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1.3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；（重点）
2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.（难点）
直角三角形的两个锐角互余.
问题1 直角三角形的定义是什么？
问题2 三角形内角和的性质是什么？
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
A
B
C
性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余.
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(1)根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
（2）如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
∵∠B = 90°，
∴∠A +∠C = 90°.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
a
c
b
勾
弦
股
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？
已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
A
B
C
证明：如图,作 Rt△A′B′C′，使
A′
B′
C′
∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则 A′B′2+A′C′2 =B′C′2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2，
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
∴∠A=∠A′= 90°(全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC是直角三角形.
A
B
C
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
上面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
再观察下面三组命题：
1.如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
2.如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
3.一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
观察上面三组命题,你发现了什么
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
归纳 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
1.下列命题中，属于假命题的是( )
A.三角形三个内角的和等于180°
B.两直线平行，同位角相等
C.矩形的对角线相等
D.相等的角是对顶角
D
2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
A
B
C
D
E
B
1.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为 ( )
A. 米 B. 米
C.( +1)米 D.3 米
2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A.,, B.1,,
C.6,7,8 D.2,3,4
B
C
3.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,点D,E分别在AB,AC上,∠B＝∠1.求证:△ADE是直角三角形.
证明:在Rt△ABC中,∠C＝90°,
∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠B＝∠1,
∴∠A＋∠1＝90°.
∴△ADE是直角三角形.
性质
直角三角形的性质与判定
①直角三角形的两个锐角互余.
②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②三角形两边的平方和等于第三边的平方
判定
命题
原命题、逆命题、互逆命题、真命题、假命题、逆定理第一章 三角形的证明及其应用
1.3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学设计
课题 第1课时 直角三角形的性质与判定 授课人
教学目标 会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明. 2. 能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题. 3．通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性.
教学重点 勾股定理逆定理的证明方法． 2．了解逆命题、互逆命题的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
教学难点 勾股定理及其逆定理的证明.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个角是直角的三角形叫直角三角形. 问题2 三角形内角和的性质是什么？ 三角形内角和等于180°. 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1、2 直角三角形的性质、直角三角形的判定 我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流. 性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形. （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ （2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ (1)根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. ∵∠B = 90°， ∴∠A +∠C = 90°. （2）如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形. 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？ 已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图,作 Rt△A′B′C′，使 ∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC， 则 A′B′2+A′C′2 =B′C′2（勾股定理）. ∵AB2+AC2=BC2， ∴BC2=B′C′2. ∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）. ∴∠A=∠A′= 90°(全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识点3 逆命题、逆定理 上面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 再观察下面三组命题： 1.如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 2.如果a=b，那么a2=b2； 如果a2=b2，那么a=b. 3.一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 观察上面三组命题,你发现了什么 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 原命题是真命题，逆命题是假命题. 归纳 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. （链接针对练习） 让学生通过分析、归纳，总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明．让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明，学生有一定的难度，尤其是逆定理的证明，在证明时教师加以指导.通过师生的共同探究，使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到数学逻辑关系存在的必然性.
典例精析 【针对练习】 1.下列命题中，属于假命题的是( D ) A.三角形三个内角的和等于180° B.两直线平行，同位角相等 C.矩形的对角线相等 D.相等的角是对顶角 2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ B ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 加深对所学知识的理解运用，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
随堂检测 1.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为 ( C ) A. 米 B. 米 C.( +1)米 D.3 米 2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( B ) A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2，3，4 D.2,3,4 3.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,点D,E分别在AB,AC上,∠B＝∠1.求证:△ADE是直角三角形. 【证明】在Rt△ABC中,∠C＝90°, ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠B＝∠1, ∴∠A＋∠1＝90°. ∴△ADE是直角三角形. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 本节课学到了什么知识？
作业布置
板书设计 第1课时 直角三角形的性质与判定 1、2 直角三角形的性质、直角三角形的判定 性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形. 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3 逆命题、逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
教学反思
