5.4三角函数的图象与性质 题型归纳 2025-2026人教版高中数学必修一（含解析）

5.4三角函数的图象与性质题型归纳
题型1：正弦函数、余弦函数的图象
【例1-1】（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【例1-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数且，写出满足条件的的一个值 ．
【例1-3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像：
(1)，.
(2).
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ．
【变式1-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)；
(2).
题型2：求与三角函数有关的函数的定义域
【例2-1】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【例2-3】（24-25高一上·全国）求函数的定义域．
【变式2-1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（20-21高一上·云南德宏·期末），的定义域为 ．
【变式2-3】（21-22高一·全国）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
题型3：求与三角函数有关的函数的值域（或最值）
【例3-1】（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【例3-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ．
【例3-3】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．
（2）求函数的值域．
【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 .
【变式3-3】（24-25高一上·全国）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)．
题型4：单调性与单调区间
【例4-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知函数，则函数在上的单调递增区间为： .
【例4-3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【变式4-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 .
【变式4-3】（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值.
题型5：与三角函数有关的函数图像的识别及应用
【例5-1】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（23-24高一上·浙江温州·期末）如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-3】（24-25高一下·河南信阳·月考）已知函数在区间上有且只有3个零点，则实数的取值范围是 ；
【变式5-1】（22-23高一上·安徽安庆·期末）已知函数，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（23-24高一上·广东·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．
题型6：三角函数的综合应用
【例6-1】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（22-23高一上·安徽芜湖·期末）若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【例6-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数，相邻两对称轴之间的距离为
(1)求的值；
(2)若时，方程有解，讨论方程解的个数，若方程所有解的和记为，求所有可能值.
【变式6-1】（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（22-23高一上·吉林长春·期末）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 .
【变式6-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求方程的所有根的和．
题型7：正切函数的图象
【例7-1】（24-25高一上·四川泸州·期末）函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例7-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-3】（21-22高一上·全国）当时，确定方程的根的个数.
【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·月考）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式7-3】（2023高一上·全国·专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
题型8：正切函数及正切型函数性质的应用
【例8-1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 .
【例8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值.
【变式8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（20-21高一上·全国·月考）函数在上的最大值为 ．
【变式8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点．
(1)求的单调递增区间；
(2)求不等式的解集．
题型9：与正切型函数有关的值域（最值）问题
【例9-1】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【例9-3】（20-21高一·全国）函数，的值域是 ．
【变式9-1】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式9-1】（2023高一上·全国·专题练习）函数且的值域是( )
A． B．
C． D．
【变式9-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ．
题型10：正切函数性质的综合应用
【例10-1】（22-23高一下·湖北·月考）已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】（24-25高一上·全国·单元测试）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 ．
【例10-3】（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
【变式10-1】（21-22高一上·广东汕头·期末）已知为常数，且，对任意不等式恒成立，则和分别等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（22-23高一下·广东佛山·月考）已知函数图象上相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数（，且）的图象所有交点的横坐标之和为
【变式10-3】（20-21高一上·江苏泰州·月考）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断奇偶性；
（2）若存在，使得不等式能成立，试求实数的取值范围．
强化训练
一、单选题
1．（25-26高一上·天津武清·月考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A． B．2 C．5 D．
6．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①；
②当时，；
③函数的单调递增区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高一上·全国·单元测试）记表示a，b中的较大者．若函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是函数图象的对称轴
C．的最小值为 D．在上单调递减
11．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
三、填空题
12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ．
13．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ．
14．（24-25高一上·云南昆明·期末）定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为 ；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其中为三角形的一个内角，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间及图象的对称中心．
16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．
(1)求的最小正周期及在上的单调递增区间；
(2)为了得到的图象，需将函数的图象进行怎样的变换？（写出一种即可）
17．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)若，求的值;
(2)求方程的解.
18．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
(3)求不等式的解集．
19．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.
(1)求函数的图象的对称中心；
(2)求的单调递增区间；
(3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
5.4三角函数的图象与性质题型归纳答案
题型1：正弦函数、余弦函数的图象
【例1-1】（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示，
由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为.
