5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 教学设计（表格式）

教学设计
课题 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1.教学内容分析（分析本课时教学内容在单元中的位置，学习内容对发展学生核心素养的功能价值，蕴含的正确价值观念等） 一、“正弦函数、余弦函数的图象” 是三角函数图象与性质单元的核心起始课，处于承上启下的关键枢纽位置，其在单元知识链条中的作用可分为三层： （1）承上：衔接前置知识；本课时的学习依赖于单元前序内容 —— 任意角的三角函数定义、弧度制、诱导公式（尤其是sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα的周期性特征）。通过将单位圆上的三角函数线（几何表示）转化为平面直角坐标系中的函数图象（代数几何结合表示），实现了从 “三角函数的代数定义” 到 “几何直观表征” 的跨越，是对三角函数概念的具象化深化。 （2）启下：奠定后续探究基础；本课时构建的正弦、余弦函数图象，是后续研究函数性质（周期性、奇偶性、单调性、最值）的唯一直观载体。学生通过观察图象的升降、对称、重复等特征，才能归纳出函数的代数性质；同时，本课时的 “五点作图法”“图象平移法（余弦函数图象与正弦函数图象的关系）”，也为后续学习正切函数的图象、三角函数的图象变换（平移、伸缩）、以及三角函数模型的应用提供了方法范式。 （3）单元枢纽：串联 “图象 — 性质 — 应用” 主线；三角函数单元的核心逻辑是 “定义→图象→性质→应用”，本课时是 “图象” 模块的开篇，既承接了 “定义” 的抽象性，又为 “性质” 的探究搭建了直观桥梁，是打通整个单元知识逻辑的关键节点，决定了学生对三角函数 “数形结合” 研究路径的理解深度。 二、 学习内容对发展学生数学核心素养的功能价值 本课时的教学内容与数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养高度契合，其功能价值具体体现为： （1）直观想象素养：借助单位圆的三角函数线作正弦函数图象的过程，让学生经历 “几何图形（单位圆）→点的坐标→函数图象” 的转化，培养学生在几何图形与代数表示之间建立联系的能力； 通过观察正弦、余弦函数图象的形状、对称性、周期性特征，引导学生从直观图形中感知函数的整体变化趋势，提升学生的空间感知与图形分析能力。 （2）数学抽象素养：从 “单位圆上动点的纵坐标随角度变化” 这一具体情境，抽象出 “ y=sinx是定义在R上的函数” 的本质；从正弦函数图象的重复性特征，抽象出 “周期性” 这一函数的核心性质，让学生体会 “从具体到抽象、从特殊到一般” 的数学抽象过程。 （3）逻辑推理素养：推导余弦函数图象与正弦函数图象的关系时，引导学生通过诱导公式cosx=sin(x+ 2π)，推理出 “余弦函数图象可由正弦函数图象向左平移2π个单位得到”，培养学生的演绎推理能力； 用 “五点作图法” 快速绘制函数简图时，让学生思考 “为何选择0,,π, ,2π这五个点”，推理出这五个点是决定函数图象形状的关键关键点，提升学生的合情推理能力。 （4）数学运算素养：作函数图象时，需要计算关键点的坐标，涉及弧度制与三角函数值的运算；利用图象平移法作余弦函数图象时，需要对自变量x进行变换运算，强化学生对代数变换与几何变换对应关系的理解。 三、 本课时蕴含的正确价值观念 （1）渗透数形结合的核心思想：本课时是 “数形结合” 思想的典型教学载体，通过 “以形助数、以数解形” 的探究过程，让学生体会 “数与形是数学的两个基本侧面，二者相互依存、相互转化” 的本质，帮助学生建立 “用图象研究函数性质” 的思维习惯，形成正确的数学思维方式。 （2）培养科学探究的严谨态度 从 “用三角函数线描点作图” 的精确方法，到 “五点作图法” 的近似方法，让学生理解 “精确作图是基础，近似作图是简化应用” 的辩证关系；在探究图象特征时，引导学生 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳”，培养学生尊重事实、严谨推理的科学探究态度。 （3）体现数学的应用价值与文化价值 正弦、余弦函数的图象对应现实世界中的周期现象（如单摆运动、声波振动、潮汐变化），教学中可通过这些实例，让学生感受数学与物理、地理等学科的联系，体会数学在描述客观规律中的工具性价值；同时，三角函数的发展历史蕴含着数学家的探索精神，可渗透数学文化教育，培养学生的数学文化自信。 树立 “特殊到一般、具体到抽象” 的认知观念先研究x∈[0,2π]时的正弦函数图象，再利用周期性推广到整个定义域R，这一过程让学生掌握 “从特殊区间入手，再推广到一般范围” 的数学研究方法，形成正确的认知规律与探究路径。
2.学情分析（分析学生与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与发展需求、发展路径等） 三角函数是高中阶段学生学习的第四个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础，已经系统学习了函数的概念、表示方法及基本性质（如定义域、值域、单调性等），并成功研究过幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数。这为他们按照“定义—图象—性质—应用”的路径研究三角函数奠定了良好的认知基础；三角函数定义上，学生已经掌握了任意角三角函数的定义，理解了正弦、余弦函数值是如何由单位圆上的点的坐标决定的，这是本节课利用单位圆几何法作图的核心依据；作图技能具备上，学生熟悉“列表—描点—连线”这种基本的函数作图方法（描点法），并具备一定的动手操作和观察归纳能力，突出重点，突破难点，在“五点法”教学中，重点引导学生观察这五个点在图象中的特殊位置（零点、最值点），理解其对图象形状的决定性作用，而非死记硬
