22.2相似三角形的判定 课件
图片预览
文档简介
(共51张PPT)
22.2 相似三角形的判定
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
A
B
C
E
D
F
相似的表示方法
符号：∽ 读作：相似于
相似比
AB : A1B1 =
BC : B1C1 =
CD : C1D1
= k
时，
A
B
C
A1
B1
C1
则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 .
这两个风筝图形相似，观察并思考：
A
B
A
A1
B1
C1
大胆猜想，
那么，
若已知AB∥A1B1，
能否得出△ABC1 ∽ △A1B1C1
AB∥A1B1
除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？
教学目标
理解相似三角形的判定方法．
知识与能力
过程与方法
以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．
情感态度与价值观
培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值．
教学重难点
会应用相似三角形的两个判定方法。
怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。
抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。
已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系 并证明。
A
B
C
D
E
证明:
且 ∠A= ∠A
∵ DE // BC
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
相似。
1
2
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。
∴ 四边形DBFE是平行四边形
∴ DE=BF , DB= EF
∴ △ADE ∽ △ABC
A
B
C
D
E
F
过E作EF//AB交BC于F
又∵ DE // BC
又∵ AD = DB
∴ AD = EF
∵ ∠A =∠3，
∠2 =∠C
∴ △ADE≌△EFC
∴ DE = FC =BF，
∴
∴
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例
2
3
AE=EC
已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系
猜想：△ADE与△ABC有什么关系
相似。
A
B
C
D
E
F
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
1
2
你能证明吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
知识要点
平行于三角形一边的定理
A
B
C
D
E
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
A型
你还能画出其他图形吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
D
E
A
C
B
延伸
即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？
X型
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
推论
A
B
C
D
E
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么
（上比全，
全比上）
（上比下，下比上）
（下比全，全比下）
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
定义 判定方法 全等三角形
相似三角形
回顾并思考
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边与直角边
H
L
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
边边边
S
S
S
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
求证：
有效利用判定定理一去求证。
探究1
证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
又
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之一
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
A
B
C
三边对应成比例，两三角形相似。
探究2
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
求证：
∠B =∠B1 .
你能证明吗？
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之二
两边对应成比例，且夹角相等，
两三角形相似。
A1
B1
C1
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
∠B =∠B1 .
那么
大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗 同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。
探究3
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。
相似
一定需要三个角吗？
A1
B1
C1
A
B
C
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之三
两角对应相等，两三角形相似。
A1
B1
C1
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形
B
D
A
C
有三对相似三角形：
△ACD∽ △CBD
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △ABC
常用的成比例的线段：
常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
B
D
A
C
例题
已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）
相似三角形对应高的比等于相似比
∵△ ABC∽ △ A1B1C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
证明：
∴
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
证明：
∴
相似三角形对应中线的比等于相似比
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
探究4
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
你能证明吗？
A
B
C
A1
B1
C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之四
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
两角对应相等
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（三边对应成比例，三角相等）
对应角相等。
对应边成比例。
对应高的比等于相似比。
对应中线的比等于相似比。
对应角平分线的比等于相似比。
2. 相似三角形的性质：
（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
√
×
√
×
√
×
√
×
随堂练习
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
50°
30°
100°
30°
30°
3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？
A
C
B
A1
C1
B1
D
E
F
A
B
C
60°
相似
相似
4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
C
D ●
Ａ
Ｂ
B
C
A
D
E
E
B
C
A
D
△ ADE∽ △ABC
△ AED∽ △ABC
∠A=∠A
∠AED=∠C
∠A=∠A
∠AED=∠B
作DE，使∠AED=∠C
作DE，使∠AED=∠B
这样的直线有两条：
5. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___对相似三角形。
3
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边长是________。
全等
4︰3
24cm
9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
A
D
B
E
C
解: （1）
∵ DE ∥ BC
∴ △ADE∽△ABC
∵∠AED =∠C = 400
在△ADE中，∠ADE =180°-40°-45°= 95°
10. 已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，
BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°
求：（1）∠AED和∠ADE的大小。
（2）求DE的长。
（2） ∵△ADE∽△ABC
A
D
B
E
C
∴
22.2 相似三角形的判定
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
A
B
C
E
D
F
相似的表示方法
符号：∽ 读作：相似于
相似比
AB : A1B1 =
BC : B1C1 =
CD : C1D1
= k
时，
A
B
C
A1
B1
C1
则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 .
