10.1.1对顶角及其性质 课件（共30张PPT）--沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共30张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
10.1.1对顶角及其性质
第10章 相交线、平行线与平移
授课教师： .
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学习目标
1. 理解对顶角的概念；
2. 掌握对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（重点、难点）
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
名师点金
1.判断两个角是否为对顶角，需看它们是否满足以下两点：
（1）有公共顶点；（2）一个角的两条边分别是另一个角的两
条边的反向延长线.2.解决相交线中求角的度数的问题时，通常
用“对顶角相等”这一等量关系将未知角和已知角联系起来.
活动：逐渐握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
对顶角的概念
1
如下图中，两直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1和∠3 有公共顶点 O ，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角.
要点归纳
A
B
C
D
O
1
3
例 1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
典例精析
问题：对顶角在数量上又有什么关系呢？如下图中的∠1 与∠3.
猜想：对顶角相等.
C
O
A
B
D
4
3
2
1
思考：你能利用所学知识来验证∠1 与∠3 之间的数量关系吗？
在之前的学习中我们已经知道平角为 180°.
对顶角的性质
2
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O.
试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4.
解：因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，
所以∠1 +∠2 = 180°，
∠3 +∠2 = 180°.
所以∠1 =∠3.
同理可得∠2 =∠4.
应用格式：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1 =∠3，∠2 =∠4.
例2
想一想：如图所示是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
3. 同上图，若 1∶ 2 = 2∶7，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为____________________.
2. 同上图，若∠2 是∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____________________.
1. 如图，若∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____
________________.
30°，
150°，30°，150°
45°，135°，45°，135°
40°，140°，40°，140°
变式训练：
例3 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠1 = 40°，∠BOC = 110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1 = 40°，∠BOC = 110°(已知)，
所以∠BOF =∠BOC－∠1
= 110°－40° = 70°.
因为∠BOF =∠2(对顶角相等)，
所以∠2 = 70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
1
2
（3）
1
2
（4）
例1 判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由.
1
2
（1）
1
2
（2）
1
2
（5）
1
2
（6）
不是，两角没有公共顶点.
不是，有一边不互为反向延长线.
不是，有一边不互为反向延长线.
是
不是，两角没有公共顶点.
不是，两角互为邻补角.
【选自教材P129练习第1题】
探究：
∠1与∠2的大小有什么关系？
∠1与∠3呢？
∠1+∠2=180°（平角的定义）
猜想：对顶角相等
你能证明这个猜想吗？
知识点2 对顶角的性质
1
2
A
B
C
D
O
4
3
对顶角的性质
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明：∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
（平角的定义），
所以∠1=∠3（同角的补角相等）.
同理可得∠2=∠4.
1
2
A
B
C
D
O
4
3
对顶角的性质：
对顶角相等.
符号语言：
因为∠1和∠3是对顶角，
所以∠1=∠3.
1
2
A
B
C
D
O
4
3
例2 如图，两条直线相交，∠1=35°，求∠2和∠3的度数.
【选自教材P129练习第2题】
1
3
2
解：由对顶角相等，可得
∠2=∠1=35°，
由∠1=35°可得
∠3=180°-∠1=180°-35°=145°.
（1）对顶角是成对出现的，单独的一个角或三个及以上的角不能称为对顶角.
（2）互为对顶角的两个角一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 两个角互为对顶角，既有数量关系，又有位置关系.
特别提醒
随堂练习
1.如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）A.∠1和∠2
B.∠1和∠4
C.∠3和∠4
D.∠3和∠5
D
2.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A.90° B.120° C.180° D.140°
C
3.如图，三条直线 AB，CD，EF相交于点 O，若∠AOD=120°，∠COE=50°.则∠BOE=_______，∠FOB=_______.
70°
110°
4.如图，直线 AB，CD相交于点O，∠AOC=80°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE : ∠EOD=2 : 3，求∠AOE的度数.
解：因为∠AOC=80°，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
所以∠BOD=80°.
由∠BOE∶∠EOD=2∶3，
设∠BOE=2x°，则∠EOD=3x°.
因为∠BOD=∠BOE+∠EOD，
4.如图，直线 AB，CD相交于点O，∠AOC=80°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE : ∠EOD=2 : 3，求∠AOE的度数.
所以2x+3x=80，
解得x=16，
所以∠BOE=2×16°=32°.
因为∠AOE+∠BOE=180°，
所以∠AOE=180°-∠BOE=148°.
知识点1 对顶角的定义
1. 下列图形中，和 是对顶角的是
( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图，图中对顶角的对数是( )
B
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
【点拨】与形成2对对顶角， 与
形成2对对顶角，与 形成2对对顶
角，一共有6对对顶角.故选B.
知识点2 对顶角的性质
3. 如图，直线，，相交于点 ，则
______.
（第3题）
（第4题）
4. 如图，直线,相交于点 .若
, ，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
5. [2025合肥模拟] 如图，直线与相交于点 ，
，，射线平分 ，则
( )
D
（第5题）
A. B. C. D.
易错点 因图形不明确，考虑问题不全面而出错
6. 直线与相交于点, ,
若 ,则 _________.
或
课堂小结
对顶角的概念：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角．
对顶角及其性质
对顶角的性质：对顶角相等.