第一章 三角形的证明及其应用
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形内角和定理的推论
教学设计
课题 第2课时 三角形内角和定理的推论 授课人
教学目标 1．进一步了解证明的基本步骤和书写格式，掌握定理、定理的推论的含义及作用。 2．会证明三角形内角和定理的推论，并能简单运用； 3．继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，在交流中发展有条理思考和表达的能力，树立言之有理、落笔有据的推理意识.
教学重点 掌握三角形内角和定理的推论1、2.
教学难点 会应用三角形内角和定理的推论1、2进行证明.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角。如图，∠1是△ABC的一个外角。你能在图中画出△ABC的其他外角吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 三角形的内角和定理推论1 观察下图，∠1与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。 猜想 ∠1=∠A+∠B。 证明：∵∠1+∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°， ∴∠1 =180°-∠ACB，∠A +∠B =180°-∠ACB. ∴∠1 =∠A +∠B. 由三角形内角和定理，可以得到： 三角形的内角和定理推论1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （连接例1） 知识点2 三角形的内角和定理推论2 三角形的内角和定理推论2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （连接例2、例3） 通过思考、交流、论证最后归纳出三角形内角和定理的推论1、2，培养学生自主探究能力及语言表达能力。
典例精析 【例1（教材P5例题）】 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD∥BC。 【证明】∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C, ∴∠C=∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC=∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD∥BC。 【例2（教材P6例题）】 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC＞∠A。 【证明】如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴∠BPC>∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∴∠BPC>∠A。 【例3】如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°. （1）求∠B的度数；（2）求∠C的度数. 【解】（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B=∠BAD（已知）, ∠B=80°×=40°（等量代换）. （2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）. 又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知）， ∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）. 【规律总结】在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补. 通过例题讲解加强学生对三角形内角和定理的推论1、2的综合应用能力。
随堂检测 1.三角形的一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( C ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.如图所示，下列说法错误的是( C ) A.∠2=∠A+∠B+∠D B.∠1=∠2－∠D C.∠2=∠A +∠D D.∠2＞∠1 ＞∠A 3.观察下图,填空: (1)∠ADE=∠B+ ∠BAD ； ∠ADB=∠C+ ∠CAD =∠AED+ ∠EAD 。 (2)填“＞”或“＜”: ∠AEC ＞ ∠ADE；∠AEC ＞ ∠B。 4.填空： （1）如图，AB//CD,∠B=58°,∠E=20°,则∠D= 38° . （2）如图，已知∠A=35°,∠B=20°,∠C=25°,则∠BDC= 80° . （3）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的一组对边上，若∠2=66°,则∠1= 36° . 5.如图，AD是△ABC的外角平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠C的度数． 【解】∵AD平分∠CAE， ∴∠DAE=∠CDA=60° ∴∠CAE=120° ∵∠CAE=∠B+∠C ∴∠C=∠CAE-∠B=120°-35°=85°． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 你在本节课中有哪些收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 三角形内角和定理的推论 1 三角形的内角和定理推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2 三角形的内角和定理推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
教学反思(共14张PPT)
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形内角和定理的推论
1. 理解并掌握三角形内角和定理的两个推论；（重点）
2. 能运用三角形内角和定理的推论解决相关问题.（难点）
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角。如图，∠1是△ABC的一个外角。你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
D
1
观察下图，∠1与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
D
1
猜想 ∠1=∠A+∠B。
证明：∵∠1+∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠1 =180°-∠ACB，∠A +∠B =180°-∠ACB.
∴∠1 =∠A +∠B.
D
1
由三角形内角和定理，可以得到：
推论1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD∥BC。
A
C
B
D
E
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C,
∴∠C=∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=∠EAC。
∴∠DAC=∠C。
∴AD∥BC。
还有其他证法吗？
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC＞∠A。
证明：如图，延长BP，交AC于点D。
A
C
B
P
D
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴∠BPC>∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。
∴∠BPC>∠A。
A
B D C
例3 如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,
∠BAC=70°.
（1）求∠B的度数；（2）求∠C的度数.
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B=∠BAD（已知）,
∠B=80°×=40°（等量代换）.
A
B D C
（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）.
又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），
∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）.
规律总结 在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补.
1.三角形的一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
2.如图所示，下列说法错误的是( )
∠2=∠A+∠B+∠D
∠1=∠2－∠D
C.∠2=∠A +∠D
D.∠2＞∠1 ＞∠A
2
1
E
D
C
B
A
C
C
A
B
C
D
E
3.观察下图,填空:
(1)∠ADE=∠B+ ；
∠ADB=∠C+ =∠AED+ 。
(2)填“＞”或“＜”:
∠AEC ∠ADE；∠AEC ∠B。
∠BAD
∠CAD
∠EAD
＞
＞
1
2
3
（1）如图，AB//CD,∠B=58°,∠E=20°,则∠D=_____.
E
A
B
C
D
F
（2）如图，已知∠A=35°,∠B=20°,∠C=25°,则∠BDC= .
E
A
B
C
D
（3）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的一组对边上，若∠2=66°,则∠1=___ .
38°
80°
36°
4.填空：
5.如图，AD是△ABC的外角平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠C的度数．
解：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAE=∠CDA=60°
∴∠CAE=120°
∵∠CAE=∠B+∠C
∴∠C=∠CAE-∠B=120°-35°=85°．
推论1
三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
推论2
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