故选：C
【例1-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数且，写出满足条件的的一个值 ．
【答案】（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】根据正弦函数的图象求解即可.
【详解】由函数且，
得，
所以或，
所以或，
所以满足条件的可以是.
故答案为：.（答案不唯一，满足条件即可）
【例1-3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像：
(1)，.
(2).
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
，故为偶函数，
又，所以函数是以为周期的周期函数.
列表
x 0
0 1 0
作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象.
（2）按五个关键点列表：
0
1 0 0 1
0 1 2 1 0
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】通过画图即可直接判断.
【详解】因为函数与函数的图象有1个交点，
所以中有1个元素.
故选：B.
【变式1-2】（25-26高一上·北京·月考）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ．
【答案】
【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数和在上的图象如下图所示：
从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点：
当时，由得，即，得；
当时，由得，得，得，
所有交点横坐标之和为.
故答案为：.
【变式1-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)；
(2).
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析.
【分析】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象.
【详解】（1）取值列表如下：
x 0 π 2π
0 1 0 0
描点、连线，作出函数的图象：
（2）取值列表如下：
x 0 π 2π
1 0 0 1
描点、连线，作出函数的图象：
题型2：求与三角函数有关的函数的定义域
【例2-1】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题直接求函数定义域即可.
【详解】由题意得，解得，所以，
即在内，函数的定义域为．
故选：C.
【例2-2】（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域结合余弦函数性质即可求解新函数的定义域.
【详解】函数的定义域为，
的定义域为：
,
，
故答案为:.
【例2-3】（24-25高一上·全国）求函数的定义域．
【答案】
【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】由题可知，，即，解得，
由正弦函数的性质可得，
所以函数的定义域为．
【变式2-1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，结合解出即可得.
【详解】由题意可得，即，
又，故，即定义域为.
故选：C.
【变式2-2】（20-21高一上·云南德宏·期末），的定义域为 ．
【答案】
【分析】由，根据余弦函数在的图象可求得结果.
【详解】由得：，又，，
即的定义域为.
故答案为：.
【变式2-3】（21-22高一·全国）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析可得，求得，求出的范围即可得解；
（2）由已知得出，解此不等式组即可得解.
【详解】（1）解：要使函数有定义，需满足，
即，可得，解得，
故函数的定义域为.
（2）解：由已知可得，可得，
的.
故函数的定义域为.
题型3：求与三角函数有关的函数的值域（或最值）
【例3-1】（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得，
所以，因为，所以，
所以当，即时，函数在区间上取得最小值.
故选：D.
【例3-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】配方后根据求最小值即可.
【详解】因为，，
所以当时，，故函数的最小值为．
故答案为：
【例3-3】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．
（2）求函数的值域．
【答案】；
【分析】（1）根据，得出的值域，令，将问题转化为求二次函数的值域即可求解；
（2）先将函数转化为，然后利用余弦函数的取值范围建立不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，则令，
所以.
又二次函数的图象开口向上，对称轴为，
所以时，函数单调递增，
则当时，，
当时，.
综上，函数的值域为.
（2）因为，所以，且.
又因为，所以，即，
整理得，解得或，
综上，函数的值域为.
【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选：B
【变式3-2】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据三角恒等式化简，结合在的值域求最大值即可.
【详解】由于，所以.
又函数，
所以当时，.
故答案为：.
【变式3-3】（24-25高一上·全国）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的单调性来求得值域.
（2）利用换元法，结合二次函数的性质来求得正确答案.
【详解】（1），．
令，，则在上单调递增，在上单调递减，
，，
函数，的值域为．
（2）令，则，，当时单调递减，
当时，取得最大值，最大值为10；
当时，取得最小值，最小值为2，
的值域为．
题型4：单调性与单调区间
【例4-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，确定函数的定义域，结合复合函数单调性可知，的单调递增区间即为的单调递增区间，再利用正弦型函数单调区间整体代入求解即可.
