微专题8 空间点、线、面的位置关系
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
平行关系的转化
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
垂直关系的转化
微点一 空间线、面位置关系的判定
例1 (1)(2024·全国甲卷改编)(多选题)设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，下列四个命题正确的是 ( )
A．若m∥n，则n∥α或n∥β
B．若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
C．若n∥α，且n∥β，则m∥n
D．若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
(2)(2025·全国一卷)(多选题)在正三棱柱ABC A1B1C1中，D为BC的中点，则 ( )
A．AD⊥A1C
B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1
D．CC1∥平面AA1D
[听课记录]____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
判断空间线、面位置关系常用方法
(1)借助定理：根据空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助模型：如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
(3)反证法：当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
训练1 (多选题)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，在此几何体中，下面结论正确的是 ( )
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD
D．直线EF∥平面ABCD
微点二 空间平行、垂直关系的证明
例2 如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点．
(1)求证：BC1⊥平面AB1C；
(2)求证：DE∥平面AB1C.
(1)证明线线平行的常用方法：
①三角形的中位线定理；②平行公理；
③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；
⑤构造平行四边形．
(2)证明线线垂直的常用方法：
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的定义证线线垂直．
训练2 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
微点三 空间角的几何求法——
教材·研析
例3 (1)(人教A版必修第二册·P171·13题)如图，在三棱锥P ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.
①求证：平面PAC⊥平面PBC；
②若AC＝BC＝PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
(2)(人教A版必修第二册·P171·14题)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PD的中点．
①求证：AM⊥平面PCD.
②求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
利用几何法求解空间角问题的关键
(1)会找(或作)角→一般在空间几何体中先找(或作)角，异面直线所成的角常用平移直线法作角，空间线面所成的角与二面角常利用定义法作角．
(2)会证明→对所找(或作)的角进行证明，证明所得的角就是所求的空间角．
(3)会求角→把角放在三角形中，通过解三角形求空间角.
真题·链接
真题 (2022·全国甲卷)在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
1．(2024·天津高考)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是 ( )
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为 ( )
A． B．1 C．2 D．3
3．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则 ( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
微专题8 空间点、线、面的位置关系
例1 (1)AC 解析 α∩β＝m，则m α，m β，对于A，若m∥n，则n∥α或n∥β，A正确；对于B，若m⊥n，则n与α，β的位置关系不确定，B错误；对于C，若n∥α且n∥β，则n∥m，C正确；对于D，若n与α、β所成的角相等，则m与n可能平行，相交或异面，D错误．故选AC.
(2)BD 解析
由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C 平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直．故A错误；因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D.故B正确；AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面．故C错误；CC1∥AA1，CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D.故D正确；故选BD.
训练1 ACD 解析
由题意知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE，EF，BF，DF，易得EF∥BC，BC∥AD，则EF∥AD，故EF，AD共面，则AE，DF共面，故B错误；又F∈平面AEFD，B 平面AEFD，F不在直线AE上，则直线AE与直线BF异面，A正确；由EF∥AD，EF 平面PAD，AD 平面PAD，则直线EF∥平面PAD，C正确；EF 平面ABCD，BC 平面ABCD，又EF∥BC，所以EF∥平面ABCD，D正确．
例2 证明 (1)因为四边形AA1C1C为矩形，所以AC⊥C1C，又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，所以AC⊥平面CC1B1B，因为BC1 平面CC1B1B，所以AC⊥BC1，又四边形CC1B1B为菱形，所以B1C⊥BC1，因为B1C∩AC＝C，AC 平面AB1C，B1C 平面AB1C，所以BC1⊥平面AB1C.
(2)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF，因为四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，所以EF∥AC，又EF 平面AB1C，AC 平面AB1C，所以EF∥平面AB1C，又因为D，F分别为边A1B1，AA1的中点，所以DF∥AB1，又DF 平面AB1C，AB1 平面AB1C，所以DF∥平面AB1C，因为EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C，因为DE 平面DEF，所以DE∥平面AB1C.
