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2.3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式
与一次函数的关系
1. 会利用函数图象解一元一次不等式；（重点）
2. 了解一元一次不等式与一次函数的关系.（难点）
上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法.
利用一次函数的图象解一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0).
解：列表
x … …
y=2x-5 … …
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
1.作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：
(1)x取什么值时，2x-5=0？
(2)x取哪些值时, 2x-5>0？
(3)x取哪些值时, 2x-5<0
(4)x取哪些值时, 2x-5>3
0
-5
2.5
0
探究一：一元一次不等式与一次函数
O
观察图象回答下列问题：
(1)x取什么值时，2x-5=0.
∴ 当x=2.5时， 2x-5=0.
分析：
y=0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5，0)
此时x=2.5
O
观察图象回答下列问题：
(2)x取哪些值时，2x-5>0.
∴ 当x>2.5时，2x-5>0.
分析：
y>0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
2x-5>0
(2.5，0)
O
观察图象回答下列问题：
(3)x取哪些值时，2x-5<0 .
∴ 当x<2.5时， 2x-5<0.
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5，0)
分析：
y<0
O
观察图象回答下列问题：
(4)x取哪些值时，2x-5>1 .
∴ 当x>3时， 2x-5>1 .
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
分析：
y＞1
通过对图象的观察、分析，我们可以运用函数图象解不等式.
O
如果y=-2x-5，那么当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＜1？你是怎样求解的？
方法一：
解：作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得：
当x＞-2.5时，y＜0；
当x＞-3时，y＜1.
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
(-2.5，0)
有没有其他解法
O
方法二：
解：解不等式-2x-5＜0
移项、合并同类项，得 -2x＜6
移项，得 -2x＜5
如果y=-2x-5，那么当x取何值时，y＜0？当x取何值时， y＜1？你是怎样求解的？
解不等式-2x-5＜1
两边同时除以-2，得 x＞-2.5
两边同时除以-2，得 x＞-3
∴当x＞-2.5时，y＜0；当x ＞-3时，y＜1
1.转化思想
一次函数问题
一元一次不等式(方程)问题
转化
2.求函数问题的方法
(1)图象法：
画函数图象解决函数问题；
(2)列式法：
列不等式(方程)求解集解决函数问题.
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
函数y=ax+b的函数值大于0
（或小于0）时x的取值范围
直线y=ax+b在x轴上方或
下方时自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
-2
x
y=3x+6
y
1.根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集.
(1)3x+6>0
(3) –x+3≥0
x
y
3
y=-x+3
(2)3x+6≤0
x>-2
(4) –x+3<0
x≤3
x≤-2
x>3
(即y>0)
(即y≤0)
(即y<0)
(即y≥0)
-1
-2
-3
-1
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
（2，1）
(1)当x取何值时，y1 ＜y2
(2)当x取何值时，y1 ＞y2
解：观察图象可得：
当x＞2时，y1 ＜y2
当x＜2时，y1 ＞y2
方法一：
1.两个一次函数的图象如图所示：
也可以将函数问题转化为不等式求解集来解决.
方法二：
探究二：两个一元一次不等式与两个一次函数
O
平面直角坐标系中，两条直线相交时，
交点处，两函数值相等；
交点两侧，上方图象所对应的函数值大于下方图象所对应的函数值.
-1
-2
-3
-1
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
（2，1）
O
例1 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
你是怎样求解的？与同伴交流.
解：设哥哥跑的时间为x秒.哥哥跑过的距离为y1(m)，弟弟跑过的距离为y2(m)，根据题意，得y1=4x，y2=3x+9，画出图象，如图所示.
从图象上来看：
9s时哥哥追上弟弟；
y1=4x
y2=3x+9
O
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
(9,36)
9
(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m，______先跑过100m.
解法1 图象法：
0x>9
y1=4x
y2=3x+9
O
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
(9,36)
9
解法2：代数法
哥哥y1=4x 弟弟 y2=3x+9
（1）4x<3x+9时，弟弟跑在哥哥前面， 即0（2）4x>3x+9时，哥哥跑在弟弟前面， 即x>9
（3）4x=20，x=5 ；3x+9=20，x=
∴弟弟先跑过20m；
4x=100，x=25 ；3x+9=100， x=
∴哥哥先跑过100m。
利用图象法解不等式步骤：
（1）作出不等式左、右两边所对应的两个一次函数的图象.
（2）确定两个一次函数图象的交点坐标.
（3）找出哪段函数图象在上方，哪段函数在下方，从而确定自变量的取值范围.
1.如图，一次函数y＝kx＋b的图象过点（－1，0），则不等式kx＋b＞0的解集是（ A ）
A.x＞－1 B.x＞0
C.x＞1 D.x＞2
A
2.已知一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表，则不等式kx＋b＜0的解集是（ A ）
A.x＞1 B.x＜1
C.x＜2 D.x＞－2
x －2 －1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 －1 －2
A
3.一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，点A（－1，4）在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为（ B ）
A.x≥－1 B.x＜－1
C.x≤－1 D.x＞－1
4.已知y1＝2x－5，y2＝－2x＋3，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A.x＞2 B.x＜2
C.x＞－2 D.x＜－2
B
B
5.如图，直线y1＝x＋b与直线y2＝kx＋6交于点 P（3，5），则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集为（ B ）
A.x＜3 B.x＞3
C.x＜－3 D.x＞－3
B
6.如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3）.
（1）求m，a的值；
解：（1）把点A（m，3）代入y＝2x，得2m＝3，
解得m＝，
∴点A的坐标为（，3）.
∵函数y＝ax＋4的图象经过点A，
∴a＋4＝3，解得a＝－.
6.如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3）.
（2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax＋4的解集.
解：（2）由图象，得不等式2x＞ax＋4的解集为x＞.
转化思想
一元一次不等式与一次函数的关系
一次函数问题转化为一元一次不等式问题
(1)图象法：画函数图象解决函数问题；
(2)列式法：列不等式(方程)求解集解决函数问题.
求函数问题的方法第二章 不等式与不等式组
2.3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
教学设计
课题 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 授课人
教学目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：学生能够通过观察一次函数图象，识别出一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，发现它们在实际问题中的共同表现. 2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够通过分析具体问题，初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集之间的联系，学会用数学的逻辑和规律去思考现实世界中的不等关系. 3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够用数学的语言准确描述不等式、方程、函数之间的不同作用与内在联系，能够用数学符号和表达式来表达现实世界中的一元一次不等式问题和一次函数的变化规律.
教学重点 理解一元一次不等式与一次函数图象的联系，用图象解不等式.
教学难点 将抽象不等式转化为直观图象，准确判断不等式解集.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法. 利用一次函数的图象解一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0). 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 利用一次函数图象解一元一次不等式 探究一：一元一次不等式与一次函数 1.作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题： (1)x取什么值时，2x-5=0？ (2)x取哪些值时, 2x-5>0？ (3)x取哪些值时, 2x-5<0 (4)x取哪些值时, 2x-5>3 解：列表 (1)分析：2x-5=0 → y=0 此时x=2.5 ∴ 当x=2.5时， 2x-5=0. (2)分析：2x-5>0 → y>0 ∴ 当x>2.5时，2x-5>0. (3)分析：2x-5<0 → y<0 ∴ 当x<2.5时， 2x-5<0. (4)分析：2x-5>1 → y>1 ∴ 当x>3时， 2x-5>1 . 通过对图象的观察、分析，我们可以运用函数图象解不等式. 如果y=-2x-5，那么当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＜1？你是怎样求解的？ 方法一：解：作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得： 当x＞-2.5时，y＜0； 当x＞-3时，y＜1. 有没有其他解法 方法二： 解：解不等式-2x-5＜0 移项，得 -2x＜5 两边同时除以-2，得 x＞-2.5 解不等式-2x-5＜1 移项、合并同类项，得 -2x＜6 两边同时除以-2，得 x＞-3 ∴当x＞-2.5时，y＜0；当x ＞-3时，y＜1 1.转化思想 一次函数问题一元一次不等式(方程)问题 2.求函数问题的方法 (1)图象法：画函数图象解决函数问题； (2)列式法：列不等式(方程)求解集解决函数问题. 从数的角度看 从形的角度看 (链接针对练习1） 探究二：两个一元一次不等式与两个一次函数 1.两个一次函数的图象如图所示： (1)当x取何值时，y1 ＜y2 (2)当x取何值时，y1 ＞y2 方法一：解：观察图象可得： 当x＞2时，y1 ＜y2 当x＜2时，y1 ＞y2 方法二：也可以将函数问题转化为不等式求解集来解决. 平面直角坐标系中，两条直线相交时，交点处，两函数值相等； 交点两侧，上方图象所对应的函数值大于下方图象所对应的函数值. 知识点2 利用一次函数图象解决实际问题中的不等问题 （链接例1） 利用图象法解不等式步骤： （1）作出不等式左、右两边所对应的两个一次函数的图象. （2）确定两个一次函数图象的交点坐标. （3）找出哪段函数图象在上方，哪段函数在下方，从而确定自变量的取值范围. 通过展示一次函数图像，引导学生观察、思考和回答问题，培养学生的观察力和思维能力.通过将函数问题转化为不等式问题，让学生体会数学中的转化思想，拓展学生的思维视野.同时，通过总结数学转化思想，加深学生对数学方法的理解和运用.
典例精析 【针对练习】1.根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集. (1)3x+6>0(即y>0)； (3) –x+3≥0(即y≥0) x>-2 x≤3 (2)3x+6≤0(即y≤0) (4) –x+3<0(即y<0) x≤-2 x>3 【例1（教材P61例题）】 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ 你是怎样求解的？与同伴交流. 【解】设哥哥跑的时间为x秒.哥哥跑过的距离为y1(m)，弟弟跑过的距离为y2(m)，根据题意，得y1=4x，y2=3x+9，画出图象，如图所示. 从图象上来看： 9s时哥哥追上弟弟； 解法1：图象法 (1) 09 时,哥哥跑在弟弟前面. (3) 弟弟 先跑过20m， 哥哥 先跑过100m. 解法2：代数法 哥哥y1=4x 弟弟 y2=3x+9 （1）4x<3x+9时，弟弟跑在哥哥前面， 即03x+9时，哥哥跑在弟弟前面， 即x>9 （3）4x=20，x=5 ；3x+9=20，x= ∴弟弟先跑过20m； 4x=100，x=25 ；3x+9=100， x= ∴哥哥先跑过100m. 通过例题剖析，让学生将所学知识应用到实际问题中，加深对知识的理解和掌握.通过小组合作交流，培养学生的合作意识和沟通能力.通过解法1和解法2的展示，让学生体会不同解题方法的优劣，培养学生的解题策略和思维灵活性.
随堂检测 1.如图，一次函数y＝kx＋b的图象过点（－1，0），则不等式kx＋b＞0的解集是（ A ） A.x＞－1 B.x＞0 C.x＞1 D.x＞2 2.已知一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表，则不等式kx＋b＜0的解集是（ A ） A.x＞1 B.x＜1 C.x＜2 D.x＞－2 3.一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，点A（－1，4）在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为（ B ） A.x≥－1 B.x＜－1 C.x≤－1 D.x＞－1 4.已知y1＝2x－5，y2＝－2x＋3，若y1＜y2，则x的取值范围是（ B ） A.x＞2 B.x＜2 C.x＞－2 D.x＜－2 5.5.如图，直线y1＝x＋b与直线y2＝kx＋6交于点 P（3，5），则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集为（ B ） A.x＜3 B.x＞3 C.x＜－3 D.x＞－3 6.如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3）. （1）求m，a的值； （2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax＋4的解集. 【解】（1）把点A（m，3）代入y＝2x，得2m＝3， 解得m＝， ∴点A的坐标为（，3）. ∵函数y＝ax＋4的图象经过点A， ∴a＋4＝3，解得a＝－. （2）由图象，得不等式2x＞ax＋4的解集为x＞. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 通过今天的学习，大家有哪些心得想要分享？还有没有哪些不明白的地方？ 总结梳理： 一次函数问题 一次不等式（方程）问题 数学思想：分类、转化、类比、数形结合. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 1 利用一次函数图象解一元一次不等式 1.转化思想 一次函数问题一元一次不等式(方程)问题 2.求函数问题的方法 (1)图象法：画函数图象解决函数问题； (2)列式法：列不等式(方程)求解集解决函数问题. 2 利用一次函数图象解决实际问题中的不等问题
教学反思
