2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第13章 立体几何初步（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第13章 立体几何初步
一、选择题
1．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为( )
A. B. C. D.
2．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3．若用长为4cm,宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒,则这个圆柱筒的最大体积为( )
A. B. C. D.
4．已知圆台的上 下底面半径之比为，若圆台的上 下底面圆周都在半径为5的球O（球心O在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5．一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是,则这个球的体积是( )
A. B. C. D.
6．如图,在正方体中,异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
7．已知圆锥的母线长为4,母线与底面所成的角是,则该圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
8．在空间直角坐标系中,已知,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题
9．在一个半径为4的大球内放入n个半径相同的小球，则( )
A.当时，小球半径最大为2 B.当时，小球半径最大为
C.当时，小球半径最大为 D.当时，小球半径最大为
10．如图,四边形是圆柱的轴截面,是圆柱的一条母线,已知,,则下列说法正确的是( )
A.圆柱的侧面积为 B.圆柱的侧面积为
C.圆柱的表面积为 D.圆柱的表面积为
11．已知m,n是两条直线,是一个平面,下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
12．已知是两条直线,是一个平面,下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
三、填空题
13．O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数________.
14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____________.
15．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为_______________.
16．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲、乙的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为_____________.
四、解答题
17．在正方体中,过三个点作一个平面,请画出二面角的平面角,并说明画图的根据.
18．如图所示,在棱长为1的正方体中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得平面.
19．如图,正四棱锥的底面边长为4,顶点S到底面中心O的距离为4,求它的表面积.
20．如图,在棱长为2的正方体中,求三棱锥的体积.
21．如图,已知点P为所在平面外任一点,点D,E,F分别在射线,,上,并且.求证：平面平面.
22．如图,点S是所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且.求证：平面.
参考答案
1．答案：D
解析：如图，连接，，则，
正四棱柱的体积为，
则，则，
则为异面直线与所成角，
则，，
故.
故选：D
2．答案：A
解析：由题可知圆锥的底面半径,母线长,高,
圆锥的体积为.
故选：A.
3．答案：D
解析：若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径,,
此时圆柱的体积,
若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径,,
此时圆柱的体积
圆柱的最大体积为.
故选：D.
4．答案：A
解析：设圆台的上 下底面半径分别为，，
由题意可得，解得，
所以圆台的体积为.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题知,该球为正方体的外接球,正方体的棱长为,
所以体对角线为该球的半径,
所以,这个球的体积是.
故选：B.
6．答案：D
解析：如图,连接
在正方体中,因为,,
所以四边形为平行四边形,所以
又在正方形中,,所以
则异面直线与所成角的大小为.
故选：D.
7．答案：C
解析：设圆锥的高为h,底面半径为r,又母线长为,
而母线与底面所成的角是30°,则,,
所以体积为.
故选:C
8．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,O为坐标原点,,,
可以看出,即两两互相垂直,
以为底面,为高,则,
根据三棱锥的体积公式可得.
故选:.
9．答案：AC
解析：对于A，当时，两小球外切与大球内切，此时小球半径最大，
则，解得，故A正确；
对于B，当时，设小球半径最大为r，则截面图如下：
三个球心组成边长为的等边三角形，
球心O是的中心，则，
，解得，故B错误；
对于C，当时，如图所示：
四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体，该正四面体的边长为，
如图在正四面体中，P在底面的投影为重心G，
则，，
正四面体的高为，
易知正四面体的外接球心O在高上，
则，又，
解得正四面体的外接球半径为，
，解得，故C正确；
对于D，当时，设小球半径最大为r，如图：
六个球心组成边长为的正八面体，
则正八面体的外接球半径为，
，解得，故D错误；
故选：AC.
10．答案：AC
解析：因为四边形是圆柱的轴截面,,,,
所以,故,
设底面圆的半径为,则解之可得,根据圆柱侧面积,故A正确；
圆柱的表面积,故C正确.
故选：AC.
11．答案：BD
解析：选项A:若,,则或或直线n与平面相交,故A选项不正确;
选项B:若,则在平面内存在一条直线,使得,
又,根据线面垂直定义得,所以,故选项B正确;
选项C:若,,则或,故C选项不正确;
选项D:若,,则,选项D正确;
故选:BD.
12．答案：BD
解析：选项A：若,,则或或直线n与平面相交,故A选项不正确；
选项B：若,则在平面内存在一条直线l,使得,
又,根据线面垂直定义得,所以,故选项B正确；
选项C：若,,则或,故C选项不正确；
选项D：若,,则,选项D正确；
故选：BD.
13．答案：
解析：因为P,A,B,C四点共面,所以,解得.
故答案为:.
14．答案：28
解析：设原正四棱锥为，
截去的正四棱锥为，，O分别为正四棱台上、下底面的中心，如图.
因为，，所以，.
由截面平行于底面得，又，所以，，
所以正四棱台上、下底面的边长分别为2和4，高为3，所以.
15．答案：
解析：如图，连接，交于点O，连接，交于点，
连接，过点作于点H，则为正四棱台的高.
在等腰梯形中，，，
则，，所以.
又，所以，所以，
所以正四棱台的体积为.
16．答案：
解析：∵圆台甲、乙的上、下底面半径均相等，
.
17．答案：答案见解析
解析：连接,交于点O,连接,则就是二面角的平面角,如下图所示:
根据：在底面正方形中,易知,且点O为的中点,
又正方体中,易知,所以；
由二面角定义可知就是二面角的平面角.
18．答案：点F是CD的中点
解析：如图,连接,则,
又,平面.
平面.又平面.
于是平面.
连接DE,则DE是在底面ABCD内的射影.
.
是正方形,E是BC的中点,
当且仅当F是CD的中点时,,
即当点F是CD的中点时,平面.
19．答案：
解析：作,垂足为点E,连接OE.
因为,所以.
因为,,,平面SOE,
所以平面SOE,而平面SOE,
所以,故.又,所以.
又底面周长,所以.
又,因此,该正四棱锥的表面积为.
20．答案：.
解析：在棱长为2的正方体中,是三棱锥底面上的高,
所以三棱锥的体积.
21．答案：证明见解析
解析：因为,所以.
又因为平面,平面,所以平面,
同理平面.
又因为,平面,
所以平面平面.
22．答案：证明过程见解析
解析：在上取E,使得,则,
因为平面,平面,
所以平面,
因为,所以,则,
又中,,故,
因为平面,平面,
所以平面,
因为平面,平面,,
所以平面平面,
因为平面,所以平面.
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