5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 教学设计

教学设计
（一）教学内容
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
（二）教学目标
(1)理解正弦函数图象的绘制原理，能够解释单位圆与函数图象的关系，达到数学抽象核心素养水平的要求。
(2)掌握五点法绘制正弦函数简图的步骤，能够在简单情境中应用该方法绘制函数图象，达到直观想象核心素养水平的要求。
(3)理解正弦函数周期性特征，能够通过平移变换得到整个定义域内的图象，达到逻辑推理核心素养水平的要求。
(4)理解余弦函数与正弦函数的关系，能够运用诱导公式进行函数图象变换，达到数学运算核心素养水平的要求。
(5)进一步体会“概念—图象—性质”的研究具体函数的一般思路；结合函数图象直观认识函数部分性质特点，体会数形结合的思想方法，提升直观想象素养；能够比较正弦曲线和余弦曲线的异同，理解两者图象特征，达到直观想象核心素养水平的要求。
（三）教学重点与难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象以及“五点法”。
难点：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象。
（四）教学过程设计
环节1：数学文化引入
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数问题．
环节2：规划研究方案，形成研究思路
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题？
师生活动：明确学习三角函数定义后，应该继续研究三角函数的图象和性质.
追问（1）：之前研究指数函数、对数函数的图象和性质的思路是怎样的？
预设：研究思路是：函数的定义→函数的图象和函数的性质。
追问（2）：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
预设：绘制一个新函数图象的基本方式是描点法。
追问（3）：根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
预设：根据三角函数的定义，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示:,，其中，根据公式一，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，方便起见，我们可以先画函数的图象，再画出正弦函数的图象。
设计意图：规划研究方案，构建本单元及本节课的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习过程，形成整体观念。
环节3：合作探究，数学抽象:正弦函数的图象
问题2：描点法是画函数图象的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点、怎样描点画图呢？
预设：学生可能会说，对于自变量在上随意取一些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线。
追问：这样作图应该能够得到正弦函数图象的大致形状，但是三角函数中会出现无理数，这样作图明显不够精确，而且也没有利用到三角函数的定义，缺少了三角函数定义和图象之间的内在联系，所以需要寻求更精确、并且利用到三角函数定义的方法。
问题3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并准确画出点？
追问：根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？的几何意义又是什么？
师生活动：请大家看图，在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，且单位圆与轴正半轴的交点为，在单位圆上，将点A绕着点旋转弧度至点，根据弧度制的定义，既是的大小，也是弧的长度；根据正弦函数的定义，点B的纵坐标由此，以为横坐标，以为纵坐标画点，即得到函数图象上的点，在没有信息技术的情况下，可以用“手工绕线法”完成，同学们可以课下思考。
设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解；通过分析点的坐标的几何意义，准确描点。
问题4：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能类比指数函数、对数函数图象的画法，画出的图象吗
师生活动：师生共同讨论方案，教师指导并完善方案。
方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接。
教师点评：随意取值，横坐标，可能会出现比较多的无理数，不容易在轴上准确定位：而且根据弧度制的定义，的值是弧的长度，不容易平移，所以在单位圆上定位弧度的角的终边时，存在一定困难。
方案2：取1、2、3等值，再按照上述方式绘制图像。
教师点评：1、2、3等弧度数在轴上可以准确定位，但是在单位圆上定位这些弧度的角的终边时，仍然存在上述的问题。
方案3：取比较熟悉的特殊角，如、、等。
教师点评：内的这些特殊角是大家比较熟悉的，在x轴上比较容易定位，但是在单位圈上怎样确定点的位置呢？究竟取哪些、怎样取特殊角，才能即简便又准确呢？
方案4：在区间内取等分点，最为简便准确。
预设：如图，把轴上这一段分成12等份，即每个象限3等分，从而使的值分别为0，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12等分，再按照上述方法依次画点,就能准确定位出每个在单位圆上所对应的终边位置,从而可以准确地画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。
