2025-2026学年上海市三中学高三上学期数学月考试卷（含答案）

市三中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知角满足，则________．
2．已知复数的共轭复数为，则________．
3．已知全集,，则________．
4．在等比数列中，，，则________．
5．若（且），则的值为________．
6．若函数在上严格减，则实数的取值范围是________．
7．点在函数的图象上，当，则的取值范围为________．
8．已知的外接圆圆心为，，则________．
9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________．
10．“支持向量机”是一种人工智能经典算法，在平面中，它的原理可解释为：平面中存在个点，，…，，若存在一条直线，使得这些点到直线的距离之和最大，则称为“最佳分割直线”，记为．已知，，，已知直线过坐标原点，若，则实数________．
11．某地某一楼房在地震时发生了严重倾斜（未塌陷），如图已知地震前，该楼房的在地面上的影子长度为30米，且在影子末端处测得楼顶的仰角为66°；地震后，在同样的时间（假设太阳位置不变）测得该楼房在地面上的影子长度为40米，则该楼房当前与地面所成的角的大小为________．（精确到0.1°）
12．已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与、、、恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．幂函数在上是严格增函数，且经过，则的值可能是（ ）.
A． B．3 C． D．
14．已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）.
A． B． C． D．
15．设，，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分你 C．充要 D．既非充分又非必要
16．函数，给定，规定，在下列命题中，判断正确的是：（ ）.
甲：对于任意，若，则必有；乙：存在实数，使得
A．甲乙均为真命题 B．甲为真命题，乙为假命题
C．甲为假命题，乙为真命题 D．甲乙均为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）．
如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．
（1）若弧的中点为，求证：平面；
（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥体积的最大值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某校近期举行了“新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分），按照，，…，，制作成如图所示的频率分布直方图，已知，成等差数列．
（1）求出，的值，并计算参赛得分在的学生人数；
（2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径，求这3人中恰有1人的得分在内的概率．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，．
（1）若，且在定义域内恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，若存在两个极值点，求实数的取值范围.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点，（在的左侧）．设直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数的定义域为，对任意，定义：．
（1）若，判断和是否是集合中的元素；
（2）若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.8; 9.; 10.； 11. 12.
12．已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与、、、恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为________．
【答案】
【解析】根据题意，分2种情况讨论：①正方形作为对角面时，有6个，
②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有6个，共有种取法．
故答案为：12．
二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.B
15．设，，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分你 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】由，得，即，充分性成立；
当时，满足，但，不满足，必要性不成立．
故＂＂是＂＂的充分不必要条件，选A．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）人 （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点，（在的左侧）．设直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值．
【答案】（1） （2）①② 证明见解析
【解析】（1）已知，动点满足
根据椭圆的定义，平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，其中两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距，
常数为.这里，则，即，所以.
根据椭圆中的关系，可得.
因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为。
（2）①设直线的方程为，）.
将直线的方程代入椭圆方程，可得：
展开并整理得：.
由韦达定理可得：
已知，则
将代入上式得：
将代入上式得：
又因为，所以，代入上式得：
，所以为定值-1.
②直线的方程为，直线的方程为.
联立，可得
因为，即，代入上式得：.
两边同时除以得：.
展开并整理得：，解得.所以点在轴上.
根据椭圆的定义，.又因为，
所以为定值2.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数的定义域为，对任意，定义：．
（1）若，判断和是否是集合中的元素；
（2）若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件．
【答案】（1）是，不是 （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）由已知，因为，所以．
取，则,
所以；
（2）因为，所以，对任意恒成立，所以，因式分解，得，
对任意恒成立，
①当时，，则－,
从而右式，所以1，即;
②当时，，则，
从而右式，此时不存在满足条件的实数，
综上所述，当时，；当时，不存在实数；
（3）证明：①若是上的减函数，
,
当时，，
又因为是上的减函数且所以，
所以，
所以，即充分性成立；
②若，则，
其中，
令，满足，不妨取，此时，
易发现，与是减函数矛盾，所以必要性不成立．