《数学探究：杨辉三角的性质初探》
文档属性
| 名称 | 《数学探究：杨辉三角的性质初探》 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 09:48:20 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
选择必修三
第六章 计数原理
数学探究：杨辉三角的性质与应用
—杨辉三角的性质初探
教学目标
学习目标 数学素养
1.杨辉三角的应用：方垛求和. 通过“拆数关联杨辉三角” 推导方垛求和公式，体会数形转化思想， 1.发展数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养.
2.通过小组合作探究斜列和的规律、验证斐波那契数列与杨辉三角的关联. 2.提升数学建模、数据分析学科素养.
3.通过杨辉三角的性质探究，提升学生的数学探究能力. 3.发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.
单元框架
杨辉三角
二项式定理
杨辉三角的性质初探
杨辉三角的性质再探
杨辉三角的性质应用
组合数
图形化
直观体现
情境创设
“垛积术”
知新探究
问题1：写出三角垛中前12层，每一层的个数？
过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”。每层摆成三角形的就叫“三角垛”，摆成四边形的叫做“方垛”...“三角垛”自上而下，第一层1个，第二层3个，第三层6个...如图所示，杨辉在《详解九章算法》中就记载有这样一道题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.意思是说：有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个物体（上尖），问：总共有多少个物体？
问题2：求出三角垛前12层的个数的和？
提示：能否借助杨辉三角的性质求解？
知新探究
问题1：写出三角垛中前12层，每一层的个数？
问题2：求出三角垛前12层的个数的和？
提示：能否借助杨辉三角的性质求解？
知新探究
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
三阶等差数列
问题3、换个角度观察杨辉三角，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律
一阶等差数列即是我们所说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列．
知新探究
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
【合作探究】
从杨辉三角的角度探究k阶等差数列的求和公式
要求：
1.独立思考2分钟；
2.小组合作3分钟；
3.中心发言人做好记录并展示结果。
知新探究
结论：
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
三阶等差数列
知新探究
延伸探究思路：k阶等差数列的求和公式
四阶等差数列
五阶等差数列
（对k分别赋值，可得一系列数列的和）
知新探究
还可以从何种角度观察？
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1
1
2
3
5
8
13
21
34
性质应用
斐波那契数列
1.斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称“兔子数列”,其数字为:1、1、2、3、5、8、13、21、34 …… ,在数学上,这一数列以如下递推的方法定义:F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3, ),记此数列为{an},则a2019+a2020+a2022+a2024等于（ ）
A. a2023 B. a2024 C. a2025 D. a2026
C
性质应用
2.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于( )
A.144 B.146 C.164 D.461
C
课堂评价
作业布置
1.分层作业
A 层：写出有10行的杨辉三角数字，验证对称性、递推性；
B 层：查阅三角垛相关的知识，探究杨辉三角的其余性质；
C 层：杨辉三角是高维的数阵，探究杨辉三角与数列的关系。
拓展作业
作业2：整理探究内容，撰写研究报告.
作业3:查阅相关资料，尝试探究发现杨辉三角的更多奥秘，比如尝试解决堆垛问题中的方垛问题、开方问题、概率问题等
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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选择必修三
第六章 计数原理
数学探究：杨辉三角的性质与应用
—杨辉三角的性质初探
教学目标
学习目标 数学素养
1.杨辉三角的应用：方垛求和. 通过“拆数关联杨辉三角” 推导方垛求和公式，体会数形转化思想， 1.发展数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养.
2.通过小组合作探究斜列和的规律、验证斐波那契数列与杨辉三角的关联. 2.提升数学建模、数据分析学科素养.
3.通过杨辉三角的性质探究，提升学生的数学探究能力. 3.发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.
单元框架
杨辉三角
二项式定理
杨辉三角的性质初探
杨辉三角的性质再探
杨辉三角的性质应用
组合数
图形化
直观体现
情境创设
“垛积术”
知新探究
问题1：写出三角垛中前12层，每一层的个数？
过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”。每层摆成三角形的就叫“三角垛”，摆成四边形的叫做“方垛”...“三角垛”自上而下，第一层1个，第二层3个，第三层6个...如图所示，杨辉在《详解九章算法》中就记载有这样一道题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.意思是说：有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个物体（上尖），问：总共有多少个物体？
问题2：求出三角垛前12层的个数的和？
提示：能否借助杨辉三角的性质求解？
知新探究
问题1：写出三角垛中前12层，每一层的个数？
问题2：求出三角垛前12层的个数的和？
提示：能否借助杨辉三角的性质求解？
知新探究
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
三阶等差数列
问题3、换个角度观察杨辉三角，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律
一阶等差数列即是我们所说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列．
知新探究
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
【合作探究】
从杨辉三角的角度探究k阶等差数列的求和公式
要求：
1.独立思考2分钟；
2.小组合作3分钟；
3.中心发言人做好记录并展示结果。
知新探究
结论：
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
三阶等差数列
知新探究
延伸探究思路：k阶等差数列的求和公式
四阶等差数列
五阶等差数列
（对k分别赋值，可得一系列数列的和）
知新探究
还可以从何种角度观察？
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1
1
2
3
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8
13
21
34
性质应用
斐波那契数列
1.斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称“兔子数列”,其数字为:1、1、2、3、5、8、13、21、34 …… ,在数学上,这一数列以如下递推的方法定义:F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3, ),记此数列为{an},则a2019+a2020+a2022+a2024等于（ ）
A. a2023 B. a2024 C. a2025 D. a2026
C
性质应用
2.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于( )
A.144 B.146 C.164 D.461
C
课堂评价
作业布置
1.分层作业
A 层：写出有10行的杨辉三角数字，验证对称性、递推性；
B 层：查阅三角垛相关的知识，探究杨辉三角的其余性质；
C 层：杨辉三角是高维的数阵，探究杨辉三角与数列的关系。
拓展作业
作业2：整理探究内容，撰写研究报告.
作业3:查阅相关资料，尝试探究发现杨辉三角的更多奥秘，比如尝试解决堆垛问题中的方垛问题、开方问题、概率问题等
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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