【详解】由题意可得，则，
解得，故的定义域为，
因为单调递增，所以的单调递增区间即为的单调递增区间，
令（），解得，
则的单调递增区间是．
故选：B.
【例4-2】（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知函数，则函数在上的单调递增区间为： .
【答案】
【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间.
【详解】
，
由，，
可得，，令，则，
又因为，则其在上单调增区间为.
故答案为：.
【例4-3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解.
【详解】，令，
可得：,
由可得，
由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 .
【变式4-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解.
【详解】因为，
且的单调递增区间为，，
所以函数的单调递减区间为，.
故选：C．
【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可解出函数的单调递减区间.
【详解】由，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【变式4-3】（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值.
【答案】(1)，
(2)时，取最大值；时，取最小值.
【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）求得，由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值以及对应的值.
【详解】（1）因为，
由正弦函数的单调性可得，，
解得，，，
因此，函数的单调递减区间为，.
（2）由（1）可知，，
所以，
当时，，
当时，即当时，函数取最大值，
当时，即当时，函数取最小值.
题型5：与三角函数有关的函数图像的识别及应用
【例5-1】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得.
【详解】函数的定义域为R，
由，可得函数是R上的奇函数，
图象关于原点对称， AC错误；
当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足.
故选：D.
【例5-2】（23-24高一上·浙江温州·期末）如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合函数定义域，三角函数值域、最值可排除ABD，由此即可得解.
【详解】由图可知函数定义域为全体实数，故排除AD，
若，则当时，，当时，，
由此可以排除B，经检验C选项符合题意.
故选：C.
【例5-3】（24-25高一下·河南信阳·月考）已知函数在区间上有且只有3个零点，则实数的取值范围是 ；
【答案】
【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．
【详解】，，
∵函数在区间上有且仅有3个零点，
，解得，
即的取值范围是
故答案为：
【变式5-1】（22-23高一上·安徽安庆·期末）已知函数，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算函数值后可得．
【详解】由条件知，A符合，其它均不符合，
故选：A．
【变式5-2】（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解.
【详解】由题意函数定义域为全体实数，
且，所以函数是偶函数，排除CD，
当时，，排除A，经检验，B选项符合题意.
故选：B.
【变式5-3】（23-24高一上·广东·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先求的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求的取值范围.
【详解】当时，．
因为在上有且仅有2个零点，所以，，解得．
故答案为：
题型6：三角函数的综合应用
【例6-1】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据给定条件，结合函数的图象特征求出解析式，进而求出函数值.
【详解】设，由，得，由，得或，
由图知分别在相邻的两个递增与递减区间内，则，
即，解得，由及函数的图象在所在单调区间上递增，
得，即，因此，
所以.
故选：C
【例6-2】（22-23高一上·安徽芜湖·期末）若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由原方程可得或，从而得到和与的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.
【详解】由，得或，
因为关于的方程有6个不同的解，
所以和与的图象共有6个不同的交点，
由图可知，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
【例6-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数，相邻两对称轴之间的距离为
(1)求的值；
(2)若时，方程有解，讨论方程解的个数，若方程所有解的和记为，求所有可能值.
【答案】(1)1
(2),
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式结合三角函数的对称性与周期性计算即可；
（2）利用三角函数的图象与性质分类讨论计算即可.
【详解】（1）
相邻两对称轴之间的距离为，
，即，即
（2）由题意可得，作出函数图象如下：
由图可知，当时，有三个解：，
此时
当时，有两个解：，
此时.
当时，有四个解：，
此时.
综上：所有可能值为,.
【变式6-1】（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦函数建立方程求解，按照大小顺序列举出方程的解，根据题意建立不等式，可得答案.
【详解】由，解得或，
化简可得或，
当时，；当时，；当时，；
当时，，
由题意可得，解得.
故选：A.
【变式6-2】（22-23高一上·吉林长春·期末）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 .
【答案】1011或1012/1012或1011
【分析】令，利用函数的对称性和正弦函数的周期性，分析可知在区间内的零点，根据所在区间即可求解.
