微练(十三) 空间向量与空间角
班级： 姓名：
1．(2025·兰州一模)已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1底面边长为3，点E，F分别在直线AD，CD上，BE＝，DF＝1.
(1)证明：AC∥平面B1EF；
(2)若三棱锥B1 BEF的体积为，求直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值.
2．(2025·济宁一模)底面为菱形的四棱锥P ABCD中，AC与BD交于点O，平面PBD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD.
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)若OA＝2OD＝2，直线DC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．
3．(2024·新课标Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
4．(2025·天津一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝∠PDC＝，且AD＝PD＝2QA＝2.
(1)求证：QB∥平面PDC；
(2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；
(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置．
微练(十三) 空间向量与空间角
1．解 (1)证明：因为AE＝＝＝2，所以DE＝1，因为DF＝1，所以＝＝，所以AC∥EF，AC 平面B1EF，EF 平面B1EF，所以AC∥平面B1EF.
(2)如图所示：以D为原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则三棱锥B1 BEF的体积V＝S△BEF·DD1＝××DD1＝，解得DD1＝3，则B(3，3，0)，B1(3，3，3)，E(1，0，0)，F(0，1，0)，＝(0，0，3)，＝(2，3，3)，＝(－1，1，0).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则可取n＝(3，3，－5)，设直线BB1与平面B1EF所成角为θ，则sin θ＝＝＝，所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值为.
2．解 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC 平面ABCD，所以AC⊥平面PBD，因为PO 平面PBD，所以AC⊥PO，因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，因为PO 平面PAC，所以BD⊥PO，因为AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
(2)由(1)知，AC，PO，BD两两垂直，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，OA＝2OD＝2，则D(0，－1，0)，C(－2，0，0)，B(0，1，0)，＝(－2，1，0)，设P(0，0，t)，t>0，则＝(0，1，－t)，＝(2，1，0)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
令z＝2得y＝2t，x＝－t，故m＝(－t，2t，2)，
直线DC与平面PBC所成角的正弦值为，即|cos 〈，m〉|＝＝＝，解得t＝1，负值舍去，则m＝(－1，2，2)，平面PAC的一个法向量为n＝(0，1，0)，设平面PAC与平面PBC夹角为θ，cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
3．解 (1)证明：由题得，AE＝AD＝2，AF＝AB＝4，又∠BAD＝30°，所以由余弦定理得EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF·cos 30°＝4，故EF＝2.又EF2＋AE2＝AF2，所以EF⊥AE.由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥ED，又ED∩PE＝E，ED，PE 平面PED，所以EF⊥平面PED.又PD 平面PED，所以EF⊥PD.
(2)如图，连接CE，又DE＝3，CD＝3，∠CDE＝90°，故CE＝＝6.又PE＝AE＝2，PC＝4，所以PE2＋CE2＝PC2，故PE⊥CE.又PE⊥EF，CE∩EF＝E，CE，EF 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(0，3，0)，F(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(3，3，0)，连接PA，则＝(0，3，－2)，＝(3，0，0)，＝(0，2，2)，＝(2，2，0).设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则可取n1＝(0，2，3).设平面PBF即平面PAF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则可取n2＝(，－1，1).|cos 〈n1，n2〉|＝＝.故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为＝.
4．解
①
(1)证明：取PD的中点为E，连接QE，CE，如图①，因为E为PD的中点，所以ED＝PD，由AQ＝PD，则AQ＝DE，因为AQ∥PD，所以四边形ADEQ是平行四边形，则QE∥AD，且QE＝AD，因为在正方形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，即QE∥BC且QE＝BC，所以四边形BQEC为平行四边形，则BQ∥CE，因为BQ 平面PDC，CE 平面PDC，所以BQ∥平面PDC.
(2)由∠PDA＝∠PDC＝，则PD⊥AD，PD⊥CD，在正方形ABCD中，AD⊥CD，所以DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图①，则C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，Q(2，0，1)，可得＝(2，0，0)，＝(0，－2，2)，＝(0，2，－1)，＝(－2，0，1)，设平面PCB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则令y1＝1，则x1＝0，z1＝1，所以平面PCB的一个法向量n＝(0，1，1)；设平面PBQ的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则令x2＝1，则y2＝1，z2＝2，所以平面PBQ的一个法向量m＝(1，1，2)，设平面CPB与平面PBQ所成角为θ，则cos θ＝＝＝，由θ∈，则θ＝.