这两个风筝图形相似，观察并思考：
A
B
A
A1
B1
C1
大胆猜想，
那么，
若已知AB∥A1B1，
能否得出△ABC1 ∽ △A1B1C1
AB∥A1B1
除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？
教学目标
理解相似三角形的判定方法．
知识与能力
过程与方法
以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．
情感态度与价值观
培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值．
教学重难点
会应用相似三角形的两个判定方法。
怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。
抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。
已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系 并证明。
A
B
C
D
E
证明:
且 ∠A= ∠A
∵ DE // BC
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
相似。
1
2
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。
∴ 四边形DBFE是平行四边形
∴ DE=BF , DB= EF
∴ △ADE ∽ △ABC
A
B
C
D
E
F
过E作EF//AB交BC于F
又∵ DE // BC
又∵ AD = DB
∴ AD = EF
∵ ∠A =∠3，
∠2 =∠C
∴ △ADE≌△EFC
∴ DE = FC =BF，
∴
∴
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例
2
3
AE=EC
已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系
猜想：△ADE与△ABC有什么关系
相似。
A
B
C
D
E
F
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
1
2
你能证明吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
知识要点
平行于三角形一边的定理
A
B
C
D
E
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
A型
你还能画出其他图形吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
D
E
A
C
B
延伸
即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？
X型
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
推论
A
B
C
D
E
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么
（上比全，
全比上）
（上比下，下比上）
（下比全，全比下）
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
定义 判定方法 全等三角形
相似三角形
回顾并思考
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边与直角边
H
L
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
边边边
S
S
S
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
求证：
有效利用判定定理一去求证。
探究1
证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
又
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之一
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
A
B
C
三边对应成比例，两三角形相似。
探究2
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
求证：
∠B =∠B1 .
你能证明吗？
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之二
两边对应成比例，且夹角相等，
两三角形相似。
A1
B1
C1
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
∠B =∠B1 .
那么
大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗 同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。
探究3
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。
相似
一定需要三个角吗？
A1
B1
C1
A
B
C
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之三
两角对应相等，两三角形相似。
A1
B1
C1
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形
B
D
A
C
有三对相似三角形：
△ACD∽ △CBD
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △ABC
常用的成比例的线段：
常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
B
D
A
C
例题
已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）
相似三角形对应高的比等于相似比
∵△ ABC∽ △ A1B1C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
证明：
∴
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
证明：
∴
相似三角形对应中线的比等于相似比
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
探究4
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
你能证明吗？
A
B
C
A1
B1
C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之四
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
两角对应相等
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（三边对应成比例，三角相等）
对应角相等。
对应边成比例。
对应高的比等于相似比。
对应中线的比等于相似比。
对应角平分线的比等于相似比。
2. 相似三角形的性质：
（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
√
×
√
×
√
×
√
×
随堂练习
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
50°
30°
100°
30°
30°
3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？
A
C
B
A1
C1
B1
D
E
F
A
B
C
60°
相似
相似
4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
C
D ●
Ａ
Ｂ
B
C
A
D
E
E
B
C
A
D
△ ADE∽ △ABC
△ AED∽ △ABC
∠A=∠A
∠AED=∠C
∠A=∠A
∠AED=∠B
作DE，使∠AED=∠C
作DE，使∠AED=∠B
这样的直线有两条：
5. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___对相似三角形。
3
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边长是________。
全等
4︰3
24cm
9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
A
D
B
E
C
解: （1）
∵ DE ∥ BC
∴ △ADE∽△ABC
∵∠AED =∠C = 400
在△ADE中，∠ADE =180°-40°-45°= 95°
10. 已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，
BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°
求：（1）∠AED和∠ADE的大小。
（2）求DE的长。
（2） ∵△ADE∽△ABC
A
D
B
E
C
∴