【详解】方程，
令，
因为，，
所以函数的函数图象均关于点对称，
因为区间，所以在区间上，函数的交点个数相等，且两两关于点对称，每对对称点的横坐标之和为2.
记在区间的零点依次为，
则依题意有，
如图，由函数的周期性可知，，
因为，所以，即，
所以整数m的值为1011或1012.
故答案为：1011或1012
【变式6-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求方程的所有根的和．
【答案】(1)单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据周期公式求出，即，再根据正弦函数单调区间求法求单调区间；
（2），则，根据，求得或，分别在，，研究根的情况，得到答案.
【详解】（1）因为函数的周期为，
所以周期，解得，即函数；
由正弦函数的单调性，可令，
解得，，即的单调递增区间为；
（2）由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述：方程的所有根的和为．
题型7：正切函数的图象
【例7-1】（24-25高一上·四川泸州·期末）函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】令，可得，结合正切函数分析求解即可.
【详解】令，即，可得，
且，可得，
所以交点个数为3.
故选：B.
【例7-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象.
【详解】因为函数（）
所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项；
又，故排除D选项，故选B符合.
故选：B.
【例7-3】（21-22高一上·全国）当时，确定方程的根的个数.
【答案】方程有三个根.
【分析】将方程变形为令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根据个数
【详解】将方程变形为令
在同一平面直角坐标系中，
首先作出与在内的图像，
当时，有
然后利用对称性作出时的两个函数的图像，
如图所示，由图像可知它们有三个交点.
所以方程有三个根.
【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·月考）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果.
【详解】由，得，令，得，
令，得，令，得，令，得，
令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线，
即直线与函数的图象不相交．
故选：C．
【变式7-2】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，,，
则的最小值为．
故选：C
【变式7-3】（2023高一上·全国·专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】结合的图象，逐个分析不等式或方程的解即可.
【详解】（1）
由图象可知：不等式的解集为；
（2）
由图象可知：的解集为；
（3）
由图象可知：的解集为；
（4）
由图象可知：的解集为.
题型8：正切函数及正切型函数性质的应用
【例8-1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得.
【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数，
则有，解得，又因，故.
故选：C.
【例8-2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 .
【答案】
【分析】结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由，，
设函数，，
则，
即函数为奇函数，则，
所以，
则，即.
故答案为：.
【例8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据正切函数的性质，利用整体代入法可得，即可求解；
（2）.若是奇函数，则，可解得.令，解得，且，所以，代入即可求得满足题意的值.
【详解】（1）因为，所以，
得，即.
所以不等式的解集为.
（2）.
若是奇函数，则，解得.
令，解得，且，所以.
故.
【变式8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数；
对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数；
对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数；
对于D选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数是最小正周期为的偶函数.
故选：D.
【变式8-2】（20-21高一上·全国·月考）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【解析】根据函数的图象与性质，结合单调性，即可求解.
【详解】根据函数的图象与性质，
可得函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，最大值为．
故答案为：1.
【变式8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点．
(1)求的单调递增区间；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可；
（2）根据正切型函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）∵的图象过点，
∴，∵，∴，∴．
令，得，
即．
∴函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．由，
得，即．
∴不等式的解集为.
题型9：与正切型函数有关的值域（最值）问题
【例9-1】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可.
【详解】
故选：C.
【例9-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以，
又单调递减，且，
所以，即的值域是.
故选：B.
【例9-3】（20-21高一·全国）函数，的值域是 ．
【答案】
【分析】由题意，，可知，再根据正切函数的单调性，即可求出结果.
【详解】．
∵，∴．
由函数在上单调递增，所以，
故函数，的值域为．
故答案为：.
【变式9-1】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值.
【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增，
所以其最小值为.
故选：D
【变式9-1】（2023高一上·全国·专题练习）函数且的值域是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质求得答案.
【详解】当时，，∴；
当时，，∴.
即当时，函数的值域是．
故选：B.
【变式9-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ．
【答案】
【分析】求出在的范围即可求解.
