专项2 三类分布模型及应用
微点一 二项分布
例1 (2025·安徽五校联考)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、期望及方差．
二项分布概率模型的解题策略
(1)求解二项分布问题的“四关”：一是“判断关”，即判断离散型随机变量X是否服从二项分布；二是“公式关”，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出概率p，然后利用P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，求出X取各个值时的概率；三是“分布列关”，列出表格，得到离散型随机变量的分布列；四是“结论关”，分别利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，求期望和方差．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时可以应用均值与方差的性质求解，即利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
训练1 (2025·安庆模拟)DeepSeek席卷全球引发了AI浪潮．某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立DeepSeek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员．下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数．
社团 计划人数 报名人数
数据运用 50 100
模型设计 60 m
场景分析 n 160
迁移学习 160 200
甲同学报名参加这四个学生社团，记ξ为甲同学最终被招募的社团个数，已知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝4)＝.
(1)求甲同学至多获得三个社团招募的概率；
(2)求甲同学最终被招募的社团个数的期望．
微点二 超几何分布
例2 北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表．
成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 5 5 15 25 10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层随机抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
求超几何分布的分布列的解题模型
(1)对于超几何分布，首先要确定参数N，M，n的值．
(2)明确随机变量的所有可能取值，以及随机变量取每一个值时对应的k值．
(3)将k的值一一代入超几何分布的概率计算公式，求出对应概率．
(4)写出分布列．
(5)利用公式求期望值．训练2 某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围．
微点三 正态分布
例3 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)(多选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则 ( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
(2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
[听课记录]____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
利用正态分布求概率的两个常见方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，所以随机变量在关于直线x＝μ对称的区间上取值的概率相等．如：①P(Xμ＋a).
(2)“3σ”法：利用X的取值落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
训练3 (2025·江西宜春模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为＝110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s；
(2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计．记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y＝5X－10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数．
注：≈2.4；
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
专项2 三类分布模型及应用
例1 解 (1)设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”，依题意，P(B)＝，P()＝，P(A|B)＝，P(A|)＝，因此P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋×＝，所以智能客服的回答被采纳的概率为.
(2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B(3，)，P(X＝0)＝C()0()3＝，P(X＝1)＝C()1()2＝，P(X＝2)＝C()2()1＝，P(X＝3)＝C()3()0＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E(X)＝3×＝；D(X)＝3××＝.
训练1 解 (1)由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ξ＝4”是对立的，所以甲同学至多获得三个社团招募的概率是1－P(ξ＝4)＝1－＝.
(2)解法一：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习四个社团招募依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，P(ξ＝0)＝P()＝(1－)×(1－)×(1－)×(1－)＝，P(ξ＝4)＝P(ABCD)＝×××＝，又m>60，n<160，解得m＝120，n＝80，则P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(ξ＝3)＝P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.3.
解法二：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习四个社团招募依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，P(ξ＝0)＝P()＝×××＝，P(ξ＝4)＝P(ABCD)＝×××＝，又m>60，n<160，解得m＝120，n＝80.设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析3个社团，最终被招募的社团个数X，由于其被招募的概率均为，所以X服从二项分布，故X～B；甲同学被迁移学习社团招募的概率为，最终被迁移学习社团招募的个数为Y，则Y也服从二项分布，Y～B，从而ξ＝X＋Y，故E(ξ)＝E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝3×＋1×＝2.3.
例2 解 (1)设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以P(A)＝＝，所以可估计这名学生考核优秀的概率为.
(2)由已知，用分层随机抽样方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80)的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90)的学生应抽取5人．由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
训练2 解 (1)设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2，3，4.P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，故小张猜中谜语道数X的分布列为
X 2 3 4
P
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B(4，p)，Y的取值分别为0，1，2，3，4，P(Y＝0)＝(1－p)4，P(Y＝1)＝C(1－p)3p＝4p(1－p)3，P(Y＝2)＝C(1－p)2p2＝6p2(1－p)2，P(Y＝3)＝C(1－p)p3＝4p3(1－p)，P(Y＝4)＝p4.故小王猜中谜语道数Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4
(2)由(1)可知E(X)＝2×＋3×＋4×＝3，E(Y)＝4p，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0例3 (1)BC 解析 依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误．
(2)0.14 解析 由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2训练3 解 (1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s＝＝5≈5×2.4＝12.
(2)由(1)知μ可用＝110来估计，σ可用s来估计．故X～N(110，122).又P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝≈＝0.135 9，故P(122≤X≤134)≈0.135 9.又Y＝5X－10，所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134)≈0.135 9.故这20 000名考生中成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9＝2 718.(共36张PPT)
专题四 概率与统计
微专题12
随机变量及其分布
专题三 立体几何
专项2
三类分布模型及应用
解
解
解
方法提炼
方法提炼
解
解
解
解
解
解
成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 5 5 15 25 10
解
解
解
方法提炼
解
解
解
解析
解析
方法提炼
解
解
以题梳点
和考君
频率/组距
0.033
88影
0.009
0.008
0.002
0
758595105115125135145数学成绩/分微练(十九) 三类分布模型及应用
班级： 姓名：
一、单项选择题
1．已知随机变量X～B(4，)，则P(X＝2)＝ ( )
A． B． C． D．
2．某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为 ( )
A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1
3．在一个袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球，3个白球，现从中任取3个小球，设取的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是 ( )
A．P(X＝1)＝
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E(X)＝
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则μ＝ ( )
A．－ B．0 C． D．1
5．(2025·唐山一模)随机变量X～N(μ，σ2)，σ>0.若P(X<μ＋σ)＝p，则P(μ－σA．1－p B．2－2p
C．p－ D．2p－1
6．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布N(120，σ2)，已知P(X>140)＝0.2，则X∈[100，140]的学生人数为 ( )
A．5 B．10 C．20 D．30
二、多项选择题
7．某市高三年级学生联考，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(110，25)，则下列说法正确的是 ( )
A．该市高三年级学生的数学成绩的方差是5
B．从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小
C．P(X>110)>
D．从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为
8．(2025·辽宁一模)随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，其概率分布可用下图直观的表示，则 ( )
A．n＝5 B．p＝
C．b＝ D．D(X)＝
三、填空题
9．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车．现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为________．
10．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10 000株水稻，株高在(80，90)的约有________株．(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
四、解答题
11．小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次，击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲、乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
12．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1 000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元.
(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
微练(十九) 三类分布模型及应用
1．B 解析 因为随机变量X～B(4，)，所以P(X＝2)＝C()4＝＝.
2．D 解析 由题得，P(X≥2)＝0.9，故P(X<2)＝0.1，因为＝4，所以根据对称性得P(X≥6)＝P(X<2)＝0.1.故选D.
3．C 解析 由题意知，随机变量X服从N＝7，M＝3，n＝3的超几何分布，故B错误，C正确；P(X＝1)＝＝，故A错误；E(X)＝n·＝3×＝，故D错误．故选C.
4．C 解析 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，可得P(x≤ξ≤x＋1)＝P(－x≤ξ≤－x＋1)，所以[x，x＋1]与[－x，－x＋1]对称，所以ξ的正态曲线关于直线x＝＝对称，又ξ服从正态分布N(μ，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝μ对称，所以μ＝.故选C.
5．D 解析 因为X～N(μ，σ2)，σ>0且P(X<μ＋σ)＝p，所以P(X≥μ＋σ)＝1－p，根据正态曲线的对称性，可得P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝1－p，所以P(μ－σ6．D 解析 因为期末考试数学成绩服从正态分布N(120，σ2)，所以期末考试数学成绩关于直线μ＝120对称，则P(X>140)＝P(X<100)＝0.2，所以P(100≤X≤140)＝1－2×0.2＝0.6，所以X∈[100，140]的学生人数为0.6×50＝30.故选D.
7．BD 解析 由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的方差是25，A错误；P(X>120)＝P(X>110＋5×2)，P(X<105)＝P(X<110－5)，由正态分布的性质可知B正确；数学成绩X的期望为110，所以P(X>110)＝，C错误；学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立，所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为1－()3＝，D正确，故选BD.
8．BCD 解析 对于A，由频率分布直观图可得X可以取0，1，2，3，4，所以n＝4，故A错误；对于B，由P(X＝4)＝Cp4＝，所以p＝，故B正确；对于C，P(X＝1)＝Cp(1－p)3＝4××()3＝，所以b＝，故C正确；对于D，D(X)＝np(1－p)＝4××＝，故D正确．故选BCD.
9． 解析 恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P＝＝＝.
10．1 359 解析 由题意，μ＝100，σ＝10，由正态分布的对称性可得P(8011．解 (1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A；“射击一次获得一等奖”为事件B；“射击一次获得二等奖”为事件C，所以有A＝B∪C，所以P(B)＝，P(C)＝×＝，所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.故所求的概率为.
(2)获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0，1，2，3，4.记“获得三等奖”为事件D，所以P(D)＝＋×＝，所以P(X＝0)＝C()0()4＝，P(X＝1)＝C()1()3＝，P(X＝2)＝C()2()2＝＝，P(X＝3)＝C()3()＝＝，P(X＝4)＝C()4()0＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
显然X～B(4，)，所以E(X)＝4×＝1.
12．解 (1)设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝.
(2)设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.则Y～B，所以P(Y＝0)＝C×()0×()3＝，P(Y＝1)＝C×()1×()2＝，P(Y＝2)＝C×()2×()1＝，P(Y＝3)＝C×()3×()0＝，所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝.
(3)因为E(X)＝E(Y)，D(X)微练(十九)
三类分布模型及应用
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解