②
(3)由题意作图如②：设DH＝h∈[0，2]，则H(0，0，h)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，可得＝(－2，0，h)，＝(2，2，－2)，设异面直线AH与PB所成角为α，则cos α＝＝＝，整理可得6h2－25h＋24＝0，解得h＝＝，即h1＝，h2＝，由0<<2<，则h＝，即H(0，0，)，故点H为靠近P的四等分点．(共24张PPT)
微练(十三)
空间向量与空间角
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②
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解
②
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B
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D
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A
B
X微专题9 空间向量与立体几何
1.空间向量与空间角
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v.
(1)异面直线所成的角：设l，m的夹角为θ(0<θ≤)，则cos θ＝；
(2)直线与平面所成的角：设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sin θ＝|cos 〈a，μ〉|＝；
(3)平面与平面所成的角：设平面α与平面β的夹角为θ(0≤θ≤)，则cos θ＝|cos 〈μ，v〉|＝.
2.空间距离
(1)点到直线的距离：
①
如图①，向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为PQ＝＝.(其中u是直线l的单位方向向量)
②
(2)点到平面的距离：如图②，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝.
专项1 空间向量与空间角
微点一 直线与平面所成的角
例1 (2025·开封二模)在四棱锥P ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，且PA＝AB＝BC＝AD＝2.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
向量法求直线与平面所成角的步骤
(1)建系→找出(或作出)两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系．
(2)求向量→先分别求出相关点的坐标，再求直线的方向向量和平面的法向量．
(3)用公式→由两向量夹角的余弦公式cos 〈m，n〉＝求两个向量的夹角的余弦值．
提醒 平面的法向量与斜线的方向向量所成角的余弦值的绝对值为线面角的正弦值，不是余弦值．
训练1 如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，平面AB1C⊥平面ABCD，DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，∠BAD＝.
(1)证明：DD1∥平面AB1C；
(2)若B1A＝B1C，求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值．
微点二 平面与平面所成的角
例2 (2025·全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°.
(1)证明：A′B∥平面CD′F；
(2)求平面BCD′与平面EFD′A′所成的二面角的正弦值．
利用向量法求两平面夹角(二面角)的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角，用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.
(3)求两平面的夹角：cos θ＝.
(4)结合平面与平面夹角的范围求出两平面的夹角(或结合图形写出二面角).
训练2 (2025·湖北四模)如图，平面四边形PBCD中，点A是线段PD上一点，AB⊥PD，PD＝4，沿着AB将△PAB翻折，得到四棱锥P ABCD.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若AB＝AP，且CD＝，∠ADC＝45°，折叠后∠PAD＝120°.
(ⅰ)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值的最大值；
(ⅱ)若三棱锥P ACD的四个顶点均在以G为球心的球上，则球G的体积是否存在最小值？若存在，求出此时线段AB的长；若不存在，请说明理由．
专项1 空间向量与空间角
例1 解
(1)证明：在四棱锥PABCD中，由BC∥AD，∠BAD＝120°，得∠ABC＝60°，连接AC，如图，而AB＝BC，则△ABC为等边三角形，取AB的中点E，连接CE，则CE⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE 平面ABCD，得CE⊥平面PAB，而PA 平面PAB，则CE⊥PA，又PA⊥AD，CE与AD相交，CE，AD 平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)取BC的中点F，连接AF，AF＝，BF＝CF＝1，AF⊥BC，AF⊥AD，由PA⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，得PA⊥AF，即AF，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线AF，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由PA＝AB＝BC＝AD＝2，得A(0，0，0)，F(，0，0)，B(，－1，0)，P(0，0，2)，＝(，－1，－2)，＝(，0，0)，显然为平面PAD的一个法向量，设直线PB与平面PAD所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值是.
