第一章 三角形的证明及其应用
1.2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
教学设计
课题 第1课时 等腰三角形的性质 授课人
教学目标 1.通过图形的观察和操作，培养学生的几何直观能力. 2.通过证明等腰三角形的性质，培养学生的逻辑推理能力. 3.通过几何证明和计算，提高学生的数学运算能力. 4.通过实际问题的解决，培养学生的数学建模能力.
教学重点 等腰三角形的性质：“等边对等角”、“三线合一”和等边三角形的性质.
教学难点 灵活运用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和底角. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 等边对等角 还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ 如果把该等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有什么发现？ （1）等腰三角形是轴对称图形; （2）∠B=∠C. 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流. 已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 分析:我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2)，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形，这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：取BC的中点D，连接AD. ∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 教师提问：你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 方法二：证明：作底边BC的高AD. ∵ AB=AC，AD=AD， ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 方法三：证明：作顶角的平分线AD. ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 等腰三角形性质： 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； 知识点2 等腰三角形中的“三线合一” 等腰三角形性质： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一）. （链接针对练习1、2） 知识点3 等边三角形的性质 生活中的很多图形都是等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）. 又∵AC=BC, ∴∠A=∠B（等边对等角）. ∴∠A=∠B=∠C. 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 通过动手操作和观察，让学生自主发现等腰三角形的性质，培养学生的几何直观和逻辑推理能力.
典例精析 【针对练习】1.在△ABC中，AB=AC． (1)如果∠B=70°，那么∠C= 70° ，∠A= 40° ． (2)如果∠A=70°，那么∠B= 55° ，∠C= 55° ． (3)如果有一个角等于120°，那么∠A= 120 °，∠B= 30 °， ∠C = 30 °． (4)如果有一个角等于50°，那么另两个角为 65°、65°或50°、80° . 2.（学科融合）作为“一座21世纪的美术馆”的山西大同美术馆，屋顶由四块相互连接的金字塔形结构组成，从正面看都是等腰三角形，其中一个金字塔形结构(示意图如图所示)的高AD＝30m，跨度BC＝80m，则此金字塔形结构的边AB 的长为 50 m. 通过具体练习，帮助学生灵活运用等腰三角形的性质，提升学生的解题能力.
随堂检测 1.在△ABC中，AB=AC，AD垂直于BC ，垂足为D ，∠BAC=108°， 则 ∠BAD= 54° . 2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与 底边的夹角是( B ) A.25° B.25°或 40° C.25°或 35° D.40° 3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠B= 60°，则∠CDE 的度数为( A ) A.145° B.140° C.135° D.130° 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=BE，则∠A= 45° . 【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和， 列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得∠A=2x=45°. 5. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE = CD. 【证明】∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形， ∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，BE = BD， ∴△ABE ≌△CBD（SAS). ∴AE = CD. 6.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数. 【解】∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵ BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°，∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180°－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 引导学生回顾本节课的主要内容. 强调等腰三角形的性质：“等边对等角”、“三线合一”和等边三角形的性质. 提问学生：“你对等腰三角形的性质有哪些收获和疑问？” 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 等腰三角形的性质 1 等边对等角 等腰三角形性质： 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； 2 等腰三角形中的“三线合一” 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一）. 3 等边三角形的性质 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
教学反思(共20张PPT)
1.2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1. 理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质；（重点）
2. 能运用等腰三角形和等边三角形的性质解决相关问题.（难点）
观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和底角.
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
A
B
C
A
B
(C)
D
A
B
C
D
等腰三角形是轴对称图形;
∠B=∠C。
等腰三角形的两个底角相等.
（等边对等角）
还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
如果把该等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有什么发现？
D
已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
分析:我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2)，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形，这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
证明：
取BC的中点D，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
证明：
作底边BC的高AD.
∵AB=AC，AD=AD，
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
方法二：
证明：
作顶角的平分线AD.
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD (SAS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：
A
B
C
D
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
符号语言 图形
BD＝CD
∠BAD＝∠CAD
AD⊥BC
横线上填：
（无顺序）
A
B
C
∵ AB=AC， ，
∴ ， .
（等腰三角形“三线合一”）
等腰三角形性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一）.
D
1.在△ABC中，AB=AC．
(1)如果∠B=70°，那么∠C= ，∠A= ．
(2)如果∠A=70°，那么∠B= ，∠C= ．
(3)如果有一个角等于120°，那么∠A= °，∠B= °，
∠C = °．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角为 .
70°
40°
55°
55°
120
30
30
65°、65°或50°、80°
2.（学科融合）作为“一座21世纪的美术馆”的山西大同美术馆，屋顶由四块相互连接的金字塔形结构组成，从正面看都是等腰三角形，其中一个金字塔形结构(示意图如图所示)的高AD＝30m，跨度BC＝80m，则此金字塔形结构的边AB 的长为 m.
50
生活中的很多图形都是等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
C
B
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
C
B
A
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵AC=BC,
∴∠A=∠B（等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
1.在△ABC中，AB=AC，AD垂直于BC ，垂足为D ，∠BAC=108°，
则 ∠BAD _____.
2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与
底边的夹角是( )
B
A.25° B.25°或 40°
C.25°或 35° D.40°
54°
3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠B= 60°，则∠CDE 的度数为( )
A
A.145° B.140°
C.135° D.130°
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=BE，则∠A= .
A
B
C
D
E
【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角度分别用含有 x 的式子表示.
利用外角与三角形内角和，
列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得∠A=2x=45°.
x
x
2x
2x
3x
3x
2x
45°
A
B
C
D
E
x
x
2x
2x
3x
3x
2x
5. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE = CD.
证明：∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，
BE = BD，
∴△ABE ≌△CBD（SAS).
∴AE = CD.
A
B
C
D
E
6.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180°－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.
B
C
D
A
E
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
①等边对等角；
②三线合一.
等边三角形的性质
三个内角都相等且都等于60°.
