2025-2026学年高中数学苏教版必修一单元测试 第3章 不等式（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修一单元测试 第3章 不等式
一、选择题
1．若且满足,则的最小值是( )
A. B. C.6 D.
2．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为( )
A. B.4 C. D.8
3．已知某校高一年级女生人数多于男生人数,在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数,则( )
A.物理方向的男生多于物理方向的女生B.历史方向的女生多于历史方向的男生
C.物理方向的女生多于历史方向的男生D.物理方向的男生多于历史方向的女生
4．已知正实数a，b满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5．若,,,则的最小值为( )
A.2 B.3 C. D.
6．已知正数a,b满足,则的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.4
7．若正数a,b,c满足,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
8．已知实数满足，则的最小值为( )
A.20 B.25 C.30 D.35
二、多项选择题
9．已知正实数满足,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为9 B.的最大值为
C.的最大值为 D.的最小值为
10．已知正数a,b满足,则( )
A.的最小值为6 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
11．若,,且,则下列说法正确的有( )
A.的最小值是8 B.的最大值是
C.的最小值是 D.的最小值是
12．已知,且,则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．正实数x，y满足，则的最小值是________.
14．若，且恒成立，则m的取值范围为________.
15．若不等式对任意都成立,则实数m的取值范围是________________.
16．已知且,则的最小值为________.
四、解答题
17．甲、乙两个粮食经销商同时在某一个粮食生产基地按同一批发价购进粮食,他们每年都要购粮3次,由于季节因素,每次购粮的批发价均不相同.为了规避价格风险,甲每次购粮10000千克,乙每次购粮款为10000元.
(1)从平均价格角度比较甲乙两经销店哪种购粮方式更经济合算；
(2)请你把所得结论做一些推广.（直接写出推广结论即可）
18．（1）解不等式；
（2）若关于x的方程有实数解，求实数k的取值范围：
19．（1）设，，且，求的最大值；
（2）若，求的最小值.
20．（1）若，求函数的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）若直线过点，求的最小值，并求取到最小值时a、b的值.
21．已知,,且.
（1）求的最小值;
（2）求的最小值.
22．已知关于x的方程 ,当方程的根满足下列条件时,求m的取值范围.
(1)有两个实数根,且一个比2大,一个比2小；
(2)至少有一个正根.
参考答案
1．答案：B
解析：,因为,
所以根据基本不等式的性质得.
因为,所以,所以,
当且仅当即时等号成立,此时取最小值.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
其中第一个不等式等号成立的条件为，
第二个不等式等号成立的条件为，
所以当，时，取最小值，此时
故选：A
3．答案：C
解析：根据已知条件,设分科后选报物理方向的女生数为,男生数为,选报历史方向的女生数为,男生数为,
根据题意可得,所以,
即,故物理方向的女生多于历史方向的男生.
故选：C.
4．答案：C
解析：正实数a，b满足，故，
故
，
当且仅当时，即，时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
5．答案：A
解析：由题意有：,又,所以,
所以
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为2.
故选：A.
6．答案：B
解析：由题意,,设,
则,当且仅当时等号成立,
因为,所以,解得,
当时,,即时等号成立,
故的最大值为2.
故选:B.
7．答案：B
解析：由可得,即,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
因此的最小值为4.
故选：B.
8．答案：B
解析：因为，所以，
所以
，
当且仅当即取等号，
故最小值为25，
故选：B
9．答案：ACD
解析：对于A,,
当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为9,故A正确；
对于B,由,可得,解得,
当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值为,故B错误；
对于C,,由B选项的分析可知,故,
即,故当且仅当时,取得最大值为,故C正确；
对于D,由,可得,则,
故当且仅当时,的最小值为,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：对于选项A,因为,且,
所以,当且仅当时取等号,
令,得到,解得或（舍）,
所以,的最小值为9,故A错误；
对于B,由,则,
,
当且仅当,即时取等,
所以的最小值为,故B正确；
对于C,,,
则,
令,则,
,
,当且仅当,即时取等,
则,
,
当且仅当时取等,故C正确；
对于D,因为,当且仅当取等号,
又,当且仅当,时取等号,
又,所以,故D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：对A：因为,即（当且仅当即时取“”）,故A项正确；
对B：因为（当且仅当即时取“”）,故B项错误；
对C：因为,
所以（当且仅当即时取“”）,故C项正确；
对D：由,
所以,由B知：成立,故D项正确.
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：对于A,因为,所以,所以,
所以,故A正确;
对于B,,当且仅当时取等号,故B正确;
对于C,,
当且仅当时取等号,故C不正确;
对于D,,
当且仅当时取等号,所以,故D正确.
故选:ABD.
13．答案：
解析：，，
（当且仅当，即，时取等），
（当且仅当时取等），
综上
（当且仅当，时等号同时成立），
则的最小值是.
故答案为：.
14．答案：（填也正确）
解析：因为，
所以，则.
15．答案：
解析：原不等式等价于,
当时,对,不等式恒成立；
当时,则有,解得：
综上所述,实数m的取值范围是
故答案为：.
16．答案：
解析：令,,因为,所以,
则,,所以,
所以
,
当且仅当,即,,即时取“”,
所以的最小值为.
故答案为:.
17．答案：(1)乙购粮方式更经济合算
(2)答案见解析
解析：(1)设3次购粮时每千克批发价分别为,,元,甲每次购10000克,三次购粮共元,因此,甲购粮每千克的平均价格为元；
乙每次购粮用10000元,3次共用去30000元,乙每次购粮分别为,,千克,
乙购粮每千克的平均价格为.
由于,
因为批发价均不相同,所以等号取不到,所以.乙购粮方式更经济合算.
(2)当n次购买同一种商品时,按乙购买方式比较经济.（其他合理的答案酌情赋分）
18．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）不等式，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）由关于x的方程有实数解，
得，即，
因此，解得或，
所以实数k的取值范围是或.
19．答案：（1）81；
（2）7.
解析：（1）由，，，得，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值81.
（2）由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值7.
20．答案：（1）的最小值为2，此时；
（2）的最小值为8，此时，.
解析：（1），
，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为2，此时；
（2），，
当且仅当时，即时取等号，此时，，，
所以的最小值为8，此时，.
21．答案：（1）4;
（2）
解析：（1）因为,
所以.
又因为,,
所以,当且仅当,即时取等号.
所以,
即当时,取得最小值4.
（2）.
因为,,且,所以,当且仅当时取等.
所以.
即当时,取得最小值.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,
则由题意可得,解得.
(2)关于x的方程无实数根时,,
解得,
关于x的方程有两个负实数根时,
,解得,
所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时,
可得关于x的方程至少有一个正实数根,则.
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