3.目标确定（根据课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法，描述学生经历学习过程后应达成的目标） （1）能用描点法或借助信息技术工具画出具体正弦函数的图象，探索并了解余弦函数的图象特征，归纳与正余弦函数有关的一些函数的图像画法； （2）能准确识别正弦曲线与余弦曲线的“波浪起伏”状特征，理解图像的连续性、光滑性、有界性 （3）经历正弦函数到余弦函数的研究过程，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养. （4）知道正、余弦函数与其有关的初等函数的变换关系
4.学习重点难点 （一）学习重点：正弦、余弦函数的图像，会用五点作图法作图以及图像的平移、对称变换。 （二）学习难点：借助单位圆作正弦函数；周期函数(最小正)周期的意义。
5.学习活动设计 教师活动学生活动环节一：（创设情境，提出问题）教师活动 问题1我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x±2π)=sinx， cos(x±2π)=cosx来表示.它的含义是什么？根据这一特性，你觉得在研究正弦函数、余弦函数的图象与性质时可以怎样简化研究对象？ 学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 师生活动 学生独立思考，小组讨论后全班交流，教师帮助完善.因为每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现，因此可以简化研究过程，只需画出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，其他部分的图象可以通过图象变换获得. 设计意图（创设情境，让学生进入学习三角函数状态,尤其是感受周期性性质）环节二：探究原理，获得图象教师活动 问题2 如何绘制正弦函数在区间[0，2π]上的图象呢？如果想更准确地绘制每一个点，应该怎么办？ 问题3 如果在[0，2π]上任取一个值x ，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点 问题4 我们已经学会绘制正弦函数图象上的任意一点.你能借助单位圆说一说当. 时，哪些自变量所对应的正弦函数值比较特殊 追问 为了使画出的图象尽量准确，我们需要取更多的点，你能借助单位圆说一说还可以取哪些点吗 问题5 根据函数y= sinx,x∈[0,2π]的图象,你能想象正弦函数. 的图象吗 依据是什么 请你画出图象. 教师讲解 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 问题6 我们已经知道了正弦函数图象的形状.请你结合上述正弦曲线的作图过程思考，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点 问题7 现在我们知道了正弦函数图象的画法，那么，余弦函数y=cosx的图象怎么画呢 由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有着密切关联的函数 .诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象 追问1 你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗 可以类比指数函数、对数函数单元中的同类问题解决. 教师讲解 余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线. 追问2 类似于用“五点法”画正弦函数的图象，如何画出余弦函数的简图呢 学生活动 学生想到的应该是列表——描点——连线的画图方法，教师应予以肯定.但对于能否精准绘制每一个点，若一时答不出来，留着后面问题解决之后再回答. 教师带领学生分析：如图5.4-2，根据正弦函数的定义，在单位圆上作 B为 的终边与单位圆的交点，则点 B 的纵坐标为 sinx . 也就是说，点B 的纵坐标就是函数图象上点 的纵坐标，再将之平移至x 处，就得到了点 在上述分析过程中，教师利用信息技术动态作图、测量等功能，在单位圆上测出弧AB 的长，得出点B的纵坐标，再将B 点沿x 轴方向平移到横坐标为x 的 T 点. 学生独立思考后回答，不难发现，单位圆与坐标轴的交点是最特殊的，这样我们可以取(0,0),(π/2,1),(π,0),( ,-1),(2π,0)五个点. 学生独立思考，教师用信息技术帮助分析，让学生看到可以把每个象限三等分，使自变量再取 ，再按照上述画点 )的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(如图5.4-3所示). 接着，教师进一步借助信息技术画出图象上更多的点，得出比较精确的函数 的图象(如图5.4-4所示). 学生独立思考，说明依据并画图：根据诱导公式一，可知函数. 1)π],k∈Z且k≠0的图象与y= sinx,x∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数 [0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数. 