训练1 解 (1)证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接OB1，B1D1，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，因为DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，所以OD∥B1D1且OD＝B1D1，所以四边形OB1D1D为平行四边形，所以OB1∥DD1，又DD1 平面AB1C，OB1 平面AB1C，所以DD1∥平面AB1C.
(2)因为B1A＝B1C，O为AC的中点，所以OB1⊥AC，又平面AB1C⊥平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，OB1 平面AB1C，所以OB1⊥平面ABCD.又OB1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD，又在△ABD中，AD＝AB＝2，∠BAD＝，所以BD＝2，则AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B1(0，，2)，C(－2，2，0)，B(0，2，0)，C1(－1，，2)，所以＝(－1，－，2)，＝(－2，，2)，＝(－4，2，0)，设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝，则y＝2，z＝0，所以n＝(，2，0).则|cos 〈，n〉|＝＝，所以直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值为.
例2 解 (1)证明：因为EB∥FC，EB 平面CD′F，FC 平面CD′F，所以EB∥平面CD′F，因为A′E∥D′F，A′E 平面CD′F，D′F 平面CD′F，所以A′E∥平面CD′F.因为EB 平面BA′E，A′E 平面BA′E，EB∩A′E＝E，所以平面BA′E∥平面CD′F.因为A′B 平面BA′E，所以A′B∥平面CD′F.
(2)因为∠DAB＝90°，EF∥AD，所以∠FEB＝90°，即AB⊥EF，翻折后，A′E⊥EF，EB⊥EF，所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠A′EB，即∠A′EB＝60°，同理∠D′FC＝60°.设AD＝1，取CF的中点O，连接D′O，在△OD′F中，D′F＝1，OF＝，∠D′FO＝60°，由余弦定理得OD′＝，所以D′F2＝OF2＋OD′2，所以OD′⊥OF.在线段EB上取一点M，使得EM＝，连接OM，则EM＝OF，又EM∥OF，所以四边形EMOF为平行四边形，所以EF∥OM，
因为D′F⊥EF，CF⊥EF，D′F∩CF＝F，所以EF⊥平面CD′F，即OM⊥平面CD′F，所以OM，OC，OD′两两垂直，如图所示，以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(1，，0)，C(0，，0)，D′(0，0，)，E(1，－，0)，F(0，－，0)，＝(1，1，0)，＝(0，－，)，＝(1，0，0)，＝(0，，).设平面BCD′的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取z1＝，则m＝(－3，3，).设平面EFD′A′的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即取z2＝，则n＝(0，－3，).设平面BCD′与平面EFD′A′的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，所以sin θ＝＝＝，所以平面BCD′与平面EFD′A′所成二面角的正弦值为.
训练2 解 (1)证明：在平面四边形PBCD中，因为点A是线段PD上一点，AB⊥PD，所以折叠后有AB⊥PA，AB⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB 平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)(ⅰ)设AB＝AP＝t(0(ⅱ)如图，设△PAD和△ACD的外接圆圆心分别为点E，F，过点E作平面PAD的垂线，过点F作平面ACD的垂线，则两垂线的交点就是球心G.过点F作FH⊥AD于H，连接EH，PG，PE，DF，显然四边形GFHE为矩形，所以GE2＝PG2－PE2＝FH2＝DF2－DH2.在△PAD中，由余弦定理得PD＝，由正弦定理得△PAD的外接圆半径r1＝PE＝＝；在△ACD中，由余弦定理得AC＝，由正弦定理得△ACD的外接圆半径r2＝DF＝＝.设球G的半径为R，则PG＝R，PG2－PE2＝DF2－DH2，即R2－r＝r－()2，即R2＝r＋r－()2＝＝(t－2)2＋4，故当t＝2时，R取得最小值2，此时球G的体积为.综上，球G的体积存在最小值，此时AB＝2.(共38张PPT)
专题三
立体几何
专题三 立体几何
微专题9
空间向量与立体几何
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
专题三 立体几何
专项1
空间向量与空间角
解
解
解
方法提炼
方法提炼
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
方法提炼
方法提炼
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