2025-2026学年上海交附嘉定高三上学期数学周练试卷（含答案）

交附嘉定2025-2026学年第一学期高三年级数学周测6
一、填空题
1．已知全集，则 ．
2．直线的倾斜角为 ．
3．若正数满足，则的最小值为 ．
4．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 ．
5．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示）
6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是 ．
7．柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件＂取出的鞋不是同一双鞋＂的概率为 ．
8．已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 ．
9．已知，若的值域是，则实数的取值范围
是 ．
10．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ．
11．若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是 ．
12．已知重心为，过点作直线分别交边于点（均不与顶点重合），则的最小值为 ．
二、单选题
13．在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）.
A．平均数 B．众数 C．百分位数 D．标准差
14．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的＂心形线＂故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为（ ）.
A． B．
C． D．
15．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）.
A． B． C． D．
16．已知数列满足，有如下两个命题：
命题：＂是严格减数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有";
命题＂是严格增数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有＂．则下列说法中正确的是（ ）.
A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题
C．和都是真命题 D．和都是假命题
三、解答题
17．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点底面与底面所成的角为是的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明：平面，并求点到平面的距离．
18．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处。
（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；
（2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
19．在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
20．设椭圆的离心率是短轴长的倍，直线交于两点，是上异于的一点，是坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点，且，求的值；
（3）设直线的方程为，且，求的取值范围．
21．已知实数，且依次构成等差数列，对于曲线，若满足依次构成等差数列，则曲线为曲线.
（1）若，是曲线，求实数的值；
（2）已知曲线都是曲线，证明：是曲线；
（3）若为曲线，求的取值范围．
交付嘉定2025-2026学年第一学期高三年级数学周测6
一、填空题
1．已知全集，则 ．
【答案】
2．直线的倾斜角为 ．
【答案】
3．若正数满足，则的最小值为 ．
【答案】
4．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 ．
【答案】
5．已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】设该圆锥的底面半径和母线长分别为，所以表面积为，
侧面积为，所以，
所以圆锥的高为，故答案为：．
6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是 ．
【答案】
【解析】由题意知二项式的展开式共有6项，故，
则二项式的通项公式为，
令，故含的项的系数为，故答案为：
7．柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件＂取出的鞋不是同一双鞋＂的概率为 ．
【答案】
8．已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由直线过点，圆可知，圆心为，设点，
由题意可知，当点与点不重合时，，则，
整理得，即，
此时点的轨迹为圆拊不包括点．
当点与点重合时，其坐标满足方程．
综上，点的轨迹方程为．故答案为：
9．已知，若的值域是，则实数的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】函数的值域是，
由当时，，得，则，于是，
当时，，而，且，
因此，解得，则，
所以实数的取值范围是．故答案为：
10．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，
又因为，
所以在恒成立，所以或在恒成立，即有或在恒成立，
由，解得，由，解得，
综上所述实数的取值范围为．故答案为：
11．若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由可得，即,
令，则有两个实数根，
即有两个实数根，其中且，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，
由图可知，当时，方程有符合条件的两个实数根，故答案为：
12．已知重心为，过点作直线分别交边于点（均不与顶点重合），则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图：设．
由题意，．因为为的重心，所以．
又因为三点共线，所以．
又，所以，所以；同理．
因为，
如图，延长交于点，则点为边的中点，
故，则得，
所以
因为（当且仅当即时取等号，此时．
故得，即的最小值为．故答案为：
二、单选题
13．在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）.
A．平均数 B．众数 C．百分位数 D．标准差
【答案】D
14．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的＂心形线＂故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
15．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
16．已知数列满足，有如下两个命题：
命题：＂是严格减数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有";
命题＂是严格增数列＂的充要条件是＂存在使得对任意，都有＂．则下列说法中正确的是（ ）.
A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题
C．和都是真命题 D．和都是假命题
【答案】
【解析】因为数列满足，所以，
设函数，
所以当单调递增；当单调递减；,
单调递增；单调递减；，
所以是函数的切线；
由迭代思想可知是假命题，是真命题；所以时，是严格增数列，存在使得对任意，都有；
所时，是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意，都有；故选：B．
三、解答题
17．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点底面与底面所成的角为是的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明：平面，并求点到平面的距离．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由题意，两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形中，，所以，在Rt中，因为底面，
所以与底面所成的角为，所以，
则点的坐标分别是，是的中点，
则，于是．
设的夹角为，则有，故，
∴异面直线与所成角的大小是．
（2）连接，∵分别是的中点，∴，
∵平面平面，∴平面．
因为，设平面的法向量，
则，令，则，所以，
又，则点到平面的距离．
18．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处。
（1）根据条件具体写出关于的函数表达式；
（2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
【答案】（1） （2）有10分钟
【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，,最低点到地面距离为10m，所以，
又，则，所以所求表达式为；
（2），
取一个周期内，有．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
19．在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）在中，．
由及正弦定理得，，
整理得．
由于，则．又，故．
（2）如图1，在中，，
且，
由正弦定理得，，即，得．
由于，则与互补，故．
方法1：单变量法
设，则．
则
．当时，，所以取得最小值为．
方法2：四点共圆
如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径．
由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值．
当时，最小，此时，
故取得最小值为．
方法3：建系坐标法
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，
则，直线，直线．
设，则，直线．
联立方程，得，．
当时，，所以取得最小值为．
20．设椭圆的离心率是短轴长的倍，直线交于两点，是上异于的一点，是坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点，且，求的值；
（3）设直线的方程为，且，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得即
又，则，故椭圆的方程为．
（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点关于点对称，
又，则，由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形全等，则，
又，
化简整理得，，则.
（3）设，又，则，
由，
,
由韦达定理得，，
又，则，
因为点在椭圆上，所以，化简整理得，
此时，，
则
令，即，则，则的取值范围是．
21．已知实数，且依次构成等差数列，对于曲线，若满足依次构成等差数列，则曲线为曲线.
（1）若，是曲线，求实数的值；
（2）已知曲线都是曲线，证明：是曲线；
（3）若为曲线，求的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1），
因为，所以，
①不成立；
②不存在；
③；
④不成立.
解得．
（2），①,②
两式相乘得，解得，代入①，
得，则成立，是曲线.
（3）在上有解，
令，
①当时，，解得有零点；
②当时，，
由零点定理知，上存在使有零点；
③当时，若，则，
因为在上为严格减函数，在上为严格增函数，
所以无零点；
若，又，有，
得，
在上为严格增函数，
注意到，
由零点定理知，若有零点，则，解得，
又，故，
④当时，为严格增函数，，无零点；
综上，．