(共20张PPT)
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
1. 能通过不同方法探索多边形的外角和公式；（重点）
2. 学会运用多边形的外角和公式解决问题.（难点）
1.多边形的内角和等于 .
2.正多边形每个内角的度数是: .
(n-2)×180 °
练一练：1.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
3.一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
D
C
B
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
（1）小刚每次五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
1
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多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
如图，∠BAE的外角是∠1.
如图所示，跑步方向改变的角为∠1 、 ∠2 、 ∠3 、∠4 、∠5.
这个五边形的一个外角和它相邻的内角有什么关系？你还发现了什么？
它的一个外角和它相邻的内角互补.
与五边形的每个内角相邻的外角有两个.
1
A
B
C
D
E
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那么，你知道n边形有几个外角吗？
n边形有2n个外角．
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？
如图，跑步方向改变的角的总和（五边形的即外角和）是∠1+∠2+∠3+∠4
+∠5，
1
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E
B
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1
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A
解：∵∠1＋∠EAB＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，
∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋
∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°。
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
又∵∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°．
∴五边形的外角和为360°.
如果公园步道的形状是六边形、八边形呢？你还能求出它们的外角和是多少吗？
六边形的外角和为：6×180°－720°＝360°．
八边形的外角和为：
8×180°－1080°＝360°．
1
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如果是n边形，它的外角和是多少呢？能说说你的理由吗？
猜想：n边形的外角和都是360°.
理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，
∴n边形内角和加外角和等于n·180°，
又∵n边形的内角和为（n－2）×180°
∴n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°．
与多边形的边数无关.
多边形的外角和都等于360°.
多边形的外角和
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
（n－2）·180゜，外角和等于360゜．
根据题意，得（n－2）·180゜＝3×360゜.
解得 n＝8．
所以，这个多边形是八边形．
3.下列多边形中,内角和与外角和相等的是( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.八边形
1.正五边形的外角和为( )
A.180° B.360°
C.540° D.720°
B
C
A
2．多边形的内角和为外角和的4倍，这个多边形是（ ）．
A．八边形 B．九边形
C．十边形 D．十一边形
议一议：多边形的外角和都是360°，那么正多边形外角和是多少度呢？每个外角呢？
正多边形外角和也是360°.
正多边形的每个外角的度数=
例2 正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180゜，
根据题意，得 （n－2）·180゜＝135゜n，
解得n＝8．
所以，这个多边形是八边形．
方法一
每个外角的度数为 180°-135°=45°，
外角的个数为 360°÷45°=8
所以，这个多边形是八边形.
方法二
4.一个正多边形的内角和是540゜，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60゜ B．72゜ C．90゜ D．108゜
5.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )
A．五边形 B．四边形
C．三角形 D．不能确定
B
C
3.一个n边形变成(n+1)边形,外角和将( )
A.减少180° B.增加90°
C.增加180° D.不变
1．多边形的内角和为外角和的4倍，这个多边形是（ ）．
A．八边形 B．九边形
C．十边形 D．十一边形
C
2．正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )
A．八边形 B．九边形
C．十边形 D．十一边形
C
D
5.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
4.若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是
.
3
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6.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°,则此多边形是几边形
解: 这个多边形的边数为n.由题意可得
(n-2)·180°+360°=1800°,
解得n=10.
故这个多边形是十边形.
内角和计算公式
正多边形
多边形的内角和与外角和
(n-2) × 180 °(n≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
内角= ，外角=第一章 三角形的证明及其应用
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
教学设计
课题 第4课时 多边形的外角和 授课人
教学目标 1.理解并掌握多边形的外角和定理，且能够证明它。 2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题。 3.经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想。
教学重点 多边形的外角和公式。
教学难点 能利用内角和与外角和公式解决实际问题。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
知识回顾 1.多边形的内角和等于 。 2.正多边形每个内角的度数是: 。 练一练：1.一个多边形的内角和不可能是（ D ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° 2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ C ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° 3.一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是( B ) A.9 B.8 C.7 D.6 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
情景导入 如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. （1）小刚每次五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
探究新知 知识点1 多边形的外角和 如图所示，跑步方向改变的角为∠1 、 ∠2 、 ∠3 、∠4 、∠5. 小结 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.如图，∠BAE的外角是∠1. 探究 这个五边形的一个外角和它相邻的内角有什么关系？你还发现了什么？ 它的一个外角和它相邻的内角互补. 与五边形的每个内角相邻的外角有两个. 那么，你知道n边形有几个外角吗？ n边形有2n个外角． （2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？ 如图，跑步方向改变的角的总和（五边形的即外角和）是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. 解：∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°。 ∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， 又∵∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°． ∴五边形的外角和为360°. 探究 如果公园步道的形状是六边形、八边形呢？你还能求出它们的外角和是多少吗？ 探究 如果是n边形，它的外角和是多少呢？能说说你的理由吗？ 猜想 n边形的外角和都是360°. 理由 ∵n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°， ∴n边形内角和加外角和等于n·180°， 又∵n边形的内角和为（n－2）×180° ∴n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°． 小结 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 多边形的外角和都等于360°. （链接例1、针对练习） 议一议：多边形的外角和都是360°，那么正多边形外角和是多少度呢？每个外角呢？ 正多边形外角和也是360°.正多边形的每个外角的度数= （链接例2、针对练习） 通过思考、交流、论证最后归纳出三角形内角和定理的推论1、2，培养学生自主探究能力及语言表达能力。
典例精析 【例1（教材P9例5）】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 【解】解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 （n－2）·180゜，外角和等于360゜． 根据题意，得（n－2）·180゜＝3×360゜. 解得 n＝8． 所以，这个多边形是八边形． 【针对练习】 1.正五边形的外角和为( B ) A.180° B.360° C.540° D.720° 2．多边形的内角和为外角和的4倍，这个多边形是（ C ）． A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 3.下列多边形中,内角和与外角和相等的是( A ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 【例2】 正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正几边形？ 【解】(法1)设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180゜。 根据题意，得 （n－2）·180゜＝135゜n， 解得n＝8． 所以，这个多边形是八边形． (法2)每个外角的度数为 180°-135°=45°， 外角的个数为 360°÷45°=8 所以，这个多边形是八边形. 【针对练习】4.一个正多边形的内角和是540゜，则这个正多边形的每一个外角等于（ B ） A．60゜ B．72゜ C．90゜ D．108゜ 5.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( C ) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定 通过例题讲解加强学生对三角形内角和定理的推论1、2的综合应用能力。
随堂检测 1．多边形的内角和为外角和的4倍，这个多边形是（ C ）． A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 2．正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( C ) A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 3.一个n边形变成(n+1)边形,外角和将( D ) A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.不变 4.若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是 3 . 5.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是__150___米． 6.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°,则此多边形是几边形 解: 这个多边形的边数为n. 由题意可得(n-2)·180°+360°=1800°, 解得n=10. 故这个多边形是十边形. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 你在本节课中有哪些收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第4课时 多边形的外角和 1.内角和计算公式 (n-2) × 180 °(n≥3的整数） 2.外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 3.正多边形
教学反思
