2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第15章 概率（含解析）

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2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册单元测试 第15章 概率
一、选择题
1．某小组有4名男生和2名女生,从中任选3名同学去参加活动,下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是( )
A.至少有1名女生 B.至少两名男生 C.至多一名女生 D.全是男生
2．甲 乙 丙三位同学进行知识竞赛,每局比赛两人对战,第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛,先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者,至多三局结束比赛.根据以往经验,每局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,每局比赛相互独立且没有平局.经抽签,甲 乙首先对战,丙旁观,设甲 乙 丙在三局内成为胜者的概率分别为,则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
4．把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为( )
A. B. C. D.
5．将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中,每个凹槽放一个小球,则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是( )
A. B. C. D.
6．已知事件M表示“3粒种子全部发芽”,事件N表示“3粒种子都不发芽”,则和( )
A.是对立事件 B.不是互斥事件
C.互斥但不是对立事件 D.是不可能事件
7．已知事件A与事件B互为对立事件,且,则( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
8．某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．袋中有红球3个,白球2个,黑球1个,从中任取2个,则互斥的两个事件是( )
A.至少有一个白球与都是白球
B.恰有一个红球与白、黑球各一个
C.至少一个白球与至多有一个红球
D.至少有一个红球与两个白球
10．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,则下列结论正确的是( )
A.“至少一个红球”的概率为 B.“恰有一个黑球”的概率为
C.“一个红球和一个黑球”的概率为 D.“两个都是红球”的概率为
11．一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球,其中2个红球,2个黄球,2个白球,随机从盒中依次不放回地摸出2个球,则下列事件相互独立的是( )
A.“摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同”
B.“摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同”
C.“摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球”
D.“摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球”
12．已知事件两两互斥,若,,,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．甲、乙两名同学独立破译同一组密码,甲能破译的概率为,乙能破译的概率为,则这组密码被破译的概率为________.
14．若以连续两次掷均匀骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标,则点在直线上的概率为__________________.
15．从集合中任取一个元素a,使得只有整数解的概率为________.
16．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色.事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是__________.
（1）A，B，C，D彼此互斥；
（2）A与D，B与C是对立事件；
（3）A的对立事件是；
（4）的对立事件为；
（5）与为互斥事件，但不是对立事件.
四、解答题
17．A，B，C，D这4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）A在边上；
（2）A和B都在边上；
（3）A或B在边上；
（4）A与B相邻；
（5）A在B的左侧（不一定相邻）.
18．战国时期，齐王与大臣田忌赛马，双方约定：
（1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；
（2）每匹马参加且只参加一次比赛；
（3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.
已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强.求田忌赢得比赛的概率.
19．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.甲、乙两人在罚球线各投球1次，求恰好命中1次的概率.
20．某同学从5本不同的科技书和7本不同的文艺书中任选一本阅读，那么他选中科技书的概率是多少？
21．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
（1）掷出的点数之和不大于7；
（2）掷出的点数之和不小于7；
（3）掷出的点数之和为6或7；
（4）掷出的点数之和为奇数；
（5）掷出的点数之和为偶数；
（6）掷出的点数之和为3的倍数.
22．甲、乙两位同学玩“石头、剪刀、布”的出拳游戏，在一次游戏中，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：A选项：事件“至少有1名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生,不满足互斥事件的概念,A选项错误；
B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件,B选项错误；
C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”,与事件“至多一名男生”为对立事件,C选项错误；
D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”,不能同时发生,满足互斥事件概念,
又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”,所以两事件不对立,D选项正确；
故选：D.
2．答案：C
解析：甲获胜的概率：甲获胜需局1胜乙且局2胜丙,概率为.
乙获胜的概率：乙获胜需局1胜甲且局2胜丙,概率为.
丙获胜的概率：
丙获胜包含两种情况：
①.局1甲胜乙,局2丙胜甲,局3丙胜乙,
概率为；
②.局1乙胜甲,局2丙胜乙,局3丙胜甲,
概率为；
故.
比较得,即.
故选：C
3．答案：B
解析：设事件A为不用现金支付,
则
故选：B.
4．答案：B
解析：点取值的集合共有个元素.方程组只有一个解等价于直线与相交,
即≠,即,而满足的点只有,,,共3个,故方程组只有一个解的概率为.
5．答案：B
解析：将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中,共有种放法,
恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有种放法,4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法,
所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是,
故选：B.
6．答案：C
解析：事件M表示“3粒种子全部发芽”,事件N表示“3粒种子都不发芽”,
所以事件M和事件N不会同时发生,是互斥事件,
因为3粒种子可能只发芽1粒,
所以事件M和事件N可以都不发生,则M和N不是对立事件.
故选:C
7．答案：C
解析：因为事件A与事件B互为对立事件,
所以,
故选:C.
8．答案：B
解析：符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，
第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择，
从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为.
故选：B.
9．答案：BD
解析：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,
在A中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立.
