7.1同底数幂的乘法（ 2个知识点 6类题型）学案（含答案）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题7.1同底数幂的乘法
知识要点
知识点01 同底数幂的乘法法则
数学语言：(都是正整数).
文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
推广 （都是正整数）.
适用前提：参与乘法运算的幂，必须是底数相同的幂。
运算方法：计算时，底数保持不变，只需要把各个幂的指数相加，所得的和作为新的指数，与原来的底数组合。
知识点02 同底数幂的乘法法则的逆运用
数学语言：（都是正整数）.
文字表述：底数相同的幂，指数和对应的幂，等于指数拆分后各个同底数幂的积
适用前提：参与变形的幂，底数为定值，指数可拆分为几个正整数的和
运算方法：计算时，底数保持不变，把原幂的指数拆成几个正整数的和，再把拆分后的指数分别作为新的指数，与原底数组合成若干个同底数幂，最后将这些幂相乘。
题型一 同底数幂的乘法法则计算
例1 计算：
（1）103×104＝　 　 ；
（2）b2 b5＝　 　 ；
（3）a2 a a5＝　 　 ．
变式1 下列各式中，正确的是（　　）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
变式2．式子a2m+3不能写成（　　）
A．a2m a3 B．am am+3 C．a2m+a3 D．am+1 am+2
变式3．计算：
（1）a2 a3＝　 　 ；
（2）m2 m3 m5＝　 　 ；
（3）x2n xn+1＝　 　 ；
（4）（）×（）3＝　 　 ；
（5）（﹣x）4 （﹣x）3＝　 　 ．
题型二 同底数幂的乘法与整式的加减 综合运算
例2计算：x4 x8+3（x6）2+（2x4）3．
变式1 ．化简：a2 （﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
变式2．计算：
（1）x7 x5+（﹣2x3）4．
（2）（b﹣a）2 （a﹣b）3+2（a﹣b）5．
题型三 同底数幂乘法法则求值
例3（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值；
（2）已知33x+1＝81，求x．
变式1．已知2m＝4，2n＝16，m、n为正整数，则2m+n＝　 　 ．
变式2．若am＝2，an＝5，则am+n＝　 　 ．
变式3．若a2 am＝a7，则m＝　 　 ．
题型四 同底数幂乘法法则 逆运用
例4．已知a为非零实数，m，n为正整数．若am＝3，am+n＝18，则an的值为　　 ．
变式1．已知3×32x×34＝323，求x的值．
变式2．已知3x+1 2x﹣3x 2x+1＝63x+4，求x．
题型五 同底数幂的乘法的实际应用
例5．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×106块大石块，每块重约2.5×103千克．请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？
变式1．宇宙空间的距离通常以光年为单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度约为3×105km/s，一年约有3.154×107s，那么1光年约为多少千米？
变式2．一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作3×108秒运算的次数为（　　）
A．12×108 B．1.2×109 C．12×1016 D．1.2×1017
题型六 新定义问题
例6．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为 　 　 ．
变式1．如果a b＝c，则ac＝b，例如2 8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若3 27＝x，则x＝　3　 ；
（2）记3 5＝a，3 6＝b，3 90＝c，求a、b、c之间的数量关系．
变式2．规定a*b＝3a×3b．
（1）填空：1*2＝　 　 ；
（2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值．
专题7.1同底数幂的乘法
知识要点
知识点01 同底数幂的乘法法则
数学语言：(都是正整数).
文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
推广 （都是正整数）.
适用前提：参与乘法运算的幂，必须是底数相同的幂。
运算方法：计算时，底数保持不变，只需要把各个幂的指数相加，所得的和作为新的指数，与原来的底数组合。
知识点02 同底数幂的乘法法则的逆运用
数学语言：（都是正整数）.