师生活动：学生用上述方法绘制图象，教师用几何画板演示上述图象的生成过程，初步得到的图象，再借助信息技术取任意多的点，并连续成线。
设计意图；确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施；利用信息技术得到更多图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理。
问题5：根据函数的图象，你能想象正弦函数的图象吗？依据是什么？请画出该函数的图象。
预设：根据公式一，其中，可知函数，，且的图象与的图象形状完全一致，因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图象，如图所示。
教师指出：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
设计意图：绘制函数的图象，让学生体会从有限到无限的推广过程，并培养学生说理的习惯。
问题6：对函数的研究，能够快速又比较准确的做出其简图，往往起到重要的作用，你能画出函数图象的简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？
师生活动：教师引导学生观察图象，共同确定关键点。
预设：在函数图象上，以下五个点：,,,,在确定函数图象时起关键作用，它们是函数图象的最大值点、最小值点以及零点，描出这五个点，函数的图象形状就基本确定了，因此，在精度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来，得到正弦函数的简图，这种方法非常实用，方便有效，称为“五点法”。
设计意图；观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便方法。
环节4：余弦函数的图像
问题7：我们已经能够做出正弦函数的图象，你能做出余弦函数的图象吗？
师生活动：此时学生可能会跃跃欲试，想用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步追问。
追问1：如果仍然采用之前的方法，如图，此时单位圆上点的横坐标为，那么将它作为点的纵坐标，还容易平移吗？显然不太方便。
追问2：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数，诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化，所以你能否通过已经得到的正弦函数的图象,通过变换得到余兹函数的图象？
师生活动：学生比较容易想到，教师要引导学生分析，此时的图象变换比较困难，要选择比较简洁的公式。
预设：通过比较进行选择，从数的角度和操作性上，可以选择诱导公式得：。而函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度而得到，所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就能得到余弦函数的图象。
教师指出：余弦函数的图象叫余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线。
追问3：你能利用点的坐标，解释这种平移变换吗？
预设：设函数图象上任意一点为，即，则在函数上，当，即时，函数值也为，所以函数图象上有对应点，是将点向左平移了个单位得到的，所以只要将图象上的点向左平移个单位，即可得到的图象。
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象得到余弦函数的图象；增强对两个函数图象之间联系性的认识，并且通过坐标变换加深对图象变换的理解。
问题8：类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何做出余弦函数的简图？
追问：根据余弦曲线的特点，你认为选取哪个区间研究比较合理？
师生活动：师生共同讨论，余弦曲线可以从正弦曲线平移得到，也是周而复始的，所以也需要选取长度为的区间；可以发现余弦曲线的图象关于轴对称，所以选取区间比较合理。
预设：选取，，，，这五个点为关键点。设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”。
环节5：典例分析
例1：画出下列函数的简图；
(1)；
(2).
追问：你能利用函数的图象，通过图象变换得到的图象吗？同样，利用函数的图象，通过怎样的变换就能得到的图象？
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能，通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好铺垫。
环节6：课堂小结、作业布置
小结：思考下列问题；
(1)我们是如何做出正弦曲线、余弦曲线的？
(2)如何用“五点法”做出正弦函数、余弦函数的简图？
(3)做函数图象有哪些基本方法
师生活动：教师与学生一起回顾本节内容，学生举手回答，教师指点补充。
设计意图：从“具体过程”到“核心技能”再到“一般方法”的反思链条，引导学生的思维从操作层面上升到策略层面，最终触及思想层面。其根本意图是帮助学生跳出孤立的知识点，形成关于“函数图象研究”的、有结构、可迁移的认知框架，从而真正落实学科核心素养的培养。
布置作业：教科书第200页练习1、2、3、4题。
设计意图：第1题是基础，第2题是深化，第3题是拓展，第4题是综合应用。它们共同引导学生从“会画图”走向“会用图”，再走向“由图生想，由想构图”，最终实现利用图象这一工具解决复杂数学问题，完美地呼应了本单元的教学目标与核心思想。
板书设计：
（五）目标检测设计
1、同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。通过观察两条曲线，说出它们的区别与联系。