训练2 证明 (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB 平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
例3 解
(1)①证明：由题意，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
②取PC的中点D，连接AD，DM.因为AC＝PA，所以AD⊥PC.由①知，BC⊥平面PAC，又AD 平面PAC，所以BC⊥AD，而PC∩BC＝C，所以AD⊥平面PBC，所以DM是线段AM在平面PBC上的射影，所以∠AMD是AM与平面PBC所成角，且AD⊥DM，设AC＝BC＝PA＝2a，则由M是PB的中点，得DM＝BC＝a，AD＝a，所以tan ∠AMD＝＝，即AM与平面PBC所成角的正切值为.
(2)①证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为AM 平面PAD，所以CD⊥AM，因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AM⊥平面PCD.
②如图，取AD，BC的中点分别为E，F连接EF，PE，PF.则EF綉CD，所以EF⊥AD.又在正△PAD中，PE⊥AD，因为EF∩PE＝E，所以AD⊥平面PEF.因为在正方形ABCD中，AD∥BC，所以BC⊥平面PFE.所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角．由CD⊥平面PAD，EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.因为PE 平面PAD，所以EF⊥PE.设正方形ABCD的边长AD＝2a，则EF＝2a，PE＝a.所以PF＝＝a，所以cos ∠PFE＝＝.
真题 解
①
(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD.如图①，取AB的中点E，连接DE，则BE＝AB＝1，即CD＝BE.又CD∥AB，所以四边形BCDE为平行四边形，所以DE＝CB＝1.因为DE＝AB，所以△ABD为直角三角形，且AB为斜边，所以BD⊥AD.又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以BD⊥平面PAD.因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)解法一：由题设及第(1)问得三棱锥PABD的体积为V＝××1××＝.又AB＝2，PA＝＝2，PB＝＝，所以cos ∠PAB＝＝，sin ∠PAB＝.设点D到平面PAB的距离为d，则V＝××2×2××d＝d.由d＝，得d＝. 因此PD与平面PAB所成角的正弦值为＝.
解法二：
②
如图②所示，作DE⊥AB，垂足为E，连接PE.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，故AB⊥平面PDE.过点D作DF⊥PE，垂足为F.因为AB⊥平面PDE，DF 平面PDE，所以DF⊥AB.因为AB∩PE＝E，所以DF⊥平面PAB，因此∠DPE即为PD与平面PAB所成的角．因为×AB×DE＝×DA×DB，所以DE＝，故PE＝＝.因此PD与平面PAB所成角的正弦值为＝.
真题巧用·明技法
1．C 解析 对于A，B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．
2．B 解析
①
解法一：如图①，分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接AD，A1D1，D1D，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，S△A1B1C1＝×2×＝，设正三棱台ABCA1B1C1的高为h，则VABCA1B1C1＝×h＝，解得h＝，分别过A1，D1作底面ABC的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合等腰梯形BCC1B1可得BB＝＋DD，即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan ∠A1AD＝＝1.故选B.
②
解法二：将正三棱台ABCA1B1C1补成正三棱锥PABC，如图②，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为＝＝，所以＝，可知VABCA1B1C1＝VPABC＝，则VPABC＝18，设正三棱锥PABC的高为d，则VPABC＝d××6×6×＝18，解得d＝2，取△ABC的中心为O，连接PO，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan ∠PAO＝＝1.故选B.
3．ABD 解析 如图①，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．如图②，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确．如图③，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线BC1与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图④，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
4．解 (1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2)因为AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，则AC＝2，BE＝，AE＝1.因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1.所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE.
