2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第9章 平面向量（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第9章 平面向量
一、选择题
1．已知向量和的夹角为,且,则( )
A.12 B. C.4 D.13
2．在中,,,则( )
A. B.
C. D.
3．已知非零向量满足,则( )
A. B. C. D.
4．设非零向量,满足,,则向量的夹角等于( )
A. B. C. D.
5．已知向量，，且，则m的值为( )
A. B.2 C. D.8
6．在所在平面中有一点P满足,且,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量,若,则( )
A. B. C. D.
8．在平行四边形中,,直线与直线所成的夹角为,则平行四边形的面积为( )
A. B. C.1 D.3
二、多项选择题
9．已知平面向量,,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则向量在上的投影向量为
D.若,则向量与的夹角为锐角
10．若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有( )
A. B. C. D.
11．已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为( )
A. B.4 C.6 D.8
12．在平行四边形中，点E，F分别是边和的中点，P是与的交点，则有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．已知向量,,的夹角为,则________________.
14．填空：
(1)______；
(2)______；
(3)______；
(4)______.
15．已知,且,则与的夹角θ的取值范围是__________.
16．平面向量,满足,,,则________.
四、解答题
17．已知,是两个单位向量,其夹角为,,.
(1)求,；
(2)求与的夹角.
18．已知向量,满足：,.
(1)求向量与的夹角；
(2)求.
19．已知向量夹角为的向量,满足,.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
20．如图，在等腰梯形中，，，E，F分别为，的中点，与交于点M.
（1）令，，用a，b表示；
（2）求线段的长.
21．解决下列问题
（1）.已知,,,,若,则m的值为多少;
（2）.已知的顶点为,,,若为直角三角形,求m的值.
22．设平面向量，，.
(1)若，求k的值；
(2)若，求t的值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为向量和的夹角为,且,,
则.
故选：D.
2．答案：B
解析：由题意知,,
所以
.
故选：B.
3．答案：B
解析：,,,.
故选：B.
4．答案：B
解析：由等式,两边平方得：,
则,且,所以.
,即.
故选：B.
5．答案：A
解析：因为向量，，且，
则，解得，所以m的值为.
故选：A.
6．答案：C
解析：由题设,则,
即,则,
又,所以.
故选:C
7．答案：A
解析：因为,
所以,,
又,
所以,解得.
故选：A.
8．答案：A
解析：设与相交于点O,由题意可得
由平行四边形的面积等于,
因为,
所以,
又,
所以,
由得,则,
所以四边形的面积为.
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于A,若,可得,即,解得,所以A错误;
对于B,若,根据平面向量共线性质,可得,即,所以B正确;
对于C,若,则,由投影向量定义可知向量在上的投影向量为,所以C正确;
对于D,若,则,所以;
但当时,,此时向量与的夹角为,所以D错误;
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：对于A，由已知是一组基底，则与不共线，
设，则，无解，
所以不存在实数a使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故A正确；
对于B，设，则，无解，
所以不存在实数b使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故B正确；
对于C，，即与共线，
所以不可以作为基底，故C错误；
对于D，设，则，无解，
所以不存在实数c使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故D正确；
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：由题意知，，，的夹角为锐角，
，且，解得且，
故的取值范围为.选项C、D符合题意.
故选：CD.
12．答案：AC
解析：如图所示：
对A，，
又，即，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，设O为与的交点，由题意可得：P是的重心，
故，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC.
13．答案：1
解析：由,得.
由,得,
整理,得,
解得或（舍去）.
故答案为：1.
14．答案：；；；
解析：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
故答案为：(1)；(2)；(3)；(4).
15．答案：
解析：,即,
带值计算得：,故可得,
又,故可得.
故答案为：.
16．答案：
解析：由,两边平方可得,解得,
则,.
故答案为:.
17．答案：(1),；
(2).
解析：(1)因为,是两个单位向量,其夹角为,
则,,,
又,
所以,
同理,
所以；
(2)由题得,,
设与的夹角为,
则,
因为,所以,
则向量与的夹角为.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)设向量与的夹角,
,解得,
又,
(2)由向量的模长公式可得：.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,,
所以
.
(2)
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1），F分别为，的中点，
.
（2）设，
，F分别为，的中点，
.
，E，D三点共线，M，B，F三点共线，
解得
即.
由题易知与平行且相等，∴四边形是平行四边形，
，是等边三角形，
，
则.
21．答案：（1）0或1
（2）或或2或3.
解析：（1）因,则,
又由题可得,,
则,
得或1;
（2）若A为直角顶点,则,
又,则;
若B为直角顶点,则,
又,则;
若C为直角顶点,则,
又,则;.
综上,m可为或或2或3.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为，，所以，
又，且，所以，
解得.
（2）因为，，所以，
又，且，所以，
解得.
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