2025-2026学年高中数学苏教版必修一单元测试 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修一单元测试 第6章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．函数（,且）的图象恒过定点,该定点的坐标为( )
A. B. C. D.
2．已知,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．函数的图象经过的定点是( )
A. B. C. D.
6．函数在上的最大值为( )
A. B. C.6 D.36
7．已知,,,则( )
A. B. C. D.
8．已知幂函数的定义域为R，则( )
A. B.1 C.4 D.8
二、多项选择题
9．下列不等关系正确的有( )
A. B. C. D.
10．下列哪些函数是幂函数( )
A. B. C. D.
11．下列判断正确的有( )
A. B. C. D.
12．下列哪些函数是幂函数( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知函数且在区间上单调递减,则实数a的取值范围是__________________.
14．已知幂函数的图象过点,则_________________.
15．若函数（且）的图象恒过定点,则____________________.
16．函数的单调减区间为______________.
四、解答题
17．已知，比较，，，的大小.
18．比较下列各题中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19．比较下列各题中两个数的大小：
（1），；
（2），.
20．比较下列各题中两个数的大小：
（1），；
（2），.
21．下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg,那么她需要支付元,这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积,这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积,这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长,这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度,即,这里v是t的函数.
22．画出下面五个简单函数的大致图像.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
参考答案
1．答案：C
解析：当时,,
故的图象恒过定点.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为是增函数,又,所以,
又是减函数,所以,则,
故选：C.
3．答案：A
解析：因为,
,
,
,
所以,
由幂函数在单调递增,
所以,
故选:A
4．答案：D
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：,,故.
故选：A.
8．答案：C
解析：由幂函数的概念可得，解得或.
当时，，定义域为，不符合题意，舍去；
当时，，定义域为R，符合题意，所以，
所以.
故选：C
9．答案：BD
解析：对于A选项,因为指数函数在R上为减函数,所以,A错；
对于B选项,因为指数函数在R上为增函数,则,B对；
对于C选项,因为幂函数在上为减函数,且,故,C错；
对于D选项,令,该函数的定义域为R,
,故函数为偶函数,
且函数在上为增函数,故,D对.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：由幂函数的标准形式,对比选项可知,与符合题意.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：在R上是减函数,,,故A不正确;
在R上是增函数,,;故B正确;
在R上是增函数,,;故C正确;
在R上是减函数,,,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：BD
解析：对于A,为指数函数,A错误；
对于BD,与均符合(为常数)的形式,即为幂函数,BD正确；
对于C,不符合(为常数)的形式,不是幂函数,C错误.
故选：BD.
13．答案：
解析：因为且,则内层函数在上为减函数,
由于函数且在区间上单调递减,
则外层函数是增函数,则,
且对任意的,恒成立,即,解得,
综上所述,实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：4
解析：因为幂函数的图象过点,
所以 ,
所以,
故答案为：4.
15．答案：
解析：因为函数的图象恒过定点,
所以,,
所以,,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：由,可得或,
所以的定义域为,
对于,开口向上且对称轴为,
所以t在上单调递减,在上单调递增,而单调递增,
所以的单调递减区间为.
17．答案：
解析：
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）函数在R上为增函数，；
（2）函数在R上为减函数，
；
（3），
函数在R上为增函数，，即；
（4），
幂函数在上为增函数，
，.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数为增函数，且，
所以；
（2）因为函数为增函数，且，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）是R上的减函数，且，
.
（2）在指数函数中，因为，所以函数单调递增，
所以，即，
在指数函数中，因为，，
所以函数单调递减，即，即，
所以.
21．答案：答案见解析
解析：这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数.
22．答案：(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
解析：(1)根据幂函数的图象与性质,可得函数的图象,如图所示：
(2)根据幂函数的图象与性质,可得函数的图象,如图所示：
(3)根据幂函数的图象与性质,可得函数的图象,如图所示：
(4)根据幂函数的图象与性质,可得函数的图象,如图所示：
(5)根据幂函数的图象与性质,可得函数的图象,如图所示：
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