2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第12章 复数（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第12章 复数
一、选择题
1．已知复数，（i为虚数单位，），且是纯虚数，则a的值为( )
A. B. C.2 D.
2．若，则( )
A. B. C. D.
3．若,则z的共轭复数( )
A. B. C. D.
4．设,复平面内表示复数的点在直线上,则( )
A. B. C. D.
5．设,且为纯虚数,则( )
A. B. C.1 D.2
6．已知复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
7．著名数学家棣莫弗出生于法国,他提出了公式,其中.设复数,若正整数n满足,则n最大值为( )
A. B. C. D.
8．计算( )
A. B. C.2 D.
二、多项选择题
9．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是( )．
A.若，则点Z的集合是圆
B.若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C.若，则点Z的集合是y轴所在的直线
D.若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
10．若复数z满足，且，则z可能是( )
A.i B. C. D.
11．若复数z的模为5,虚部为,则复数z可以为( )
A. B. C. D.
12．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.若，则或
B.若点Z的坐标为，且z是关于x的方程的一个根，则
C.若，则z的虚部为-2i
D.若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
三、填空题
13．若复数z满足（i为虚数单位）,则复数z的共轭复数________.
14．已知是关于x的方程的根，则实数________.
15．设，则________.
16．已知i为虚数单位，复数____________.
四、解答题
17．复数，其中.
(1)若复数z为实数，求a的值：
(2)若复数z为纯虚数，求a的值.
18．已知是关于x的方程的一个根，其中，.
(1)求p、q的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
19．我们把（其中,）称为一元n次多项式方程.代数基本定理:任何一元次复系数多项式方程（即,,,…,为实数）在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知:任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.即,其中k,,,,…,为方程的根.进一步可以推出:在实系数范围内（即,,,…,为实数）,方程有实数根,则多项式必可分解因式.例如:观察可知,是方程的一个根,则一定是多项式的一个因式,即,由待定系数法可知,.
（1）在复数集内解方程:;
（2）设,其中,,,,且.
（i）分解因式:;
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
20．已知复数，，i是虚数单位.
(1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数a和b的值；
(2)当为何值时，关于x的二次方程有一个实根.
21．设,已知复数,分别求下列条件下的x的值
（1）z为实数
（2）z为纯虚数
22．复数z满足
（1）若复数z为实数,求m的值;
（2）若复数z为纯虚数,求m的值;
（3）设复数,若,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：，
因为为纯虚数，所以且，
所以.
故选：C
2．答案：C
解析：因为，所以.
故选：C.
3．答案：C
解析：依题意,,所以.
故选:C
4．答案：A
解析：复数的点为,
由题意得,解得,
所以,.
故选:A.
5．答案：D
解析：已知复数,实部为,虚部为,
因为复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,
即.
故选：D.
6．答案：D
解析：复数,
所以z的共轭复数为.
故选：D.
7．答案：D
解析：因为,则,
又,所以,
由,得到,又,且,
则,所以,
故选:D.
8．答案：C
解析：,
故选：C.
9．答案：ABC
解析：A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对；
B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对；
C：表示到，两点距离相等的点，即为y轴所在直线，对；
D：表示到，两点距离相等的点，
即为二、四象限的角平分线，错.
故选：ABC
10．答案：ABC
解析：，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项不正确；
故选：ABC.
11．答案：CD
解析：因为复数z的虚部为,故设,,
,解得,
,
故选:CD
12．答案：BD
解析：A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，
则，所以，
整理得，
所以，
解得，
所以，故B正确；
C中，已知z的虚部为-2，故C错误；
D中，记，
则
所以，
圆的面积为，
圆的面积为，
所以点Z的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD
13．答案：/
解析：因为,所以,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：因为是关于x的方程的根，其中，
所以也是关于x的方程的根，
所以，即.
故答案为：
15．答案：
解析：由题意可知，
则.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，
所以.
17．答案：(1)5或
(2)3
解析：（1）由复数z为实数，得，
解得或.
（2）由复数z为纯虚数，得，解得.
18．答案：(1)，
(2)
解析:(1)解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得，.
(2)解：由(1)得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
19．答案：（1）1、
（2）（i）;
（ii）证明见解析
解析：（1）观察可知,是方程的一个根,
则一定是多项式的一个因式,
即,
即有,解得,
即,
令,则,
即该方程的根为:1、;
（2）（i）观察可知,是方程的一个根,
则一定是多项式的一个因式,
即,
则有,即,
即;
（ii）令,即,
即,
设,由,,,,
有,故函数必有两个不同零点,
设,且,则,故,
又,
故,则方程的根有1、、,且,
故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为1,即.
20．答案：(1)，
(2)，
解析：(1)若是实系数一元二次方程的一个根，
则也是实系数一元二次方程的另一个根，
根据韦达定理得，
解得，；
(2)由
有，
所以，
所以，
所以，
当，时，原方程有一个实根为-1.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为z为实数,所以,即.
（2）因为z为纯虚数,所以,解得.
22．答案：（1）2
（2）
（3）
解析：（1）复数z为实数,所以.
（2）复数z为纯虚数,
所以,解得.
（3）,
,
即,
又,所以时,,时,,
所以的取值范围为.
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