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1.3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（重点）
2. 会用其他方法判定两个直角三角形全等.（难点）
如果已知在两个三角形中两边对应相等时，
附加一个什么条件可以说明这两个三角形全等？
两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等．
如果其中一边的对角对应相等时，它们还全等吗？
B
A
C
(1)
B′
A′
C′
(2)
B′
A′
C′
(3)
如果其中一组等边的对角是直角，它们还全等吗？
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c.
a
c
α
2.作∠MCN =∠α= 90°.
3.在射线CM上截取CB=a.
M
C
N
B
小明的作法如下：
1.作射线CN.
C
N
C
N
M
4.以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线CN于点 A.
M
C
N
B
A
5.连接AB，得到Rt△ABC.
M
C
N
B
A
△ABC就是所要作的直角三角形.
文字语言：
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
→尝试利用所学知识证明该定理
已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2–AC2（勾股定理）.
同理，B′C′2 =A′B′2–A′C′2.
∵AB =A′B′，AC =A′C′，∴BC=B′C′.
∴△ABC ≌△A′B′C′（SSS）.
A
C
B
A′
C′
B′
例1 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF,AC=DF,
∴Rt△BAC ≌ Rt△EDF (HL).
∴∠CBA=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠CBA+∠EFD=90°.
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
现在请同学们思考,证明两个直角三角形全等的方法有哪些
判断直角三角形全等的方法：
特别注意,在用HL的时候,仅限于直角三角形全等.
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
D
2.如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
1.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是（ D）
A.AE＝DF B.∠A＝∠D
C.∠B＝∠C D.AB＝DC
D
2.如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ C ）
A.145° B.130°
C.110° D.70°
C
3.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的
延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】图中与△ABC全等的三角形有△BAD、△CDA、△DCB和△DCE.
D
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，PQ＝AB＝10，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP的长为 6或8 .
6或8
5.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
（1）求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数.
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
判定定理
直角三角形
全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）
在直角三角形中
前提条件
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）第一章 三角形的证明及其应用
1.3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
教学设计
课题 第2课时 直角三角形全等的判定 授课人
教学目标 1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用. 2.会利用基本作图完成:已知一直角边和斜边作直角三角形. 3.初步养成综合运用知识解决问题的能力,进一步提高推理能力.
教学重点 探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明以及简单的应用.
教学难点 会运用直角三角形全等的判定定理解决综合性问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 如果已知在两个三角形中两边对应相等时， 附加一个什么条件可以说明这两个三角形全等？ 两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等． 如果其中一边的对角对应相等时，它们还全等吗？ 如果其中一组等边的对角是直角，它们还全等吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 用HL判定两个直角三角形全等 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c. 小明的作法如下： 1.作射线CN. 2.作∠MCN =∠α= 90°. 3.在射线CM上截取CB=a. 4.以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线CN于点 A. 5.连接AB，得到Rt△ABC. △ABC就是所要作的直角三角形. 文字语言： 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 知识点2 用其他方法证明两个直角三角形全等 →尝试利用所学知识证明该定理 已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴BC2=AB2–AC2（勾股定理）. 同理，B′C′2 =A′B′2–A′C′2. ∵AB =A′B′，AC =A′C′，∴BC=B′C′. ∴△ABC ≌△A′B′C′（SSS）. （链接例1、例2） 现在请同学们思考,证明两个直角三角形全等的方法有哪些 判断直角三角形全等的方法 特别注意,在用HL的时候,仅限于直角三角形全等. （链接针对练习） 通过猜想与证明,学生能够熟练掌握直角三角形全等的判定方法.通过总结归纳,学生能灵活掌握直角三角形全等的所有判定方法.
典例精析 【例1（教材P26例题）】 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系 【解】根据题意，可知 ∠BAC=∠EDF=90°， BC=EF,AC=DF, ∴Rt△BAC ≌ Rt△EDF (HL). ∴∠CBA=∠DEF（全等三角形的对应角相等）. ∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠CBA+∠EFD=90°. 【例2】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 【证明】∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 【针对练习】1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 【证明】∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， AB=BA,AC=BD . ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. 通过运用直角三角形全等的判定方法证明,感受数学知识之间的联系性和整体性,并初步掌握直角三角形的判定方法.
随堂检测 1.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是（ D ） A.AE＝DF B.∠A＝∠D C.∠B＝∠C D.AB＝DC 2.如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ C ） A.145° B.130° C.110° D.70° 3.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的 延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】图中与△ABC全等的三角形有△BAD、△CDA、△DCB和△DCE. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，PQ＝AB＝10，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP的长为 6或8 . 5.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. （1）求证： Rt△ABE≌Rt△CBF. （2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数. 【证明】（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． （2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°. ∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°， 由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 直角三角形全等的判定 1 用HL判定两个直角三角形全等 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 2 用其他方法证明两个直角三角形全等
教学反思