【详解】当时，，∴；
当时，，∴．
即当时，函数的值域是．
故答案为：
题型10：正切函数性质的综合应用
【例10-1】（22-23高一下·湖北·月考）已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案.
【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得,
所以，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
因为该图象关于原点对称，则，所以
当时，，，不合题意，当时，，
又，所以当时，取，当时，，不合题意，
故最大值为，
故选：C
【例10-2】（24-25高一上·全国·单元测试）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解.
【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为，
联立，消去得，整理得，
即，即，
所以或（舍去），
即，
所以点的纵坐标，
所以线段的长为．
故答案为：
【例10-3】（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解.
（2）由，得,解不等式组即可得解.
【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集为.
【变式10-1】（21-22高一上·广东汕头·期末）已知为常数，且，对任意不等式恒成立，则和分别等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知与恒同号，再根据三角函数图像性质求解即可.
【详解】因为恒成立，故与恒同号，
由三角函数图像性质可知, 与图象相同，
故，，
∴，即，，
∴，
.
故选：B.
【变式10-2】（22-23高一下·广东佛山·月考）已知函数图象上相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数（，且）的图象所有交点的横坐标之和为
【答案】12
【分析】先已知求函数解析式，然后作图，利用对称性求解可得.
【详解】解：由已知得的最小正周期为3，即，，
则．
又，即，，，
，，，
又，的图象关于点中心对称，
作出和（，且）的图象如图所示，
可知两函数图象共有6个交点，且关于点中心对称，
故这6个交点的横坐标之和为．
故答案为：12
【变式10-3】（20-21高一上·江苏泰州·月考）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断奇偶性；
（2）若存在，使得不等式能成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）定义域为；奇函数；（2）.
【分析】（1）可写出函数解析式，然后由函数式有意义得定义域再由奇偶性定义判断奇偶性；
（2）令，用分离参数法变形不等式，转化为求函数的最大值．可用换元法，基本不等式求最值．
【详解】解：（1），所以
，所以函数定义域为
定义域关于原点对称，且
函数为奇函数.
（2）令，不等式转化为有解，
， 令，则
因为，当且仅当时取等号，的最大值为
所以
强化训练
一、单选题
1．（25-26高一上·天津武清·月考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用正弦函数的性质求解三角方程，再根据充要条件的定义即可求解.
【详解】当时，；当时，，即，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，
轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：
则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误；
对D：的最小正周期为，故D错误.
故选：A.
3．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解.
作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数.
【详解】由，得，
作出，，的图象，
由图可知，两函数的图象的交点有4个，
则曲线在上的零点个数为4．
故选：C．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出单位圆，，由，有，得到，再根据，有即可得到答案．
【详解】作出单位圆，，用三角函数线进行求解，如图所示，因为，
所以有，所以，即．
由图可知，即，
所以，即．
综上，．
故选：B.
5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A． B．2 C．5 D．
【答案】D
【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案.
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选：D
6．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性，求，结合所得结果性质确定结论.
【详解】设，，
函数的定义域为，定义域关于原点对称对称，
，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
又，
选项BCD不能同时满足以上要求，而选项A满足以上要求，
所以选项A中的图象是函数的可能图象.
故选：A.
7．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①；
②当时，；
③函数的单调递增区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案．
【详解】由图象可知：，，
由，又，所以.
所以，
因为，故①正确；
当时，，所以，所以，故②错误；
由，，，
所以函数的单调递增区间为，.故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误．
故选：B．
8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解.
【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
，
令，，则，
当时，，，
，
存在，使，即，
当时，的最小值为．
方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则，
，
取中点为O，则：，
因为，所以，
当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号，
则
故选：A．
二、多选题
9．（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项.
【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确；
B.函数的最小正周期为，故B错误；
C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确；
D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误.
故选：AC
10．（25-26高一上·全国·单元测试）记表示a，b中的较大者．若函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是函数图象的对称轴
C．的最小值为 D．在上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据正余弦函数的周期性即可判断A，画出图像并结合A判断的周期性即可判断BCD.
