2025-2026学年上海大同中学高三上学期数学周练及试卷（含答案）

大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学周练
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则 ．
2．直线与直线的夹角大小为 ．
3、3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有 种．
4．若，，与的夹角是钝角，那么实数的取值范围是 ．
5．设，若，则 ．
6．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 ．
7．若函数，在上单调递增，则的取值范围是 ．
8．在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为 ．
9．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为 ．
10．已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则函数在区间上的零点个数是 ．
11．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为 ．
12．已知，集合
（其中为虚数单位），若，，且满足，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
14．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ）
A．至少有2个红球 B．至多1个红球 C．至少有2个黄球 D．都是黄球
15．若向量，满足，则向量，一定满足的关系为（ ）
A． B．存在实数，，使得
C．存在实数，使得 D．
16．设，是定义在上的两个函数，若任意，，，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则也一定是奇函数
B．若是偶函数，则也一定是偶函数
C．若是周期函数，则也一定是周期函数
D．若是上的增函数，则在上一定是减函数
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形．
（1）证明：平面；
（2），求二面角的余弦值．
18．在中，角，，的对边分别为，，且，．
（1）求；
（2）求边上中线长的取值范围．
19．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项．
（1）求和的通项公式；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
20．已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．
（1）求双曲线的焦距和离心率；
（2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
21．已知，，对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数是“关联”的．
（1）若，判断函数是否是“关联”的？是否是“关联”的？
（2）若函数是“关联”的，且在时，，求不等式的解集；
（3）证明：“函数是‘关联的’，且是关联，的”的充要条件是“函数是‘关联’的”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】根据题意，三点共线，三点共线.
而，且由知，故．
所以，故可设．
由于
，故．从而，，
故．而，
结合余弦定理得.
故，解得，所以
12．已知，集合
（其中为虚数单位），若，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】集合表示以为圆心，半径为1的圆，
集合表示以为顶点的正方形区域，
集合表示将圆沿着正方形的区域平移所得到的区域，
集合表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆．
∵的取值范围是集合中所有复数模的取值范围，如图，
过原点作边界线垂线，垂足对应复数的模取最小值
连接原点和点并延长交圆于一点，
该点对应的复数的模取最大值，故实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13.C 14.D 15.B 16.C
15．若向量，满足，则向量，一定满足的关系为（ ）
A． B．存在实数，，使得
C．存在实数，使得 D．
【答案】B
【解析】
∴不一定成立；
时，不成立；时，不成立．故选：B．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．
（1）求双曲线的焦距和离心率；
（2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定直线是
【解析】（1），所以焦距，离心率；
（2）设直线的方程为，即，与
联立得，
判别式
设，则，
可得，此时，
面积,解得（舍）或；
（3）证明：点共线，可得，
同理，由为中点，可得，
即
韦达定理代入，可得
即，所以在定直线上.
21．已知，，对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数是“关联”的．
（1）若，判断函数是否是“关联”的？是否是“关联”的？
（2）若函数是“关联”的，且在时，，求不等式的解集；
（3）证明：“函数是‘关联的’，且是关联，的”的充要条件是“函数是‘关联’的”．
【答案】（1）是关联的，不是关联的． （2）
（3）证明见解析
【解析】（1）根据题意，若，任取，
则
故在关联；
令，则，此时，
故不是关联的．
综合可得：是关联的，不是关联的．
（2）根据题意，若是关联的，则对于任意，都有，
∴对于任意，都有，
∵时，，函数开口向上，对称轴为，
∴在的值域为，∵，
∴在的值域为，∴仅在或上有解，
∵当时，，令，解得；
当时，，令．解得．
∴的解集为：．
（3）证明：①若“函数是‘关联’的”，
则“函数是‘关联’的，且是‘关联’的”．
∵是关联，∴任取，都有成立，
即满足，都有
反证法证明：
若，则
与是关联的矛盾，
若，而是关联的，即，矛盾，
∴成立，即是关联的；
∵是关联的，∴（为常数），任取，
则，∴是在关联的．
∴函数是关联的，且是关联的，满足必要性；
②若“函数是‘关联’的，且是‘’关联’的”，
则“函数是‘关联’的”．
∵是关联的，
又∵是关联的，∴任取成立，
若，则，
即
∴是关联的，满足充分性；
∴“函数是‘关联’的，且是‘关联’的”的充要条件是“函数是‘关联’的”，命题得证．