第一章 三角形的证明及其应用
1.5 角平分线
第1课时 角平分线
教学设计
课题 第1课时 角平分线 授课人
教学目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：学生能识别并理解现实世界中角平分线的实例，认识到角平分线在几何图形和实际应用中的存在和意义. 2.会用数学的思维思考现实世界：学生能运用角平分线的性质和判定定理，对几何问题进行逻辑推理，形成清晰的解题思路，并尝试解决与角平分线相关的实际问题. 3.会用数学的语言表达现实世界：学生能准确使用数学符号和语言描述角平分线的定义、性质定理和判定定理，能够清晰地表达自己对角平分线相关问题的理解和解决过程.
教学重点 角平分线的性质与判定定理.
教学难点 运用角平分线定理进行逻辑推理和问题解决.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线. 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这一性质，并与同伴交流. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）. ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 书写格式： 如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB, ∴PD＝PE. 定理应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. （链接例1） 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 知识点2 角平分线的判定 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E， ∴∠ODP=∠OEP=90°， ∵PD = PE，OP = OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）. ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）. ∴OP平分∠AOB. 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上. （链接例2、针对练习） 通过具体的图形和已知条件，引导学生探究角平分线的性质定理和判定定理.通过证明过程，培养学生的逻辑推理能力和证明技巧，同时加深对角平分线性质的理解.通过讨论角平分线的判定条件，帮助学生形成完整的知识体系.
典例精析 【例1】 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D. 下列结论中错误的是（ D ） A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO 【例2（教材P37例题）】已知：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 【解】∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC =60°， ∴∠BAD =30°. ∴在 Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10， ∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 【针对练习】1. 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE= 4 cm. 通过典型的例题，引导学生将所学的角平分线性质定理和判定定理应用到实际问题中，培养学生的解题能力和知识运用能力.
随堂检测 1. 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，给出下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； ③点P在∠BCD的平分线上； ④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线上. 其中正确的是( A ) A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 2.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( A ) A．2 B．3 C. D．4 3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( A ) A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=2,若△ABD的面积为5,求AB的长. 解：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC, ∴DE=DC=2. ∵△ABD的面积为5， ∴ AB DE=5, 即 ×2AB=5，解得AB=5. ∴AB的长为5. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 谈谈你对角平分线的认识. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 角平分线 1 角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2 角平分线的判定 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
教学反思(共17张PPT)
1.5 角平分线
第1课时 角平分线
1. 会叙述角平分线的性质及判定；（重点）
2. 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理及逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.（难点）
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴PD＝PE.
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
例1 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D. 下列结论中错误的是（ ）
A.PC = PD
B.OC = OD
C.∠CPO =∠DPO
D.OC = PO
D
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
B
A
D
O
P
E
1
2
证明：
∴OP平分∠AOB.
∵PD = PE，OP = OP，
∵PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E，
∴∠ODP=∠OEP=90°，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.
B
A
D
O
P
E
1
2
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
例2 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC =60°，
∴∠BAD =30°.
∴在 Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1. 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
1. 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，给出下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线上.
其中正确的是( )
A.①②③④
B.①②③
C.④
D.②③
A
2.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A．2 B．3 C. D．4
A
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1∠2
C．∠1∠2 D．无法确定
A
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=2,若△ABD的面积为5,求AB的长.
解：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC,
∴DE=DC=2.
∵△ABD的面积为5，
∴ AB DE=5,
即 ×2AB=5，解得AB=5.
∴AB的长为5.
性质
角平分线
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
判定
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
