专项2 空间向量与空间距离
微点一 点到直线的距离
例1 如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为 ( )
A.1 B． C． D．
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点到直线的距离的求法
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设＝a，则点P到直线l的距离d＝.
训练1 四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为 ( )
A． B． C． D．
微点二 点到平面的距离
例2 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱锥P ABCE，且PB＝2.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为 ( )
A． B． C． D．
[听课记录]____________________________________________________________
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求点到平面的距离的常用方法
(1)建系→结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求向量→求平面外一点B到平面内任一点A对应的向量.
(3)求法向量→设出平面的法向量n，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n.
(4)得距离→代入公式d＝，计算结果．
训练2 (2024·天津高考)如图，已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
专项2 空间向量与空间距离
例1 D 解析 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，则＝(x－1，0，－x)，＝(－1，1，0)，所以动点P到直线A1C1的距离d＝＝＝＝≥，当且仅当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为.故选D.
训练1 A 解析
四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，G，于是＝，＝(－1，0，1)，||＝＝，||＝＝，·＝－×(－1)＋1＝，所以点G到直线AD的距离d＝＝＝.故选A.
例2 B 解析 如图，在四边形ABCD中，连接BE，由题意可知△DAE是边长为1的等边三角形，则∠AED＝，∠BCE＝，BC＝CE＝1，则∠CEB＝，可知∠AEB＝，即AE⊥EB，且BE＝＝，由PB＝2，PE＝1，BE＝，则PE2＋BE2＝PB2，可知PE⊥EB.由AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，可得EB⊥平面PAE，取AE中点O，AB中点H，连PO，OH，则PO＝，OH∥BE，可得OH⊥平面PAE，因为△PAE为等边三角形，则PO⊥AE，以O为原点，OA，OH，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，E，F，C，可得＝，＝，＝(－，，－).设平面PCE的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝，则y＝1，z＝－1，可得n＝(，1，－1)，点F到平面PCE的距离d＝＝＝.故选B.
训练2 解
(1)证明：以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，B(2，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(2，0，2)，C1(1，1，2)，D1(0，1，2)，则M(0，1，1)，N(，，2)，所以＝，＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1).设平面CB1M的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝1，得z1＝1，y1＝3，则n＝(1，3，1).·n＝·(1，3，1)＝－＝0，所以⊥n，显然D1N 平面CB1M，所以D1N∥平面CB1M.
(2)易知＝(1，－1，2)，＝(－1，1，0)，设平面BB1C1C的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，得y2＝1，z2＝0，则m＝(1，1，0).设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝＝＝，所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为.
(3)易知＝(0，0，2).设点B到平面CB1M的距离为d，则d＝＝＝，所以点B到平面CB1M的距离为.(共22张PPT)
专题三
立体几何
专题三 立体几何
微专题9
空间向量与立体几何
专题三 立体几何
专项2
空间向量与空间距离
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解
解
解
解
8当
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C微练(十四) 空间向量与空间距离
班级： 姓名：
1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．
(1)证明：MN∥平面A1CP；
(2)求点P到直线MN的距离．
2．(2025·昆明一模)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，H为线段DD1上的动点，E，F分别是线段AD，BB1上的点，且AE＝B1F＝，G为BC1的中点．
(1)求证：平面A1EF⊥平面C1D1F；
(2)两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线AC与BC1之间的距离；
(3)求异面直线B1H与DG所成角的余弦值的最大值，并说明H点的位置．
微练(十四) 空间向量与空间距离
1．解
(1)证明：由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝60°，而AB 平面ABC，所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥ y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，得M(，，0)，N(1，0，1)，P，所以＝(1，，－2)，＝，＝，设平面A1CP的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得y＝－，z＝－1，所以n＝(1，－，－1)，所以·n＝－×1＋×(－)＋1×(－1)＝0，又MN不在平面A1CP内，即MN∥平面A1CP.
(2)连接PM，由(1)得＝(0，0，－2)，则·＝－2，||＝，||＝2，所以点P到直线MN的距离为＝.
2．解
(1)如图，建立空间直角坐标系，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，且AE＝B1F＝，则E(，0，0)，A1(1，0，1)，F，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，所以＝，＝，＝(0，1，0)，因为·＝－＋＝0，则⊥，即EA1⊥FC1，又·＝0，则⊥，即EA1⊥D1C1，又FC1∩D1C1＝C1，FC1，D1C1 平面C1D1F，所以EA1⊥平面C1D1F，又EA1 平面A1EF，所以平面A1EF⊥平面C1D1F.
(2)设P是直线AC上任意一点，且＝λ(λ∈R)，又＝(－1，1，0)，所以＝(－λ，λ，0)，所以P(1－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，0)，又＝(－1，0，1)，设P到直线BC1的距离为d，则d＝＝＝，所以当λ＝时，d取到最小值，最小值为，故异面直线AC与BC1之间的距离为.
(3)因为G为BC1的中点，所以G，设H(0，0，t)(0≤t≤1)，则＝(－1，－1，t－1)，＝，设异面直线B1H与DG所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝×＝×，令13－6t＝m∈[7，13]，则t＝，所以＝＝＝≤，当且仅当m＝，即m＝11∈[7，13]时取等号，所以cos θ≤×＝，又当m＝11时，t＝，即H点在靠近点D的线段DD1的三等分点处．(共13张PPT)
微练(十四)
空间向量与空间距离
1
2
1
2
解
1
2
解
1
2
解
1
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解
1
2
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1
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1
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1
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1
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解
1
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解
B
1
C
P
I
1
I
N
1
B
M
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A
B
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9
1
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B
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1
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B
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1
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G
D
C
A
B
↑D
1
C
I
I
B
A
I
1
1
1
F
G
C
y
B
