2025-2026学年上海上理附中高二上学期数学期中试卷（含答案）

上海理工大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为______．
2.如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为______．
3.在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为______．
4.若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1，则球的表面积为______．
5.在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则______．
6.如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为______．
7.空间四边形中，分别为的中点，若异面直线和成的角，则______．
8.给出下列命题：
①平行六面体是斜四棱柱；
②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱．
其中正确的个数是______．
9.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为______．
10.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．
11.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为______．
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）
13.已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）.
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
15.已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
16.正四面体的体积为1，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）.
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共4题，满分46分，10分＋10分＋10分＋16分）须写出必要步骤．
17.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．
（1）判断四面体是否为鳖臑，并说明理由；
（2）若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成的角的大小．
18.如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
19.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形．
（1）求证：平面平面；
（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离．
20.在正方体中，、、分别为、、的中点，棱长为．
（1）请在图一作出过三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）．
（2）计算截面的周长．
（3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长．
参考答案
一、填空题
1.平行或相交; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为______．
【答案】
【解析】作出圆台的轴截面如图所示：
则内接圆与梯形切于点，
其中分别为上、下底面圆心，
而梯形的腰长，
所以圆台的母线长为5，又该圆台的两底面半径分别为1,4，
所以该圆台的表面积为故答案为：．
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】以为原点，分别以所在的直线为轴，轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
∵点在线段上，
设，
∵，且函数的图所开口向上，对称轴方程为，
∴当且仅当时，有最小值即有最大值为，
且余弦函数在上是单调递减函数，
即异面直线与所成的角的最小值为，故答案为：．
二、选择题
13.B 14.D 15.D 16.B
15.已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，如图所示，为圆锥的轴截面，
设圆锥的底面半径为，母线长，
若，所得截面面积的最大值为，
而，不符合题意，
若，此时所得截面面积的最大值，符合题意，
此时有，变形可得
又由，则的取值集合为．故选：．
16.正四面体的体积为1，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正四面体的体积为为其中心，
正四面体与正四面体关于点对称，
根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱体的体积（4个体积相等），
其中每个小锥体积为．所以公共部分的体积为．故选：．
三、解答题
17.（1）是 （2）
18.（1） （2）
19.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形．
（1）求证：平面平面；
（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
又平面，且平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）因为四棱锥的体积为，
所以，即所以，
由勾股定理知，，所以是等边三角形，
其面积为
设点到平面的距离为，因为，
所以，即
所以点到平面的距离为．
20.【答案】（1）作图略 （2） （3）