数的限制:,且 .
①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.
如, 都不是对数函数,可称其为对数型函数.
一、对数函数的概念及应用
例1 给出下列函数:;,且; ;
;,且; .
其中是对数函数的是( ).
D
A.③④⑤ B.②④⑥ C.①③⑤⑥ D.③⑥
[解] ①中,对数式后面加1,所以不是对数函数;②和④中,真数不是自变量 ,所以不是
对数函数;③和⑥符合对数函数概念的三个特征,是对数函数;⑤中,底数是自变量 ,而非
常数,且,所以不是对数函数.故③⑥是对数函数
方法总结
判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是,且的形式,即必须满足以下条件:
（1）对数式系数为1;
（2）底数为大于0且不等于1的常数;
（3）对数的真数仅有自变量.
二、对数函数模型的应用
例2 森林具有净化空气的功能,经研究发现,森林净化的空气质量与森林面积 的关系
是,且当森林面积为40个单位时,森林净化的空气质量 为100个单位.
（1）求 的值.
（2）当某森林面积为320个单位时,它能净化的空气质量为多少个单位
[解]
（1）由题意知,解得 .
（2）把代入,得 ,
所以当某森林面积为320个单位时,它能净化的空气质量为250个单位
方法总结
在实际问题中,要准确建立函数模型,计算时应充分利用对数的运算性质,注意变量
的实际意义.
巩固训练1 若函数是对数函数，则 ( ).
C
A.1或2 B.1 C.2 D.且
[解析] 函数 是对数函数，
，解得或.又且， .
巩固训练2 某种水稻害虫数量的日增长率为，最初发现时约有 只，则达到最初
数量的250倍，大约需要经过( ).（参考数据:， ，
， ）
A
A.141天 B.132天 C.120天 D.112天
[解析] 设大约需要经过天，依题意，，则 ，
故 ，
则.故选
探究2 与对数函数有关的定义域
问题1: 对数函数 的定义域是什么？
[答案] 对数函数的定义域是 .
问题2: 如何求对数型函数的定义域？
[答案] 求含对数式的函数的定义域的关键是真数大于0,底数大于0且不等于1.如需对函
数式变形,需注意真数、底数的取值范围是否改变
例3 求下列函数的定义域：
（1）,且 ;
（2） ;
（3） .
[解析] （1）由得 ,
该函数的定义域是 .
（2）由,得,由指数函数的单调性得 ,
函数的定义域为 .
（3）由题意知解得且 ,
该函数的定义域为 .
方法总结
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
（1）分母不能为0.
（2）根指数为偶数时,被开方数非负.
（3）对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.
巩固训练 求下列函数的定义域：
（1） ;
（2） .
[解析] （1）要使函数式有意义,需
得即或 ,
故所求函数的定义域为 .
（2）要使函数式有意义,需解得
即 ,
故所求函数的定义域为 .
1.若某对数函数的图象过点 ,则此对数函数的解析式为( ).
D
A. B. C. D.
[解析] 设该对数函数的解析式为,且 ,因为对数函数的图象过点
,所以,得 .
2.函数 的定义域是( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 要使函数式有意义,真数需大于0,所以,即.故选
3.已知点，都在同一个对数函数的图象上，则 ___.
[解析] 设对数函数的解析式为,且，因为点 在函数的图
象上，所以，解得 .
因为点也在该对数函数的图象上，所以，解得 .
4.（原创）某市推出了以旧换新促消费活动，并计划2025年投入2 000万用于政府补贴，
并逐年加大资金投入.若在此基础上，每年投入的资金比上一年增长 ，则该市政府
投入的资金翻一番的年份大约是( ).（参考数据：， ）
C
A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年
[解析] 设经过年，该市政府补贴金额为 万元,则
.
该市政府投入的资金翻一番，则 ，解得
.
所以该市政府投入的资金翻一番的年份大约是2031年．
故选C．
（总分:100分）
一、单选题（每小题5分，共30分）
1.下列函数为对数函数的是( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 函数， 的真数都不是自变量，它们不是对数函数，
故A，B不是对数函数；函数 是对数函数，故C是对数函数；函数
的底数含有参数，而的值不能保证 是不等于1的正数，故D不
是对数函数.故选
2.（原创）集合 的子集个数为( ).
C
A.3 B.6 C.8 D.16
[解析] 由题意可知解得，所以 ，
所以集合的子集个数为 .
3.（原创）下列四组函数是同一个函数的是( ).