的图象,如图5.4-5 所示. 教师提出问题，引导学生回顾从取5个点到12个点再到更多个点的过程，同时观察图5.4-5,得出:在函数y= sinx,x∈[0,2π]的图象上,五个点(0,0),(π/2,1),(π,0),( ,-1),(2π，O)在确定图象形状时起关键作用.教师指出：只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”. 学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，可以选择关系式 记f(x)=sinx,则 因此，只要将函数y=sinx 图象上的点向左平移π/2个单位就可以得到函数y= cosx的图象. 这是教学的难点，教师帮助学生回顾之前的经验，然后由学生独立完成，之后展示交流，教师帮助修改完善.得到图象之后还可以再利用图象进行验证. 分析如下：设(x ，y )是函数y=cosx图象上任意一点，则有 令 则 ,即在函数y= sinx 图象上有对应点(t , y ). 比较两个点:(t , y )与(x ,y ).因为 即 所以点(x ，y )可以看做是点(t ,y )向左平移π/2个单位得到的. 所以，只要将函数y=sinx图象上的点向左平移π/2个单位即可得到函数y=cosx的图象，如图5.4-6 所示. 学生独立完成，再投影展示. 设计意图 问题2 设计意图 激发学生探究的欲望。 问题3引导学生利用定义分析正弦函数图象上任意一点的画法，深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.. 问题5在画出正弦函数在[0，2π]上的图象后，让学生自己根据诱导公式一进行拓展，得出正弦曲线，培养学生的作图能力，并在作图过程中感受正弦函数的变化规律，为接下来研究性质做准备. 问题6观察函数图象，概括其特征，获得五点法作图的简便画法. 追问1利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象.增强对两个函数图象之间的联系性的认识. 追问2观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”. 环节三 例题练习，巩固理解教师活动 例1 先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象： ; 学生活动 解 (1)按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来. 将函数. 的图象向上平移一个单位长度可得(如图5.4-7所示). 解 (2)按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来. 画函数. 的图象关于x轴对称的图形即可得到(如图5.4-8所示). 设计意图 巩固对正弦函数、余弦函数图象特征的认识，熟练“五点法”画图，提高画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好铺垫.环节四 小结提升，形成结构教师活动 问题8 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)回顾研究正弦函数、余弦函数图象的作图过程.画出结构图反映研究过程. (2)本节课给出的函数图象作图方法与幂函数、指数函数等函数图象的作法有什么区别 为什么要用这些方法 学生活动 让学生先总结，再进行全班交流、互动，教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识。
6.板书设计 正、余弦函数图像 正弦函数图像画出 五点法：五个点(0,0),(π/2,1),(π,0),( ,-1),(2π，O) 正弦函数简单性质：定义域、值域、周期 余弦函数图像画出 五点法：五个点(0,1),(π/2,0),(π,-1),( ,0),(2π，1) 简单性质：定义域、值域、周期 余弦函数简单性质：定义域、值域、周期 多媒体演示区 学生板演展示区
作业与拓展学习设计 基础必做：必修一200页练习第1,2,3,4题 拓展：必修一213页17、18题
8.特色学习资源分析、技术手段应用说明 利用工具画出正余弦函数的图象，演示从单位圆到正弦函数的图像，帮助学生形成函数图像周期性变换的直观认识，为归纳性质做好准备
教学反思与改进 教学过程中，要注意引导学生积极参与思考，应给予学生充足的思考和展示的时间，促使学生真正理解五点法、正弦函数与余弦函数之间的关系，平移、对称变换，提高数学核心素养，而非简单生硬的知识传授。
10.学习评价设计 评价任务1 能通过单位圆转圈说出三角函数的周期性，能准确写出诱导公式.(对应目标1) 评价任务2 利用单位圆的几何性质确定点的位置，可以精确描绘正弦函数的图像，而“五点法”则是抓住关键特征点绘制简图的高效方法.(对应目标2) 评价任务3 学生会取不同点来求出对应的正弦值，尽量取特殊的一些值，并观看演示从单位圆到正弦函数图像的生成的变化动画，说出一些简单函数性质如定义域、值域、周期性、有界性等性质。(对应目标2) 评价任务4 学生小组讨论探究如何通过代数运算从正弦函数得到余弦函数的解析式，进而通过平移变换得到图像的过程。(对应目标3) 评价任务5 通过比较不同的与正余弦函数有关的函数的五点法和变换的例题及变式，加深对五点法和平移变换、对称变换的理解，后配有两道目标检测题。(对应目标4) 目标检测 画出下列函数图像，并说明是由y=sinx或者是y=cosx通过什么样的变换变过来的