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1.4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
1. 能够利用尺规作出等腰三角形及过直线外一点作已知直线的垂线.（重点）
2. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.（难点）
A
B
C
D
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
问题1 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？
A B
h
A B
1.先画直线 AB，再作与 AB 平行且距离为 h 的两条直线 l1、l2（分别在 AB 两侧）。
h
h
l1
l2
2.在 l1 或 l2 上任取一点 C（C 不与 AB 共线），连接 AC、BC，则 △ABC 满足“边 AB 及 AB 边上的高为 h”。
由于 l1、l2 上有无数个点，因此这样的三角形有无数个。
C
C1
C2
问题2 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流。
h
如图，已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h。
a
1.作线段BC，使BC=a。
B C
D
B
C
l
2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。
4.连接AB，AC。
3.在l上作线段DA，使DA=h。
D
B
C
l
A
△ABC就是所要作的等腰三角形。
如图，已知直线 l 和 l 外一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点P。
还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。
l
P
.
1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁。
l
P
.
Q
.
2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B。
3.作线段AB的垂直平分线m。
直线m就是所要作的直线。
A B
m
例1 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
C
A
B
P
已知：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即 边AC的垂直平分线经过点P.
C
A
B
P
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
1.下列说法错误的是 ( )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点
B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
D
2.已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为( )
①PA=PB=PC.
②点P在AC的垂直平分线上.
③∠BPC=90°+∠BAC.
④∠BAP=∠CAP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
1.如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若BD=4，AD=3且∠B=45°，则AC的长为______.
5
2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=5，BC=4，则△BCD的周长=_____.
C
A
B
D
E
9
3.如图，AB比AC长2 cm，DE垂直平分BC，△ACD周长为14 cm，则AB=_______，AC=_______.
A
B
C
D
E
6cm
8cm
4.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.
A
B
C
E
F
解：相等线段：EA=EB，FA=FC；
由题可知，EA=EB，FA=FC
∵BC=2，
∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+FC=BC=2.
∴△AEF的周长为2.
定理
三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
尺规作图
1.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
2.过直线外一点作已知直线的垂线第一章 三角形的证明及其应用
1.4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
教学设计
课题 第2课时 三角形三边的垂直平分线 授课人
教学目标 已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线. 2.通过作图探究三角形三边垂直平分线的交点性质，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力.引导学生通过作图、观察、归纳等方式，得出结论，并指出其在后续学习中的应用，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
教学重点 利用直尺和圆规作已知直线的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.
教学难点 能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.线段的垂直平分线的作法. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 与线段垂直平分线有关的尺规作图 问题1 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？ 1.先画直线 AB，再作与 AB 平行且距离为 h 的两条直线 l1、l2（分别在 AB 两侧）. 2.在 l1 或 l2 上任取一点 C（C 不与 AB 共线），连接 AC、BC，则 △ABC 满足“边 AB 及 AB 边上的高为 h”. 由于 l1、l2 上有无数个点，因此这样的三角形有无数个. 问题2 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流. 如图，已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. 1.作线段BC，使BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. 3.在l上作线段DA，使DA=h. 4.连接AB，AC. △ABC就是所要作的等腰三角形. 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流. 如图，已知直线 l 和 l 外一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. 1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B. 3.作线段AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 知识点2 三角形三边的垂直平分线 （链接例1） 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部 ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部 （链接针对练习） 引导学生体会每一步作图步骤的作用以及理论依据，提升团队协作解决问题的能力.感受过直线上一点以及过直线外一点作已知直线的垂直平分线的作法，再次深刻理解作图依据.引导学生探究三角形垂直平分线的性质和特点，特别是三条垂直平分线的交点位置与三角形类型的关系.
典例精析 【例1（教材P32例题）】 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. 【证明】∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 即 边AC的垂直平分线经过点P. 【针对练习】1.下列说法错误的是 ( D ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 2.已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为( B ) ①PA=PB=PC. ②点P在AC的垂直平分线上. ③∠BPC=90°+∠BAC. ④∠BAP=∠CAP. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 通过讲解和讨论，帮助学生掌握解题思路和技巧，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力.
随堂检测 1.如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若BD=4，AD=3且∠B=45°，则AC的长为 5 . 2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=5，BC=4，则△BCD的周长= 9 . 3.如图，AB比AC长2 cm，DE垂直平分BC，△ACD周长为14 cm，则AB= 8cm ，AC= 6cm . 4.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长. 【解】相等线段：EA=EB，FA=FC； 由题可知，EA=EB，FA=FC ∵BC=2， ∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+FC=BC=2. ∴△AEF的周长为2. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 学生总结本节课的知识点. 分享本节课的收获和疑惑，与教师和其他同学进行互动交流. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 三角形三边的垂直平分线 1 与线段垂直平分线有关的尺规作图 2 三角形三边的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
教学反思