在B中,恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生,是互斥事件,故B成立；
在C中,至少一个白球与至多有一个红球,能同时发生,故C不成立；
在D中,至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生,是互斥事件,故D成立；
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：A选项,设2个红球为a,b,2个黑球为A,B,
选取2个小球,则可能情况有,共6个,
所以“至少一个红球”的情况有,共5个,
故“至少一个红球”的概率为,A正确;
B选项,“恰有一个黑球”的情况有,共4个,
故“恰有一个黑球”的概率为,B正确;
C选项,“一个红球和一个黑球”的情况有,共4个,
故“一个红球和一个黑球”的概率为,C错误;
D选项,“两个都是红球”的情况有,故“两个都是红球”的概率为,D正确.
故选:ABD
11．答案：AB
解析：对于A,记事件M表示“摸出的第一个球是红球”,事件N表示“摸出的两个球颜色不同”,
则,,
记事件表示“摸出的第一个球是红球且摸出的两个球颜色不同”,
则,显然,
所以事件M与事件N相互独立,故A正确.
对于B,记事件Q表示“摸出的第二个球是黄球”,事件R表示“摸出的两个球颜色相同”,
则,,
记事件表示“摸出的第二个球是黄球且同摸出的两个球颜色相同”,
则,显然,
所以事件Q与事件R相互独立,故B正确.
对于C,记事件S表示“摸出的球没有黄球”,则,
由B项,记事件表示“摸出的两个球颜色相同且摸出的球没有黄球”,
则,显然,
所以事件R与事件S不相互独立,故C错误.
对于D,记事件T表示“摸出的球有红球”,则,
由A项,记事件表示“摸出的两个球颜色不同且摸出的球有红球”,
则,显然,
所以事件N与事件T不相互独立,故D错误.
故选：AB.
12．答案：ABD
解析：因为事件两两互斥,所以.因为,,所以,则A正确.
因为,,所以,则B正确.
因为事件两两互斥,所以,则C错误.
因为,,所以,则D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：根据题意,甲乙两人能成功破译的概率分别是,,
则甲乙都没有成功破译密码的概率为,
故该密码被成功破译的概率为.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意,试验发生所包含的基本事件的个数为,
满足条件的是点P在直线上有,共有5个,
所以点在直线上的概率为.
15．答案：/0.03
解析：只有整数解,
,解得（不在已知集合范围内,舍去）或,
,
设方程的两个整数解为（含）,根据韦达定理得:,则,代入整理得,
,
的整数因数对有:,
又为集合中的任意元素,,
需根据计算上述的因数对是否属于集合,且满足,
因数对:,,不符合条件;
因数对:,,不符合条件;
因数对:,,不符合条件;
因数对:,,不符合条件;
因数对:,,不符合条件;
因数对:,,符合条件;
因数对:,,符合条件;
因数对:,,符合条件;
因数对:,,符合条件;
因数对:,,符合条件;
符合条件的a的取值为25,18,16,共3个.
集合中共有个元素,满足条件的共3个,
满足条件的概率,
故答案为:.
16．答案：（1）（3）（4）
解析：（1）A，B，C，D四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确；
（2）当B发生时，A和D都不发生，因此A，D不是对立事件，（2）错；
（3）事件A和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确；
（4）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确；
（5）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误.
故答案为：（1）（3）（4）.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解析：（1）A，B，C，D这4名学生按任意次序站成一排，站法总数为，
事件“A在边上”含有的基本事件个数为，概率为；
（2）事件“A和B都在边上”含有的基本事件个数为，概率为；
（3）事件“A或B在边上”，其反面是“A，B都在中间”，
因此其含有的基本事件个数为，概率为；
（4）事件“A与B相邻”，用捆绑法求角，
其含有的基本事件个数为，概率为；
（5）事件“A在B的左侧（不一定相邻）”与“A在B的右侧（不一定相邻）”含有的基本事件个数相同为，概率为.
18．答案：
解析：如果随机安排马的对位，共有6种对位方式，其中田忌能赢的对位只有1种，
即用自己的上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马，用下等马对齐王的上等马.
所以田忌赢得比赛的概率是.
19．答案：
解析：设事件A表示“甲在罚球线投篮命中”，事件B表示“乙在罚球线投篮命中”，则A，B相互独立，
设事件C表示“甲、乙两人在罚球线各投篮一次，恰好命中一次”，
则，
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
得
.
20．答案：
解析：选中科技书的概率为.
21．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，基本事件的总数为，
事件“掷出的点数之和不大于7”含有的基本事件个数为，
所求概率为；
（2）事件“掷出的点数之和不小于7”含有的基本事件的个数为，
所求概率为；
（3）事件“掷出的点数之和为6或7”含有的基本事件的个数为，
所求概率为；
（4）事件“掷出的点数之和为奇数”含有的基本事件的个数为，
所求概率为；
（5）事件“掷出的点数之和为偶数”含有的基本事件的个数为，
所求概率为；
（6）事件“掷出的点数之和为3的倍数”含有的基本事件的个数为，
所求概率为.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根据题意，甲、乙两位同学玩“石头、剪刀、布”的出拳游戏，其情况有，
共9种，
平局的情况有3种，则甲乙平局的概率.
（2）甲赢的情况有3种，则甲赢的概率.
（3）乙赢的情况有3种，则乙赢的概率.
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