第一章 三角形的证明及其应用
1.5 角平分线
第2课时 三角形的角平分线
教学设计
课题 第2课时 三角形的角平分线 授课人
教学目标 1.会用数学的眼光观察现实世界:学生能识别并关注现实生活中的角平分线现象，理解其在几何图形中的表示和应用，从而发现数学与生活的联系. 2.会用数学的思维思考现实世界:学生能运用角平分线的性质定理和判定定理，对几何问题进行逻辑分析和推理，形成解决问题的思路和策略. 3.会用数学的语言表达现实世界:学生能准确使用数学语言（如图形、符号、公式等）描述角平分线的定义、性质定理和判定定理，以及它们在解决实际问题中的应用过程.
教学重点 三角形三个内角的平分线的性质.
教学难点 灵活运用角平分线的性质定理和逆定理，正确添加辅助线解决较复杂的几何问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 三条笔直的公路围成一个三角形区域，现在计划在这个区域内修建一个仓库P，使P到三条公路的距离都相等,你能在三角形区域内标出仓库P的位置吗 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 三角形角平分线的性质与判定 （链接例1） 知识点2 三角形三个内角的角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等． 怎样证明这个结论呢 要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ （链接例2） 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. （链接针对练习） 通过动手作出角平分线和观察思考，培养学生的动手能力和观察能力.证明活动的设置，旨在锻炼学生的逻辑推理能力，加深对三角形内心性质的理解.拓展问题的提出，进一步拓宽学生的思维视野.
典例精析 【例1（教材P38例题）】 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 【解】（1）∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC（等边对等角）. ∵∠C=90°, ∴∠B= ×90°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形BDE中， BD=cm.（勾股定理） ∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等）. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 【例2（教材P38例题）】求证:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知:如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证:∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. 【证明】∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， PD⊥AB， PE⊥BC,垂足分别为D,E. ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理，PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上）. 即 ∠A的平分线经过点P. 【针对练习】1.如图，为促进旅游业发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ B ） A.△ABC三条高线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处 D.△ABC三条垂直平分线的交点处 2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140° 通过剖析例题，帮助学生将所学知识应用于实际问题中，实现知识的内化.自主解答与听讲解相结合的方式，有助于学生发现自己的不足，及时更正和完善，促进知识的深入掌握.
随堂检测 1.已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， AD交BC于D点，DE⊥AB于E，且DE=DC,则∠CAD = 25° . 2.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，其三条内角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB，S△OBC，S△OAC之比为 2∶3∶4 . 3.某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明灯P，使它到绿地各边的距离相等.请你在图中画出安装照明灯P的位置. 【解】如图，点P就是安装照明灯的位置. 4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，求∠AOC的度数. 【解】∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等， ∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB. ∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA. ∵∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠OAC＋∠OCA＝（∠BAC＋∠ACB）＝45°. ∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA）＝135°. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 引导学生总结知识点：在本节课的学习中，你有哪些收获和我们分享？还有哪些疑惑？ 归纳总结： 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 三角形的角平分线 1 三角形角平分线的性质与判定 2 三角形三个内角的角平分线 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．
教学反思(共19张PPT)
1.5 角平分线
第2课时 三角形的角平分线
1. 能应用角平分线的性质定理和判定定理今昔计算和证明,解决一些简单的实际问题.（重点）
2. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.（难点）
三条笔直的公路围成一个三角形区域，现在计划在这个区域内修建一个仓库P，使P到三条公路的距离都相等,你能在三角形区域内标出仓库P的位置吗
例1 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵∠C=90°,
∴∠B= ×90°=45°.
∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中，
BD=cm.（勾股定理）
E
D
A
B
C
∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
E
D
A
B
C
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．
怎样证明这个结论呢
要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2 求证:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知:如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证:∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC,垂足分别为D,E.
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上）.
即 ∠A的平分线经过点P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
1.如图，为促进旅游业发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ ）
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三条垂直平分线的交点处
B
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
1.已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， AD交BC于D点，DE⊥AB于E，且DE=DC,则∠CAD =________.
A
C
B
D
E
25°
2.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，其三条内角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB，S△OBC，S△OAC之比为 2∶3∶4 .
2∶3∶4
3.某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明灯P，使它到绿地各边的距离相等.请你在图中画出安装照明灯P的位置.
解：如图，点P就是安装照明灯的位置.
4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，求∠AOC的度数.
解：∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB.
∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA.
∵∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°，
∴∠OAC＋∠OCA＝（∠BAC＋∠ACB）＝45°.
∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA）＝135°.
性质
三角形三个内角的平分线
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
用途
可以用来选取到三条直线距离相等的点
判定
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
