8.3.2平方差公式 课件（共34张PPT）--沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共34张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
8.3.2平方差公式
第8章 整式乘法与因式分解
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
名师点金
1.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个
二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边的
相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
2.公式中的字母, 可以是单项式，
也可以是多项式.
. .
. .
. .
3. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？
a－b
b
b
a－b
求下图中蓝色区域面积？
S = a2 － b2
= (a + b)(a－b)
a + b
例 3
利用乘法公式计算：
（1）(－x + 3)(－x－3)；
（2）1 999×2 001 .
解 （1）(－x + 3)(－x－3)
= (－x)2 －32
= x2 －9
（2）1 999×2 001
= (2 000－1)×(2 000 + 1)
= 2 0002－12
= 3 999 999
练 习
1. 利用乘法公式计算：
（1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2） .
解 （1）(2a + 5b)(2a－5b)
= (2a)2－(5b)2
= 4a2－25b2
（2）
（3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1).
（3）(y－2x)(－2x－y)
= (－2x + y)(－2x－y)
= (－2x)2－y2
= 4x2－y2
（4）(xy + 1)(xy－1)
= (xy)2－12
= x2y2－1
2. 利用乘法公式计算：
（1）598 × 602； （2）9992 .
解（1）598 × 602
= (600－2) × (600 + 2)
= 6002 － 22
= 359996
（2）9992
= (1000－1)2
= 10002－2×1000×1 + 12
= 998001
例 4
计算：
（1）(a + b + c)2 ；
（2）(a－b)3.
解（1）(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
例 4
计算：
（1）(a + b + c)2 ；
（2）(a－b)3.
（2）(a－b)3
= (a－b)(a－b)2
= (a－b)(a2－2ab + b2)
= a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3
= a3－3a2b + 3ab2－b3
例 5
利用乘法公式计算：(x + y + z)(x－y + z) .
解 (x + y + z)(x－y + z)
= [(x + z) + y][(x + z)－y]
= (x + z)2 －y2
= x2 +2xz + z2 －y2
1. 计算：
（1） ；
（2） .
解 （1）
（2）
1. 计算：
（1） ；
（2） .
（1） (2m + 3n)(2m－3n)；
2. 计算：
（2） ；
解（1） (2m + 3n)(2m－3n)
= (2m)2－(3n)2
= 4m2－9n2
（2）
（3）(－4x + y)(y + 4x)；
（4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) .
（3）(－4x + y)(y + 4x)
= (y－4x)(y + 4x)
= y2－(4x)2
= y2－16x2
（3）(－4x + y)(y + 4x)；
（4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) .
（4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z)
= x2 －y2 + y2－z2－(x2－z2)
= 0
3. 计算：
(a－2b－3)(a + 2b + 3) .
解 (a－2b－3)(a + 2b + 3)
= [a－(2b + 3)][a + (2b + 3)]
= a2－(2b + 3)2
= a2－(4b2 + 12b + 9)
= a2－4b2－ 12b－ 9
4. 先化简，再求值：
(5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y2)，其中 y = .
(5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y2)
= 25y2 －12－5y － 25y2
= －1－5y
= －1－5×
= －3
5. 解方程：
（1） ；
解
（2）(x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7 .
(x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7
x2－12－(x2 + 4x + 4) = 7
－4x = 7 + 5
x = －3
2(x + 4)(x－4) < (x－2)(2x + 5) .
6. 解不等式：
2(x2－16) < 2x2 + 5x －4x－10
2x2－32 < 2x2 + x－10
－32 + 10 < x
－22 < x
x >－22
（1）[( ) + ( )]2 = 4x2 + ( ) + 9y2；
7. 填空：
（2）[x + ( )][x + ( )] = x2 + ( ) + 6；
（3）x2 + 3x + ( ) = (x + )2 .
2x
3y
12xy
2
3
5x
8. 如果多项式 4x2 + 1 加上一个单项式后能成为一个
多项式的完全平方，那么这个单项式是什么？
解：(2x)2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
答：这个单项式是 ±4x 或4x4.
(2x)2－4x + 1 = (2x－1)2
4x4 + 4x2 + 1 = (2x2 + 1)2
9. 一个圆的半径为 r cm，若半径减少 2 cm，那么这个
圆的面积减少多少？
πr2－π(r－2)2
= π[(r2－(r2－4r + 4)]
= π(4r － 4)
= 4π(r － 1)
答：这个圆的面积减少4π(r － 1) cm2.
知识点1 应用平方差公式的条件
1. 下列式子中，和 相乘能用平方差公式进行计算的
是( )
A
A. B.
C. D.
2. [2025池州期末] 下列各式中不能用平方差公式计算的是
( )
B
A. B.
C. D.
知识点2 平方差公式的几何解释
3. 如图，将大正方形通过剪、拼后分解成新的图形，利用等
面积法可验证某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能
够验证平方差公式的是( )
C
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
知识点3 平方差公式的应用
4. 计算: ________.
5. 若,,则 的值为___.
2
6. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 8 C. D. 5
【点拨】因为,所以
所以 .所以
.
7. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
8. 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
原式 .
9. [2025湖南] 先化简，再求值： ，
其中 .
【解】
，
当时，原式 .
易错点 对平方差公式的特征理解不透而出错
10. 下列运算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
11. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的
平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如 ，
，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下
列结论中错误的是( )
D
A. 20是“完美数”
B. 最小的“完美数”是4
C. “完美数”一定是4的奇数倍
D. 小于30的所有“完美数”之和是60
课堂小结
平方差公式
(a + b)(a－b) = a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.