第一章 三角形的证明及其应用
1.2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定
教学设计
课题 第3课时 等边三角形的判定 授课人
教学目标 1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题. 2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维. 3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明.
教学难点 了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 李师傅是工厂的锻造工，他的工作是锻造一种等边三角形零件.如果你是工厂的检验员，你会怎样对李师傅生产的零件进行检验？ 方法一： 量三条边的长度是否相等； 方法二： 量三个角的大小是否相等. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 等边三角形的判定 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质. （1）三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A=∠B=∠C. 求证：AB=AC=BC. 证明：∵∠B=∠A=60° ， ∴AC=BC（等角对等边）. ∵∠B=∠C=60°， ∴AC=AB， ∴AC=AB=BC . （2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：若AB=AC ,∠A=60°. 求证：AB=AC=BC. 证明：若AB＝AC，∠A＝60°， 则∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴AB＝AC＝BC. （链接例1 ） 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由. 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 教师提醒：你还能用其他方法证明吗？ 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC = AB． 证明：延长BC到点D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°, ∴∠ACD=90°，∠B =60°． ∵AC=AC， ∴ △ABC≌△ADC（SAS）. ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形） ∴BC = BD= AB． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC=AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) （链接例2、针对练习） 教师引导学生进行思考和猜想，适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结. 教师引导学生思考和探究，最后总结出含有30°角的直角三角形性质.
典例精析 【例1】 已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. 【证明】∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， 又∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°， ∠AED=∠C=60°， ∴∠ADE=∠AED=∠A=60°， ∴△ADE是等边三角形. 【例2（教材P15例题）】 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°.CD 是腰AB 上的高. 求证：CD = AB. 【证明】在△ABC 中， ∵AB=AC，∠B=15°， ∴∠ACB =∠B=15°（等边对等角）. ∴∠DAC =∠B+∠ACB=15°+ 15°=30°. ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°. ∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ∴CD= AB. 【针对练习】1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为__9__cm. 2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=__6__;BC=__3__． 通过例题讲解和练习，帮助学生巩固所学知识，加深学生对知识的理解，提高学生的解题能力.
随堂检测 1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ C ） A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm 2.如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处，已知 BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE的长是__4__. 3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB ＝ 90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求证：BD ＝. 【证明】∵∠A = 30°，CD ⊥ AB ，∠ACB = 90° ∴ BC =,∠B = 60°． ∴∠BCD = 30°． ∴BD =. ∴BD =. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.等边三角形的判定定理是什么？ 2.含30°角的直角三角形的性质是什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第3课时 等边三角形的判定 1 等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形. （2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形. 2 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
教学反思(共19张PPT)
1.2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定
1. 能用所学的知识证明等边三角形的判定定理；（重点）
2. 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点）
李师傅是工厂的锻造工，他的工作是锻造一种等边三角形零件。如果你是工厂的检验员，你会怎样对李师傅生产的零件进行检验？
方法一：
量三条边的长度是否相等；
方法二：
量三个角的大小是否相等。
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
A
B
C
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
求证：AB=AC=BC.
证明：∵∠B=∠A=60° ，
∴AC=BC（等角对等边）.
∵∠B=∠C=60°，
∴AC=AB，
∴AC=AB=BC .
（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
已知：若AB=AC ,∠A=60°.
求证：AB=AC=BC.
证明：若AB＝AC，∠A＝60°，
则∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴AB＝AC＝BC.
等腰三角形 (含等边三角形) 性质 判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
例1 已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
∠AED=∠C=60°，
∴∠ADE=∠AED=∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形.
用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
证明：延长BC到点D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°,
∴∠ACD=90°，∠B =60°．
∵AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC（SAS）.
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC = BD= AB．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
例2 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°.CD 是腰AB 上的高. 求证：CD = AB.
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB =∠B=15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B+∠ACB=15°+ 15°=30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
B
A
D
C
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____;BC=_______．
A
B
C
9
6
1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
2.如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处，已知 BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE的长是________.
A
E
B
D
C
C
4
证明：∵∠A = 30°，CD ⊥ AB ，∠ACB = 90°
∴ BC =,∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
∴BD =.
∴BD =.
3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB ＝ 90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求证：BD ＝.
D
A
C
B
30°
等边三角形的判定
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形
（2）有一个角等于60°的等腰三角形
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
