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1.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
1. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
2. 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）
为了方便居民的生活，政府计划在三个住宅小区A、B、C之间新建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
作线段AB的中垂线MN，垂足为C;在MN上任取一点P，连接PA，PB；
量一量 PA，PB 的长，你能发现什么？
A
B
M
N
C
P
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
PA=PB
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.
证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PBC（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
N
M
B
A
P
C
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
条件：点到线段两端点距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
A
B
C
P
证明一：过点P作已知线段 AB 的垂线 PC，PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线.
∵AP = BP，PC = PC. AC = CB，
∴△APC ≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA +∠PCB = 180°，
∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB.
∴ 点P 在 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
A
B
C
O
证明：∵ AB = AC.
∴ 点A在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
D
2. 如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______.
A
B
C
D
E
8
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
C
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
B
A
D
E
C
C
3.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4，
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC.
性质
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离都相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
判定第一章 三角形的证明及其应用
1.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
教学设计
课题 第1课时 线段的垂直平分线 授课人
教学目标 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
教学重点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
教学难点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 为了方便居民的生活，政府计划在三个住宅小区A、B、C之间新建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 线段垂直平分线的性质 作线段AB的中垂线MN，垂足为C;在MN上任取一点P，连接PA，PB； 量一量 PA，PB 的长，你能发现什么？ PA=PB 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PBC（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP. 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 知识点2 线段垂直平分线的判定 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 条件：点到线段两端点距离相等； 结论：点在线段垂直平分线上． 表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明一：过点P作已知线段 AB 的垂线 PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线. ∵AP = BP，PC = PC. AC = CB， ∴△APC ≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. ∴ 点P 在 AB 的垂直平分线上. （链接例1、针对练习） 将问题转化为证明三角形全等的方法，体会转化的数学思想，感受新知与旧知之间的联系.引导学生对比两种证明方法，体会线段垂直平分线判定定理的作用.
典例精析 【例1（教材P29例题）】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 【证明】∵ AB = AC. ∴ 点A在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 【针对练习】1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D ) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2. 如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 8 . 通过例题和练习培养学生综合应用知识解决问题的能力.
随堂检测 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( C ) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ C ） A．80° B．70° C．60° D．50° 3.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC. 【证明】∵∠1=∠2,∠3=∠4， ∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4. 即∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC. ∴A与E都在线段BC的垂直平分线上. ∴AD垂直平分BC. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.本节课你收获了哪些数学思想方法？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 线段的垂直平分线 1 线段垂直平分线的性质 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2 线段垂直平分线的判定 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
教学反思