D
A.与
B.与
C.与
D.与
[解析] 对于A，函数的值域是，函数的值域为 ，所以这
两个函数的值域不一样，不表示同一个函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为 ，所以
这两个函数的定义域不一样，不表示同一个函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为 ，所以这两
个函数的定义域不一样，不表示同一个函数，故C错误；
对于D，函数与函数 的定义域都
为，对应关系也相同，所以表示同一个函数，故D正确.故选
4.（改编）已知集合，，集合 ，则下列表达式中，不能建
立从集合到集合 的函数关系的是( )．
C
A. B. C. D.
[解析] 当自变量为正偶数时，由，，所得 值都为正整数，故构
成的集合是的子集，而由所得值不一定是正整数，如，所以 值构
成的集合不是的子集，故不能建立从集合到集合的函数关系的是 ．
故选C．
5.若函数为对数函数，则 ( ).
B
A.3 B. C. D.
[解析] 函数 为对数函数，
解得 ，
，.故选
6.下列结论正确的是( ).
D
A.函数的图象关于 轴对称
B.若函数的定义域为，且对任意实数，，恒有 ，则
为偶函数
C.若函数的定义域为，则
D.若函数的值域为，则
[解析] 对于A，的定义域为， ，
为奇函数，其图象关于原点对称，故A错误；
对于B，令，则， ，
令，则， ，
为奇函数，故B错误；
对于C，的定义域为，在 上恒成立，
，解得，即 ，故C错误；
对于D，的值域为，即能取到 上的所
有值，
，解得或，即 ，故D正确．
故选D．
二、多选题（每小题6分，共12分）
7.已知函数，则实数 的取值可能是( ).
AC
A. B.3 C.4 D.5
[解析] 因为 ，
所以根据对数函数的定义得
解得即或 .
故选 ．
8.存在函数满足：对任意 ，都有( ).
BCD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，令，则，令，则 ，与函数的定义矛盾，
故A错误；
对于B，设，则，所以可化为 ，故B正确；
对于C，设，则，所以可化为 ，故C正确；
对于D，设，则，所以 可化为
，故D正确．
故选 ．
三、填空题（每小题5分，共15分）
9.若函数的定义域为,则实数 的取值范围是_______.
[解析] 因为函数的定义域为 ,
所以在上恒成立,则有 ,
解得,即实数的取值范围是 .
10.（改编）已知定义域为的函数满足，则
可以为____________________.（写出一个即可）
（答案不唯一）
[解析] 根据题意可知，函数具有类似于对数函数的性质，故可令 ，满足
要求
11.已知函数的定义域为,则函数 的定义域为______.
[解析] 已知函数的定义域为,对于函数,有 即
解得 .
四、解答题（共43分）
12.已知函数 ．
（1）函数的“定义域为”和“值域为 ”是否是一回事？分别求出这两种条件下实
数 的取值范围.（6分）
（2）结合“实数取何值时在上有意义”与“实数取何值时函数 的定义
域为 ”，说明求解“有意义”问题与求解“定义域”问题的区别．（7分）
[解析] （1）函数的“定义域为”和“值域为 ”不是一回事．
记，则 ．
若定义域为，则 恒成立，
所以，解得， ．
若值域为，则 至少取遍所有的正实数，
则，解得 ．
（2）由第（1）问可得，，则 ．
“在上有意义”等价于“对任意 恒成立”，
则或解得， ．
“函数的定义域为”等价于“不等式 的解集为
”，
所以，解得，故的取值范围为 ．
故二者的区别为“有意义”问题可以转化为“恒成立”问题来处理，而“定义域”问题可以
转化成“取遍所有值”问题来处理，这里是转化成解集问题，即取遍解集内所有的数值．
13.（改编）已知函数 为奇函数.
（1）求实数 的值.（7分）
（2）①求函数的定义域 ；（3分）
②若实数，且，求实数 的取值范围.（5分）
[解析] （1）因为为奇函数，所以 ，
所以 在定义域内恒成立，
即 在定义域内恒成立，
整理得 在定义域内恒成立，
所以解得 .
因为当时，，其定义域 关于原点对称,满足题
意，所以 .
（2）①因为，解得，所以函数 的定义域为
.
②因为实数，且，又 ，
所以或解得或 ,
所以实数的取值范围为 .
14.我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为声压,用
（单位:）表示.声压级（单位:）表示声压的相对大小.已知
是比例系数.当声压级提高时,声压 会变为原来的1 000倍.
（1）求声压级关于声压 的函数解析式.（6分）
（2）已知两个不同的声源产生的声压,叠加后得到的总声压 ,而一般
声压级时,人类是可以正常地学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为
的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学
习？并说明理由.（参考数据: ）（9分）
[解析] （1）由题意得, ,所
以,解得,所以声压级关于声压的函数解析式为 .
（2）不会干扰我们正常的学习,理由如下:
将代入得,所以,解得 ,即
,所以,代入 ,得
,所以不会干扰我们正常
的学习