由(1)可知，AC⊥平面BED.如图，连接EF，因为EF 平面BED，所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小．在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF＝＝.因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍．因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，所以DE⊥平面ABC.因为VDAEB＝VEADB，所以×AE×BE×DE＝×S△ABD×，其中d为点C到平面ABD的距离．在△ABD中，BA＝BD＝2，AD＝，所以S△ABD＝，所以d＝.因为AC⊥平面BED，EF 平面BED，所以AC⊥EF，所以FC＝＝.记CF与平面ABD所成的角为α，则sin α＝＝.(共53张PPT)
专题三
立体几何
专题三 立体几何
微专题8
空间点、线、面的
位置关系
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
解析
解析
解析
方法提炼
解析
证明
证明
方法提炼
证明
证明
解
解
解
解
解
方法提炼
解
①
解
①
解
解
②
解
②
解析
解析
①
解析
①
解析
②
解析
②
解析
解
解
解
解
解
8当
0
01
:
线线
线面平行的判定
线面
面面平行的判定
面面
平行
线面平行的性质
平行
面面平行的定义
平行
面面平行的性质
以题梳点
和考君
C
一-----一}1
B
C
D
A
B
P
F
D
C
P
P
E
A
B
P
P
F
D
C
A
B
B
B
D
E
C
C
A
A
B
B
D
E
C
C
A
F
A
Al
C
F
A
E
C
B
P
M
A
B
C
P
M
D
A
B
C
P
M
A
D
B
C
P
A
D
B
F
C
P
I
I
I
I
I
1
D
C
二
A
B
P
I
D
C
A
E
B
P
I
I
D
C
A
E
B
真题巧用
明技君
C
1
D
I
B
1
I
l
1
A
C
M
D
B
P
C
B
I
1
I
A
+
-一一一一
I
C
I
1
0
B
D
D
C
A
B
Ar
B
C
A
B
A
B
①
②
D
D
A
B
A
B
1
C
C
A
B
A
B
③
④
D
F
C
B
A
D
F
1
C
E
B
A微练(十二) 空间点、线、面的位置关系
班级： 姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．(2025·深圳一模)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b平行”是“平面α和平面β平行”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．(2025·天津高考)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是 ( )
A.若m∥α，n α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m α，α⊥β，则m⊥β
3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是 ( )
4．如图，已知各棱长都为1的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，AB，AD两两的夹角均为，则异面直线BA1与CB1所成的角为 ( )
A. B． C． D．
5．(2025·黄冈模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则 ( )
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为30°
D.BN∥平面ADM
6．(2025·咸阳模拟)已知四棱锥PABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC的中点，则 ( )
A.BE∥平面PAD
B.PD⊥平面ABCD
C.平面PAB⊥平面PAD
D.DE＝EB
二、多项选择题
7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
8．如图，已知四边形ABCD，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△ABD为等边三角形，BD＝2，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中，下列结论中正确的是 ( )
A.BD⊥PC
B.DP与BC可能垂直
C.四面体PBCD体积的最大值是
D.直线DP与平面BCD所成角的最大值是
三、填空题
9．如图，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________．
10．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．
四、解答题
11．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，侧面BCC1B1⊥底面ABC，E，F分别为棱BC和A1C1的中点．求证：
(1)EF∥平面ABB1A1；
(2)平面AEF⊥平面BCC1B1.
12．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
能力提升练
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是 ( )
A.AB∥CD B．AB⊥PQ
C.PQ∥ED D．PQ∥平面ADE
14．在四面体ABCD中，AE⊥平面BCD于点E，点E到平面ABC的距离为，AD⊥BC，BD＝CD，点G为△ABC的重心，二面角ABCD的大小为60°，则GE＝________．
微练(十二) 空间点、线、面的位置关系
1．D 解析 当“直线a和直线b平行”时，平面α和平面β可能平行也可能相交，故不充分；当“平面α和平面β平行”时，直线a和直线b可能平行也可能异面，故不必要；因此“直线a和直线b平行”是“平面α和平面β平行”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．C 解析 若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β.故D错误．
3．D 解析 对于A，由正方体的性质可得MN∥AC，因为MN 平面ABC，AC 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，故A正确；对于B，如图①，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，因为MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，故B正确；对于C，由正方体的性质可得平面ABC与正方体的右侧面平行，故MN∥平面ABC，故C正确；对于D，如图②，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，故D错误．
4．C 解析
连接A1D，BD，如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1B1綉AB綉CD，则四边形A1B1CD是平行四边形，B1C∥A1D，于是∠BA1D是异面直线BA1与CB1所成角或其补角，由AA1＝AB＝AD＝1，棱AA1，AB，AD两两的夹角均为，得△ABD，△ABA1，△ADA1都是正三角形，即A1B＝BD＝A1D＝1，则∠BA1D＝，所以异面直线BA1与CB1所成的角为.故选C.
