微专题12 随机变量及其分布
1.若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，且X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，则：
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2)i＝1；
(3)E(x)＝ipi；
(4)D(X)＝(xi－E(X))2pi.
2．随机变量的数学期望与方差的相关公式
(1)若E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η).
(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ).
(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
3．几个特殊分布的期望与方差
(1)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
(2)超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，X表示抽取的n件产品中的次品数，则随机变量X服从超几何分布，E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)，D(X)＝(1－).
(3)正态分布：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
专项1 离散型随机变量的均值与方差
微点一 分布列的性质及应用
例1 (1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是 ( )
A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋2)＝7
C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6
(2)(多选题)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
则下列结论正确的是 ( )
A．m＝ B．E(X)＝
C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝
[听课记录]____________________________________________________________
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分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．训练1 (1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有 ( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
(2)(多选题)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，则下列说法正确的是 ( )
ξ 0 1 2
P x
A.x＋y＝1
B．E(ξ)＝
C．D(ξ)有最大值
D．D(ξ)随y的增大而减小
微点二 定义法求离散型随机变量的均值与方差
例2 (1)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________.
(2)(2025·梅河口模拟)某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求．
①求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
②用X表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X的分布列和数学期望．
求随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能值；
(2)求X取每个值时对应的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值定义求出E(X)；
(5)由方差定义求出D(X).训练2 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项．根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系．(结论不要求证明)
专项1 离散型随机变量的均值与方差
例1 (1)C 解析 随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1.对于A，P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，故A不正确；对于B，因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；对于C，D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；对于D，因为D(ξ)＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正确．
(2)ACD 解析 由＋m＋＝1，得m＝，A正确．E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(2X－1)＝2E(X)－1＝，B不正确，C正确．D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＝，D正确．故选ACD.
训练1 (1)ACD 解析 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，A正确．由题意，得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，所以D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，B错误，C正确．因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，D正确．故选ACD.
(2)ABC 解析 由题意可知x＋＋＝1，即x＋y＝1，故A正确；E(ξ)＝0×x＋1×＋2×＝，故B正确；D(ξ)＝x(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＝(1－y)＋(1－)2＋(2－)2＝－y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，所以0例2 (1) 解析 X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝C()3＝＝，P(X＝2)＝C()3×6＝＝，P(X＝3)＝C×()3×6＝＝，所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)解 ①由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为＝；乙同学没有要求，则选中建模的概率为＝.故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为×＝.
②由①知，甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为＝，由题意X可能的取值有0，1，2，3，故P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，P(X＝2)＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝，P(X＝3)＝××＝.故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
训练2 解 (1)记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.
(2)由已知可得，X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)D(ξ)＝D(η).理由：因为ξ＋η＝3，故ξ＝3－η，D(ξ)＝D(3－η)＝(－1)2D(η)＝D(η).(共26张PPT)
专题四 概率与统计
微专题12
随机变量及其分布
核心整合
核心整合
核心整合
专题四 概率与统计
专项1
离散型随机变量的均值与方差
解析
解析
方法提炼
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
解析
解析
解析
解
解
解
方法提炼
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
解
解
解
以题梳点
和考君微练(十八) 离散型随机变量的均值与方差
班级： 姓名：
一、单项选择题
1．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 3
P m 2m
则E(X)＝ ( )
A．2 B． C． D．1
2．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则数学期望E(ξ)为 ( )
A． B． C．1 D．
3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件．若抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝ ( )
A．2 B．1 C．3 D．4
4．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－1|，则P(Y＝1)＝ ( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 1 2
P a b
则当D(X)取得最大值时，a的值为 ( )
A． B． C． D．
6．(2025·湖北联考)已知随机变量X，Y均服从两点分布，若P(X＝1)＝，P(Y＝0)＝，且P(X＝Y)＝，则P(XY＝0)＝ ( )
A． B． C． D．
二、多项选择题
7．已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab≠0，则下列说法正确的是 ( )
X 0 1 2
P a
A.a＋b＝1 B．E(X)＝2b
C．D(X)有最大值 D．D(X)有最小值
8．设离散型随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则 ( )
A．m＝0.1 B．n＝0.1
C．E(Y)＝－8 D．D(Y)＝－7.8
三、填空题
9．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
10．(2025·天津高考)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________．
四、解答题
11．盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
12．为丰富群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛．经过抽签，甲、乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制(若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束).根据以往数据统计，甲、乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分．用X表示甲、乙比赛结束后甲获得的积分，求X的分布列和数学期望.
微练(十八) 离散型随机变量的均值与方差
1．C 解析 由＋3m＝1，解得m＝，则E(X)＝0×＋2×＋3×＝.
2．D 解析 ξ可取0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故选D.
3．C 解析 ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝.所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.
4．A 解析 因为Y＝|X－1|，所以P(Y＝1)＝P(X＝0或X＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3.故选A.
5．D 解析 由题意得，a＋b＋＝1，所以a＝1－ ①.又E(X)＝0·a＋1·b＋2·＝2b，所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝02·a＋12·b＋22·－4b2＝－4b2＋3b＝－4(b－)2＋，故当D(X)取得最大值时，b＝，代入①得此时a＝1－×＝.
6．A 解析 因为随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X＝1)＝，P(Y＝0)＝，所以P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝，P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝0)＝，所以P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)，又因为P(X＝Y)＝，所以P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)＝，所以P(XY＝0)＝1－P(X＝1，Y＝1)＝1－＝.故选A.
7．AC 解析 由题意可知a＋＋＝1，即a＋b＝1，所以A正确；因为E(X)＝0×a＋1×＋2×＝，所以B不正确；因为D(X)＝a(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＝－b2＋b＝－(b－)2＋，b∈(0，1)，所以D(X)是开口向下的二次函数．所以D(X)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，所以D(X)有最大值，无最小值．所以C正确，D不正确．故选AC.
8．BC 解析 由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.2×(3－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误．故选BC.
9． 解析 由题意知P(ξ＝2)＝＝.ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
10．0.6 3.2 解析 小桐一周跑11圈的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6.小桐一周运动量达标的概率p＝1－0.5×0.4＝0.8，显然X服从二项分布B(4，0.8)，故E(X)＝4×0.8＝3.2.
11．解 (1)从8个小球中，随机一次取出3个小球，共有C＝＝56种结果．先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有CCCC＝32种结果．记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”，则P(A)＝＝.所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为.
(2)因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
12．解 (1)甲获胜的情况如表所示：
第一局 第二局 第三局 概率
胜 胜 ×
胜 负 胜 ××
负 胜 胜 ××
则甲获胜的概率p＝×＋××＋××＝.
(2)甲各局的胜负情况及最后积分如表所示．
第一局 第二局 第三局 得分 概率
胜 胜 11 ×
负 负 2 ×
胜 负 胜 7 ××
负 胜 胜 12 ××
胜 负 负 5 ××
负 胜 负 5 ××
X的可能取值为2，5，7，11，12.P(X＝2)＝，P(X＝5)＝＋＝，P(X＝7)＝，P(X＝11)＝，P(X＝12)＝.所以X的分布列为
X 2 5 7 11 12
P
E(X)＝2×＋5×＋7×＋11×＋12×＝.(共27张PPT)
微练(十八) 离散型随机变量
的均值与方差
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