8.3.1完全平方公式 课件（共33张PPT）--沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共33张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
8.3.1完全平方公式
第8章 整式乘法与因式分解
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时 间： .
名师点金
完全平方公式 的特点：
1.左边是两个数（或式子）的和（或差）的平方；
2.右边是这两个数（或式子）的平方和,再加上（或减去）这
两个数（或式子）乘积的2倍,可简记为“首平方，尾平方，首
尾2倍在中央”.
. .
. .
观 察
完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
(a + b)2
a2
ab
ab
=
+
+
(a + b)2 = a2 + 2ab +（ ）
b2
a
b
a
b
(a － b)2
a2
=
－
+
(a － b)2 = a2 －（ ）+ b2
b2
2ab
例 1
利用乘法公式计算：
（1）(2x + y)2；
（2）(3a －2b)2.
解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2
( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
= 4x2 + 4xy + y2
运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么.
例 1
利用乘法公式计算：
（1）(2x + y)2；
（2）(3a －2b)2.
（2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2
( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2
= 9a2 －12ab + 4b2
例 2
利用乘法公式计算：(－m－2n)2 .
解 (－m－2n)2
= [－(m + 2n)]2
= (m + 2n)2
= m2 + 4mn + 4n2
解 (－m－2n)2
= (－m)2－2·(－m)·2n + (2n)2
= m2 + 4mn + 4n2
看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2
知识点1 完全平方公式的特征
1. 下列算式能用完全平方公式计算的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 若是关于的完全平方式，则
________.
或7
知识点2 完全平方公式的几何解释
3. （1）如图，分别在图①、图②的相应位置写出各部分的
面积；
（2）根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式.
由图①写出的等式是 ______________，由图②写
出的等式是 ______________.
知识点3 完全平方公式的应用
4. 计算 的结果为( )
C
A. B.
C. D.
5. 若，，则 ( )
C
A. B. C. D.
【点拨】因为，，所以 .
6. （1）已知，，则 ____；
（2）已知，，则
____；
（3）已知 ,则
___.
29
8
7. 运用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数
的和或差.
. .
. .
. .
8. [2025乐山] 先化简，再求值： ，其中
.
【解】 ，
当时，原式 .
易错点 对完全平方公式的特征理解不透而致错
9. 已知，，则 ___.
1
10. 将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式，
则下列不满足条件的整式是( )
D
A. B. C. D.
11. （1）若,则 ___;
2
【点拨】已知等式两边平方得 ,则
.
（2）设,,.若,,则
____.
【点拨】 .
12. 若,求
的值.
解：因为 ,所以
.所以， ，所以
,.所以 .
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若,则 的值为____；
【点拨】原等式可化为 ,所以
，.所以 .所以
.
（2）试说明：不论， 取什么值，多项式
的值总是正数；
【解】 .
因为, ,所以
.所以不论， 取什么值，多项式
的值总是正数.
（3）已知,,是不等边三角形 的三边长，满足
，且是三角形 的最大边长，则
的取值范围为 ______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________.
【点拨】因为
,所以
.所以
.所以， .所以
,.又因为三角形为不等边三角形且 是最大边
长,所以的取值范围为 .
13. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平
方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数
的平方和.
【验证】 如 ，10为偶数，请把10的
一半表示为两个正整数的平方和.
【解】10的一半为5， .
【探究】 设【发现】中的两个已知正整数为, ，请说明
【发现】中的结论正确.
.
故两个已知正整数， 的和与其差的平方和一定是偶数，且
该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
14. 两个边长分别为和 的正方形按如图①
所示的方式放置，其未叠合部分（阴影）的面积为 ，若再
在图①中大正方形的左下角摆放一个边长为 的小正方形
（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为 .#1
（1）用含,的代数式分别表示：________，
_______________；
（2）若，，求 的值；
【解】 .
因为， ，
所以 .
（3）当 时，求出图③中阴影部分的面积
（即 的值）.
由题图③可得
，
，
所以 .
因为
，所以 .
课堂小结
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍.