2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第11章 解三角形（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第11章 解三角形
一、选择题
1．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角C的大小是( )
A. B. C. D.或
2．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则( )
A. B. C. D.
3．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,,则c为( )
A.1 B.2 C.3 D.1或2
4．在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,则的形状为( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
5．在中,,,,则( )
A. B. C. D.
6．在中,内角的对边分别为．若,,且,则( )
A. B. C. D.
7．在中，，，，则( )
A. B. C. D.
8．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,则( )
A. B. C.1 D.2
二、多项选择题
9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则c的值可以是( )
A.1 B. C.2 D.
10．在中，已知，，，则角A的度数为( )
A. B. C.30° D.
11．已知满足，且的面积，则下列命题正确的是( )
A.的周长为
B.的三个内角A，B，C满足关系
C.的外接圆半径为
D.的中线的长为
12．在中,已知,,,则角A的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,,
（1）求角A的大小;
（2）求b的值与的面积;
（3）求的值.
14．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，使活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处.设连杆AB长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）约为___________mm.（结果保留整数，取为）
15．在中,,,,为边上的高,则的长是______________.
16．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积，，，则的周长为_____________.
四、解答题
17．在中,,角A的平分线交线段于点D.
(1)若,求角B；
(2)若,问：的面积能否取到？若能,请求出和的长度；若不能,请说明理由.
18．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,,,.
（1）求b和的值;
（2）求三角形BC边的中线长;
（3）求的值.
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求;
（2）若,的面积为2,求的周长.
20．记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，且的外接圆半径为，求的面积.
21．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在边AB上，且满足，求的值.
22．在中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.
(1)证明：；
(2)如图,点D在线段的延长线上,且,,当点C运动时,探究是否为定值？
参考答案
1．答案：B
解析：由题设及,则,
又,故C为锐角,且,所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为,且,所以,
由正弦定理得,即,解得.
3．答案：B
解析：因为,,,
根据余弦定理,,得,解得或（舍.
4．答案：A
解析：因为,由正弦定理可得,
所以,
因为A、,故,,
因此,为等腰直角三角形.
故选:A.
5．答案：A
解析：在中,,,
根据余弦定理：
可得 ,即
由
故.
故选：A.
6．答案：A
解析：因为,,且,
由余弦定理知,
,解得,
故选：A．
7．答案：B
解析：由余弦定理，
又，所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：如图所示,过点A作于点D,
则,
同理可证,
因为,所以,
整理得,因为为锐角三角形,所以,
所以,即,
故选:D
9．答案：AC
解析：根据余弦定理可得，
即，，，，
解得或.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：由正弦定理可得，，
，或
故选：AB.
11．答案：BC
解析：因为满足，所以，
设，，，，
利用余弦定理得，
因为，所以.
因为，所以，解得，
所以，，.
对于A，的周长为，故A不正确；
对于B，因为，所以，故，故B正确；
对于C，由正弦定理得外接圆半径为，故C正确；
对于D，如图所示，在中，利用正弦定理，解得，
又，所以，在中，
利用余弦定理得，解得，故D不正确.
故选BC.
12．答案：BC
解析：由正弦定理得,得,
因为,且,所以或.
故选:BC.
13．答案：（1）
（2）,
（3）
解析：（1）由可得,可得,
因为,则,所以,解得.
（2）由正弦定理,有,所以,
由（1）知,由余弦定理得,
解得,,
所以的面积为.
（3）由余弦定理可得,
所以,
所以
.
14．答案：36
解析：法一：在中，，，，.由正弦定理得，，，，，故，即曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离约为.
法二：，，.在中，由余弦定理，可得（负值舍去），故，即曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离约为.
15．答案：
解析：因为,所以,所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为的面积，所以，
所以.
因为，所以.
又，则，
所以.
又，所以，
由余弦定理可得，
由，，可得，所以，，
所以，故的周长为.
17．答案：(1)
(2)不能,理由见解析
解析：(1)设,由题意可知,
在中,由正弦定理可得,
在中,由正弦定理可得,
因为,为角A的平分线,所以,
又有,所以,
设,则,
在中,由余弦定理可得
所以,
进而有
所以角B是.
(2)的面积不能取到.
方法一：因为角A的平分线交线段于点D,
所以,进而,
,
又,解得,当且仅当时等号成立.
所以的面积最小值为
因为,所以的面积不能取到.
方法二：因为角A的平分线交线段于点D,
所以,进而,
化简得,
若的面积能取到,则,进而①
所以,②
联立①②,可得,此方程无解.
所以的面积不能取到.
18．答案：（1）,;
（2）;
（3）.
解析：（1）在中,因为,故由,可得.
由已知及余弦定理,有,所以.
由正弦定理,得.
所以,b的值为,的值为.
（2）设BC边的中点为D,在中,
由余弦定理得:,
（3）由（1）及,得,所以,
.
故.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理得,
因为,所以,所以,
又因为,所以,则.
由,可得.
（2）由余弦定理得.
因为,所以,所以.
所以,可得.
所以的周长为.
20．答案：(1)
(2)4
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，
又，则，
所以，
即，
化简得，又，，
所以，又，所以.
（2）设外接圆的半径为r，则，
所以，
由余弦定理得，结合，
，即，解得，则，
所以.
21．答案：（1）
（2）2
解析：（1）在中，，
，，
方法一：在中，由正弦定理得，.
，.
，.
，，.
方法二：，，，.
（2）方法一：如图，过点D作DH垂直于AC于点H.
由题可得.
设，，，，.
方法二：在中，由正弦定理得①，
在中，由正弦定理得，②，
，得.
22．答案：(1)证明见解析
(2)为定值.
解析：(1)因为,
由正弦定理可得,
再由余弦定得得,整理得.
(2)因为互补,所以,
结合余弦定理可得,
因为,,则,
整理得,又,
则,
从而,故为定值.
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