8.4.2.2分组分解法分解因式 课件（共33张PPT）--沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共33张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
8.4.2.2分组分解法分解因式
第8章 整式乘法与因式分解
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一般因式分解的题目通常需要先提取公因式，再应用公式
法进行因式分解.注意在提取“-”号时，多项式的各项都要变号.
把下列各式分解因式：
（1）x2 －y2 + ax + ay；
例 6
（2）a2 + 2ab + b2－c2 .
作为一组，可以用平方差公式分解因式 (x+y)(x－y)
作为另一组，提取公因式 a(x + y)
完全平方公式分解因式
把下列各式分解因式：
（1）x2 －y2 + ax + ay；
例 6
（2）a2 + 2ab + b2－c2 .
解（1）x2 －y2 + ax + ay
= (x2 －y2) + (ax + ay)
= (x + y)(x－y) + a(x + y)
= (x + y)(x－y + a)
（2）a2 + 2ab + b2－c2
= (a2 + 2ab + b2)－c2
= (a + b)2－c2
= (a + b + c)(a + b－c)
因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解.
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
完全平方公式
x2 + 4x + 4 －1
4－1
平方差公式
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
方法一 x2 + 4x + 3
= (x2 + 4x + 4)－1
= (x + 2)2－1
= (x + 2 + 1)(x + 2－1)
= (x + 3)(x + 1)
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
拆分成 3x + x
x2 + 3x + x + 3
提取公因式
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
方法二 x2 + 4x + 3
= x2 + 3x + x + 3
= x(x + 3) + (x + 3)
= (x + 3)(x + 1)
还有其他方法吗？
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
多项式乘法法则：
(x + a)(x + b) =
x2 + (a + b)x + ab
由等式性质可得：
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
(1 + 3)x
(1×3)
探 究
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
方法三 x2 + 4x + 3
= x2 + (1 + 3)x + 1×3
= (x + 3)(x + 1)
1. 把下列各式分解因式：
（1）ax－ay + az；
（2）6a2b－15ab2 + 30a2b2；
解（1）ax－ay + az
= a(x－y + z)
（2）6a2b－15ab2 + 30a2b2
= 3ab(2a－5b + 10ab)
（3）10a(x－y)2 － 5b(y－x)；
（3）10a(x－y)2 － 5b(y－x)
= 10a(y－x)2 － 5b(y－x)
= 5(y－x) [2a(y－x)－ b]
= 5(y－x)(2ay－2ax－ b)
或 10a(x－y)2 － 5b(y－x)
= 10a(x－y)2 + 5b(x－y)
= 5(x－y) [2a(x－y) + b]
= 5(x－y)(2ax－2ay + b)
（4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) .
（4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a)
= x(a－x)(a－y) － y(a－x)(a－y)
= (a－x)(a－y)(x－ y)
（4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) .
或 x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a)
= x(x－a)(y－a) － y(x－a)(y－a)
= (x－a)(y－a)(x－ y)
2. 简便运算：
（1）3.14×7.5 + 3.14×2.5；
（2）4.298×3.256 － 3.256×3.298；
解（1）3.14×7.5 + 3.14×2.5
= 3.14×(7.5 + 2.5)
= 31.4
2. 简便运算：
（1）3.14×7.5 + 3.14×2.5；
（2）4.298×3.256 － 3.256×3.298；
（2）4.298×3.256 － 3.256×3.298
= 3.256×(4.298 － 3.298)
= 3.256×1
= 3.256
（3）10042 － 9962；
（4）652 + 2×35×65 + 352 .
（3）10042 － 9962
= (1004 + 996)(1004 － 996)
= 2000 × 8
= 16000
（3）10042 － 9962；
（4）652 + 2×35×65 + 352 .
（4）652 + 2×35×65 + 352
= (65 + 35)2
= 1002
= 10000
3. 把下列各式分解因式：
（1）x2－6ax + 9a2； （2）4x2－100；
解（1）x2－6ax + 9a2
= x2－6ax + (3a)2
= (x－ 3a)2
（2）4x2－100
= (2x)2－102
= (2x + 10)(2x－10)
= 4(x + 5)(x－5)
3. 把下列各式分解因式：
（3）25m2－80m + 64； （4）0.49x2－144y2 .
（3）25m2－80m + 64
= (5m)2－80m + 82
= (5m－8)2
（4）0.49x2－144y2
= (0.7x)2－(12y)2
= (0.7x + 12y) (0.7x－12y)
4. 把下列各式分解因式：
（1）y4－y2； （2）3ax2－3ay2 ；
解 （1）y4－y2
= y2 · y2－y2
= y2(y2－1)
= y2(y + 1)(y－1)
（2）3ax2－3ay2
= 3a(x2－y2)
= 3a(x + y) (x－y)
（3）4x3－8x2 + 4x； （4）a2－2a(b + c) + (b + c)2 .
4. 把下列各式分解因式：
（3）4x3－8x2 + 4x
= 4x(x2－2x + 1)
= 4x(x－ 1)2
（4）a2－2a(b + c) + (b + c)2
= a2－2a(b + c) + (b + c)2
= [a－(b + c)]2
= (a－b － c)2
5. 如图，某串联电路中电流 I（单位：A）、电阻 R1，R2，
R3（单位：Ω）与电压 U（单位：V）有下列关系：
U = IR1 + IR2 + IR3. 当 R1 = 21.3 Ω，R2 = 42.5 Ω，
R3 = 16.2 Ω，I = 1.25 A 时，求 U.
解：U = IR1 + IR2 + IR3
= I(R1 + R2 + R3)
= 1.25×(21.3 + 42.5 + 16.2)
= 100（V）
6. 若 n 为整数，那么 n2－n 一定是偶数. 为什么？
n2－n = n(n－1)
若 n 为偶数，则 n－1 是奇数
n(n－1) 为偶数
若 n 为奇数，则 n－1 是偶数
n(n－1) 为偶数
知识点1 提公因式法与完全平方公式因式分解的综合运用
1. [2025兰州] 因式分解： __________.
2. 因式分解： ____________.
3. 若,，则多项式 的值为
( )
A
A. 2 B. C. 5 D. 6
4. 因式分解：
（1） ；
【解】
（2） .
.
知识点2 提公因式法与平方差公式因式分解的综合运用
5. [2025北京] 因式分解： ________________.
6. 分解因式： ,结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】原式 .
7. 下面是甲、乙两名同学分解因式 的结果，下列判
断正确的是( )
甲同学：原式 .
乙同学：原式 .
C
A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确
C. 甲、乙的结果都正确 D. 甲、乙的结果都不正确
8. 因式分解：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
9. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的密
码手册中有这样一条信息：，5，， ，
， 分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将
因式分解，则结果呈现的密码信
息可能是( )
B
A. 我爱祖国 B. 强国有我 C. 我爱国 D. 我有祖国
10. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么
称这个正整数为“幸福数”，如， ，
因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论：①最小的“幸福数”
是8； 是“幸福数”；③“幸福数”一定是4的偶数倍；
以内的所有“幸福数”之和是24.其中正确结论的序号为
__________.
①②③④
课堂小结
因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解.