【详解】对于A，令，因为，都是最小正周期为的函数，
所以是最小正周期为的函数，因此是周期函数，所以A正确；
对于B，作出的部分图象如图（实线）所示，由图并结合函数的周期性得，
的图象关于直线对称，则是函数图象的对称轴，
再结合A项，可得是函数图象的对称轴，所以B正确；
对于C，由图象可知，的值域为，所以的最小值为，所以C错误，；
对于D，由图象可知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知（同增异减），
在上单调递减，所以D正确.
故选：ABD.
11．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对A，将代入结合题目条件可得的值；对B，由函数的图象是中心对称图形，且即可得；对C，由无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性即可得.
【详解】对于A选项，由是的零点得，
所以，即，
因为，所以，故A正确；
对于B选项，函数的图象是中心对称图形，
由得是函数的对称中心，
所以，故B正确；
对于C选项，，奇偶性无法判断，故C错误；
对于D选项，由A选项得，
因为函数在上单调递减，
所以，，
解得（），
所以当时，，当无解，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解.
【详解】时，则，
由于在区间上不单调，则，故，
故答案为：
13．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围.
【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得，
解得，故的取值范围是．
故答案为：
14．（24-25高一上·云南昆明·期末）定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为 ；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意得，根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得，即可求出的最小值；将问题化为在上恰好有4个解，结合正弦函数性质有即可得结果.
【详解】依题意得，
图像向左平移个单位得为偶函数，
所以，所以，
因为，所以当时，的最小值为.
在区间内恰好有4个零点，即在区间内恰好有4个解，
所以在区间内恰好有4个解，
因为，即，
所以，解得：.
故答案为：；.
四、解答题
15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其中为三角形的一个内角，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间及图象的对称中心．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，无单调递增区间；对称中心为
【分析】（1）求解出所给方程从而求出即可求出解析式；
（2）根据正切型函数的性质分别求出单调区间及对称中心即可.
【详解】（1），则，得或，
又为三角形内角，所以，故，
则.
（2）令，解得，
即函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
令，得，
故的图象的对称中心为．
16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．
(1)求的最小正周期及在上的单调递增区间；
(2)为了得到的图象，需将函数的图象进行怎样的变换？（写出一种即可）
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期公式计算周期即可，由余弦函数的单调区间求解即可；
（2）方法一：根据先平移后伸缩，得到变换过程；
方法二：根据先伸缩后平移，得到变换过程；
【详解】（1）最小正周期．
当时，，令，得，
所以函数在上的单调递增区间是．
（2）方法一（先平移后伸缩） 先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，最后将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象．
方法二（先伸缩后平移） 先将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，再将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，
最后将的图象向左平移个单位长度，得到的图象．
17．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)若，求的值;
(2)求方程的解.
【答案】(1)
(2)或，
【分析】（1）由图象得到结合求解；
（2）运用正弦型函数性质求解即可.
【详解】（1）由图象可知，
所以，于是，，解得，
又，所以，
所以
因为，所以，
所以
（2）因为，所以或
解得或，
18．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，.
(2)，，，．
(3)．
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性；
（2）利用整体代入法可得值域，即可得解；
（3）根据三角函数的性质解不等式即可.
【详解】（1）由题意，
又函数的最小正周期为，则，，所以，
即，
当，即，时，单调递减，
的单调递减区间是，；
（2），则，故，
，此时，即，
，此时，即；
（3）由已知，即，
所以或，，
即或，，
所以不等式的解集为．
19．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.
(1)求函数的图象的对称中心；
(2)求的单调递增区间；
(3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出函数的对称中心坐标；
（2）利用正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间；
（3）令，，由题意可知，函数与直线有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，即可解出实数的取值范围.
【详解】（1）因为
，
令，，得，，
所以的图象的对称中心为，.
（2）令，，得，，
所以，函数的单调递增区间为，.
（3）当时，，令，，
因为函数在上有且仅有两个零点，
则必有函数在上有且仅有两个零点，即，
即，
所以，函数与直线有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
函数与直线有两个交点，
因此，实数的取值范围是.