5．B 解析 如图所示，连接MN，BC1，对于A选项，AB∥C1M，C1M∩MN＝M，MN 平面ABC1M，所以直线AB，MN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，A错误；对于B选项，在长方体ABCDA1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，又AD 平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，B正确；对于C选项，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，可知BO＝ON＝BN＝2，所以△BON为等边三角形，故∠OBN＝60°，即直线BN与B1M所成的角为60°，C错误；对于D选项，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，D错误．故选B.
6．C 解析
对于A，易知BC∥平面PAD，因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行于平面PAD，故A错误；对于B，如图，作PH⊥AD于点H，因为平面PAD⊥平面ABCD，且PH 平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，由于PD∩PH＝P，所以PD不垂直于平面ABCD，故B错误；对于C，因为AB 平面ABCD，所以PH⊥AB，又AB⊥AD，PH∩AD＝H，且PH，AD都在平面PAD内，所以AB⊥平面PAD，因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确；对于D，没有充足的条件可以证明DE＝EB，故D错误．故选C.
7．CD 解析
因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，则AM与BN不可能平行，故B错；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，直线BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确，同理D正确．故选CD.
8．ABC 解析
对于A，如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，因为△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，所以BD⊥CM，因为△ABD为等边三角形，所以BD⊥PM，又PM∩CM＝M，PM，CM 平面PMC，所以BD⊥平面PMC，又PC 平面PMC，所以BD⊥PC，故A正确；对于B，假设DP⊥BC，又BC⊥CD，CD∩DP＝D，CD，DP 平面PCD，所以BC⊥平面PCD，又PC 平面PCD，所以BC⊥PC，又PB＝2，BC＝，易知PC∈[－1，＋1]，当PC＝时，BC2＋PC2＝PB2，故DP与BC可能垂直，故B正确；对于C，易知当平面PBD⊥平面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积V＝S△BCD·PM＝××＝，故C正确．对于D，当平面PBD⊥平面BCD时，平面PBD∩平面BCD＝BD，BD⊥PM，PM 平面PBD，此时PM⊥平面BCD，∠PDB即为直线DP与平面BCD所成的角，此时∠PDB＝，故D错误．故选ABC.
9． 解析
如图，连接AC交BE于点O，连接OF.因为AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，因为PA∥平面EBF，平面EBF∩平面PAC＝OF，PA 平面PAC，所以PA∥OF，所以＝＝.
10． 解析
如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝，故NT＝2－－＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即点Q′与点Q重合，故AQ＝.
11．证明
(1)如图，取A1B1的中点G，连接BG，FG，在△A1B1C1中，因为F，G分别为A1C1，A1B1的中点，所以FG∥B1C1，且FG＝B1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1.又E为棱BC的中点，所以FG∥BE，且FG＝BE，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG，又因为BG 平面ABB1A1，EF 平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.
(2)在△ABC中，因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧面BCC1B1∩底面ABC＝BC，且AE 平面ABC，所以AE⊥平面BCC1B1，又AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1.
12．证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD 平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，所以EF∥平面PCD.
13．C 解析
翻折之后如图所示，连接PQ，DF.因为AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故选项A成立；因为P，Q分别为AF，CE的中点，所以Q为DF的中点，所以PQ∥AD，易得AB⊥AD，所以AB⊥PQ，故选项B成立；因为PQ∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ与ED不平行，故选项C不成立；因为PQ∥AD，且PQ 平面ADE，AD 平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故选项D成立．故选C.
14． 解析
如图，设DE∩BC＝M，连接AM，因为AE⊥平面BCD，BC 平面BCD，所以BC⊥AE，又BC⊥AD，AE∩AD＝A，AE 平面AMD，AD 平面AMD，所以BC⊥平面AMD，又DM，AM 平面AMD，故BC⊥DM，BC⊥AM，所以∠AMD是二面角ABCD的平面角，所以∠AMD＝60°，又BD＝CD，所以M为BC的中点，又点G为△ABC的重心，故G在AM上，过E作EH⊥AM于H，由E到平面ABC的距离为，可得EH＝，于是ME＝2，AM＝4，MG＝，在△MGE中，由余弦定理可得GE2＝MG2＋ME2－2MG·ME cos 60°＝，所以GE＝.(共36张PPT)
微练(十二) 空间点、线、
面的位置关系
基础过关练
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
①
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
②
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
能力提升练
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