文字表述：底数相同的幂，指数和对应的幂，等于指数拆分后各个同底数幂的积
适用前提：参与变形的幂，底数为定值，指数可拆分为几个正整数的和
运算方法：计算时，底数保持不变，把原幂的指数拆成几个正整数的和，再把拆分后的指数分别作为新的指数，与原底数组合成若干个同底数幂，最后将这些幂相乘。
题型一 同底数幂的乘法法则计算
例1 计算：
（1）103×104＝　107 ；
（2）b2 b5＝b7 ；
（3）a2 a a5＝a8 ．
【解答】解：（1）103×104＝107；
故答案为：107；
（2）b2 b5＝b7；
故答案为：b7；
（3）a2 a a5＝a8．
故答案为：a8．
变式1 下列各式中，正确的是（　　）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
【解答】解：A、a4 a3＝a7，不符合题意；
B、a4 a3＝a7，符合题意；
C、a4与a3不是同类项，所以不能合并，不符合题意；
D、a4 a4＝a8，不符合题意．
故选：B．
变式2．式子a2m+3不能写成（　　）
A．a2m a3 B．am am+3 C．a2m+a3 D．am+1 am+2
【解答】解：A．根据同底数幂的乘法，a2m a3＝a2m+3，那么A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，am am+3＝a2m+3，那么B不符合题意．
C．根据合并同类项法则，a2m+a3≠a2m+3，那么C符合题意．
D．根据同底数幂的乘法，am+1 am+2＝a2m+3，那么D不符合题意．
故选：C．
变式3．计算：
（1）a2 a3＝a5 ；
（2）m2 m3 m5＝m10 ；
（3）x2n xn+1＝x3n+1 ；
（4）（）×（）3＝　　 ；
（5）（﹣x）4 （﹣x）3＝　﹣x7 ．
【解答】解：（1）a2 a3＝a5；
故答案为：a5；
（2）m2 m3 m5＝m10；
故答案为：m10；
（3）x2n xn+1＝x3n+1；
故答案为：x3n+1；
（4）（）×（）3；
故答案为：；
（5）（﹣x）4 （﹣x）3＝﹣x7．
故答案为：﹣x7．
题型二 同底数幂的乘法与整式的加减 综合运算
例2计算：x4 x8+3（x6）2+（2x4）3．
【解答】解：原式＝x12+3x12+8x12
＝12x12．
变式1 ．化简：a2 （﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
【解答】解：a2 （﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
＝a2 a4﹣9a6﹣8a6
＝a6﹣9a6﹣8a6
＝﹣16a6．
变式2．计算：
（1）x7 x5+（﹣2x3）4．
（2）（b﹣a）2 （a﹣b）3+2（a﹣b）5．
【解答】解：（1）原式＝x12+16x12
＝17x12；
（2）原式＝（a﹣b）2 （a﹣b）3+2（a﹣b）5
＝（a﹣b）5+2（a﹣b）5
＝3（a﹣b）5．
题型三 同底数幂乘法法则求值
例3（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值；
（2）已知33x+1＝81，求x．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴am+n＝am×an＝2×3＝6；
（2）∵33x+1＝81，
∴33x+1＝34，
∴3x+1＝4，
解得：x＝1．
变式1．已知2m＝4，2n＝16，m、n为正整数，则2m+n＝　64　 ．
【解答】解：当2m＝4，2n＝16时，
2m+n
＝2m×2n
＝4×16
＝64．
故答案为：64．
变式2．若am＝2，an＝5，则am+n＝　10　 ．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am an＝2×5＝10，
故答案为：10．
变式3．若a2 am＝a7，则m＝　5　 ．
【解答】解：∵a2 am＝a7，
∴a2+m＝a7，
∴2+m＝7，
解得：m＝5．
故答案为：5．
题型四 同底数幂乘法法则 逆运用
例4．已知a为非零实数，m，n为正整数．若am＝3，am+n＝18，则an的值为　6　 ．
【解答】解：∵a为非零实数，m，n为正整数．若am＝3，am+n＝18，
∴am+n＝am an＝3an＝18，
∴an＝6．
故答案为：6．
变式1．已知3×32x×34＝323，求x的值．
【解答】解：∵3×32x×34＝323，
∴31+2x+4＝323，
∴1+2x+4＝23，
解得：x＝9．
变式2．已知3x+1 2x﹣3x 2x+1＝63x+4，求x．
【解答】解：3x+1 2x﹣3x 2x+1＝63x+4，
3×3x 2x﹣2×3x 2x＝63x+4，
3×6x﹣2×6x＝63x+4，
6x＝63x+4，
则x＝3x+4，
解得：x＝﹣2．
题型五 同底数幂的乘法的实际应用
例5．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×106块大石块，每块重约2.5×103千克．请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？
【解答】解：2.3×106×（2.5×103）＝5.75×109（千克）．
答：胡夫金字塔总重约为5.75×109千克．
变式1．宇宙空间的距离通常以光年为单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度约为3×105km/s，一年约有3.154×107s，那么1光年约为多少千米？
【解答】解：由题意可得：3×105×3.154×107＝9.462×1012（km），
答：1光年约为9.462×1012千米．
变式2．一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作3×108秒运算的次数为（　　）
A．12×108 B．1.2×109 C．12×1016 D．1.2×1017
【解答】解：由题意知，工作3×108秒运算的次数为4×108×3×108＝12×1016，
12×1016大于1，用科学记数法表示为a×10n，其中a＝1.2，n＝17，
∴用科学记数法表示为1.2×1017．
故选：D．
题型六 新定义问题
例6．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为 　56　 ．
【解答】解：设4m＝8，4n＝7，
∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），
∴m+n＝（4，x），
∴4m+n＝x，
∴4m×4n＝x，
∴8×7＝x，
∴x＝56，
故答案为：56．
变式1．如果a b＝c，则ac＝b，例如2 8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若3 27＝x，则x＝　3　 ；
（2）记3 5＝a，3 6＝b，3 90＝c，求a、b、c之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵a b＝c，则ac＝b，
∴3 27＝x，则3x＝27，
∴x＝3，
故答案为：3；
（2）由3 5＝a，3 6＝b，3 90＝c可得：
3a＝5，3b＝6，3c＝90，
∵3×5×6＝90，
∴3×3a×3b＝3c，即31+a+b＝3c，
∴1+a+b＝c，即a+b﹣c＝﹣1，
∴a、b、c之间的数量关系为a+b﹣c＝﹣1．
变式2．规定a*b＝3a×3b．
（1）填空：1*2＝　27　 ；
（2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值．
【解答】解：（1）∵a*b＝3a×3b，
∴1*2＝31×32＝3×9＝27，
故答案为：27．
（2）∵2*（x﹣5）＝81，
∴32×3x﹣5＝34，
∴32+（x﹣5）＝34，
∴2+x﹣5＝4，
解得：x＝7．