（1）
（2）
检测目标：检测学生能否熟练、准确地利用描点法或五点法，在不同定义域上绘制正弦、余弦函数的标准图象。
2、用五点法分别画下列函数在上的图象：
(1)； (2)。
检测目标：检测学生对“五点法”绘制三角函数简图的步骤与原理是否真正掌握，特别是五点（起点、零点、极值点）的准确选取与坐标计算；检测学生能否将函数解析式的代数变换与图象的几何变换对应起来；检测学生在作图过程中，是否能体现坐标轴、关键点、平滑曲线等作图规范。
3、（多项选择题）函数，的图象与直线的公共点可能有（　　）。
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （E）4个
检测目标：检测学生能否将“交点个数”问题转化为“函数图象与水平直线相交”的几何问题，并在脑海或草图中准确构建不完整周期的函数图象，通过移动水平直线（或分析其位置）来判断交点个数的所有可能情况。
（六）特色说明
本节“正弦函数、余弦函数的图象”教学设计，以“构建理解、发展思维”为核心，致力于在知识生成过程中深度落实数学学科核心素养，践行“学生为主体、活动为主线”的新课程学习活动观。本课时的教学特色集中体现在以下三个方面：
1、素养导向：创设“做数学”的探究历程，让核心素养生根
本课时彻底摒弃“告知图象—记忆性质”的传统模式，将教学过程设计为一个完整的数学探究项目，使六大核心素养在关键活动中落地：
1)数学抽象与直观想象的深度融合：
数学抽象与直观想象的深度融合在本课时的“从单位圆定义到坐标系点”的几何构造活动中得到充分体现。当学生面对如何精准绘制点这一真实困境时，他们被引导超越特殊的数值计算，回归正弦函数的单位圆定义。在这一过程中，抽象的“弧度”被转化为一段可度量的弧长，而“”则被直观想象为单位圆上对应点的纵坐标，从而将代数定义抽象为几何模型，再通过直观想象完成空间构造。学生通过亲自动手或观看演示，经历量取x轴长度、在单位圆上标记弧长终点、再作垂线确定纵坐标的系列操作。这不仅是一个“画点”的技能，更是一个“数学对象化”的思维建模过程，完美体现了两种核心素养的共生共长。
2)逻辑推理与数学建模的循序渐现：
逻辑推理与数学建模的循序渐现则通过“从‘五点法’的原理追问到正弦、余弦图象关系的变换论证”这一特色活动逐步展现。在获得精确图象后，教师不急于给出“五点法”，而是引导学生思考“哪些点控制了图象的骨架？”，这实则是引导他们为“如何简捷表征周期函数图象”建立数学模型。通过小组讨论归纳关键点，学生自主探索周期函数的简化表示。随后，从诱导公式出发，进行严格的逻辑推理，推导出正弦与余弦图象之间的平移关系。教师通过板演，严格证明这一变换，示范数学表达的严谨性，使学生确信图象变换是代数等式的必然几何后果，从而在推理与建模的递进过程中提升数学素养。
2、学习活动观：践行“三位一体”的实践性学习
本课时教学设计充分践行了“在体验中学习、在实践中应用、在迁移中创新”的学习活动观：
本课时教学设计通过“手工细线缠绕”与“动态软件追踪”的双重体验，让学生在触觉与空间运动中亲身感知“弧度即弧长”的概念，同时在视觉与连续变化中直观理解“点的运动生成曲线”的动态过程。这种多感官结合的体验方式，不仅满足了不同学习风格学生的需求，更使抽象数学概念变得可触摸、可内化，为后续学习奠定了极为牢固的基础。
在实践性活动中，核心任务链以“绘制一个点”为起点，逐步引导学生完成“绘制一个周期”“拓展到整个定义域”乃至“由正弦得余弦”的完整过程。这一环环相扣的实践链条，让学生在每一步中应用前一阶段所学的思想方法，通过亲手操作与思考，自主建构起对三角函数图象的全面认知，实现了思维在应用中的逐级攀升和深化。
迁移与创新性活动则通过开放性问题的设计，如“能否想象并描述的图象？”或“除了平移，正弦和余弦图象还有其他关系吗？”，激发学生基于已有知识进行合理推测与想象。这些问题没有固定答案，鼓励思维的发散与迁移，不仅巩固了所学内容，更为学有余力的学生提供了拓展与创新的空间，从而促进学习从应用向升华的自然过渡。
3、资源与技术：融合传统智慧与现代工具，赋能深度理解
本课时独特地融合了低成本教具与高端信息技术，形成了优势互补的教学资源生态。
1)独特的传统教具：“单位圆-坐标轴”联动演示板
在讲解第一个点的几何构造时，本课时采用了独特的传统教具——“单位圆-坐标轴”联动演示板。这是一个自制的物理教具，包含一个可旋转的单位圆盘和一条与之原点对齐的x轴滑轨。教师通过移动滑轨上的指针来代表横坐标x ，同步旋转圆盘上的指针至对应的弧长位置，其纵坐标直接指示出sinx 。这一设计将“横坐标—弧长—终边位置—纵坐标”四者关系动态、联动、可视化地呈现出来，其直观效果远胜于静态PPT演示。尽管成本低廉，但教具直击认知要害，有效帮助学生建立几何模型与代数定义之间的联系，使抽象概念变得触手可及。
2)创新型技术应用：GeoGebra的“参数追踪与生成”功能
在从“离散点”到“连续图象”的过渡以及展示正弦到余弦的平移变换时，本课时创新性地应用了GeoGebra的“参数追踪与生成”功能。通过创建一个从0到2π滑动的参数a，动态显示点的生成过程并保留其轨迹，随着a的滑动，轨迹逐渐画出一条连续的正弦曲线，让学生直观理解“图象是点的集合”以及“函数的连续性”。同时，在同一坐标系中绘制和，并启动动画展示图象从位置进行矢量平移，学生可以清晰看到两个图象如何通过平移完全重合，从而对变换思想豁然开朗。信息技术在此不仅仅是“演示工具”，更是“认知增强工具”，它突破了黑板静态作图的局限，将函数最本质的“动态对应”关系和“变换”过程以符合数学本质的方式呈现出来，赋能了学生对核心概念的深度建构。
总结特色：本课时教学的最大特色，在于它以核心素养的形成为目标，以层次丰富的学生活动为载体，以融合创新的教学资源为支撑，打造了一个既脚踏实地（紧扣数学本质）又引人入胜（充满探究乐趣）的学习场域。学生在这里不是知识的接收器，而是数学的发现者和思想的建构者。
（七）教材内容