第9章 分式【章末复习】 课件（共65张PPT）--沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

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沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
章末复习
第9章 分式
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本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的
基本性质及运算，考试的题型以选择题、填空题为主，分式
的化简求值主要以解答题的形式出现.分式方程是中考的必考
内容之一，着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解
题，考查时常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题
和填空题中.本章热门考点可概括为三个概念、一个性质、一
种运算、一个解法、一个应用和四种思想.
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1. 分式的定义
2. 分式有意义的条件：
B≠0.
分式无意义的条件：
B＝0.
分式值为 0 的条件：
A＝0 且 B≠0.
一、分式的概念及基本性质
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中 A 叫作分式的分子，B 叫作分式的分母.
即对于分式 ，有
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
3.分式的基本性质
(A,B,M 都是整式,且 M≠0).
4. 分式的约分
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母只有公因式 1 的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的一般步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
5. 分式的通分
分式的通分的定义
化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分.
最简公分母
通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.
3. 分式的加减法则
(1) 同分母分式的加减法则：
(2) 异分母分式的加减法则：
三、分式方程
1. 分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1) 将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则此解是原分式方程的解，否则为增根，须舍去.
3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1) 审清题意，并设出未知数；
(2) 找相等关系；
(3) 列出方程；
(4) 解这个分式方程；
(5) 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；
(6) 作答.
1.填空:
A 组
（1）某家庭每天需用大米m kg，家中存有x 天的用米量，如果每天少用n kg的大米，那么存有的大米能用______天；
（2）当 x______时，分式有意义；
（3）当 x______时，分式的值为零；
（4）当 x______时，分式的值为负.
≠ -1
= 0
＜-3
2.计算:
2.计算:
2.计算:
3.计算：
4.先化简，再求值：
5.解方程：
解:（1）去分母，得
3(3x-1)=2(x+2)，
解得
x =1 .
经检验，x=1 是原方程的根.
（2）去分母，得
(x-6) (x-5)+ (x-4) (x-3)=2 (x-3)(x-5) ，
解得
x =6 .
经检验，x=6 是原方程的根.
6.解方程：
解：（1）去分母，得
ax+by=xy，
所以 (b-y) x=-ay
因为 b≠y，所以b-y ≠ 0 .
所以 x= .
（2）去分母，得
kx-km =y-n，
即 kx =y-n+km，
因为k ≠ 0 ，所以x= .
7.甲、乙两人同时在计身机上输入一份书稿，4 h后，甲因另有任务，由乙又单独输入5 h完成.已知甲输入5 h的稿件，乙需要输入7.5 h.问甲、乙单独输入完成这份书稿各需要多长时间
解：设甲单独输入完这份书稿需x h，那么乙单独输入
完这份书稿需1.5x h.
根据题意，得
4( )+5×=1 ，
解得
x=10 .
经检验，x=10是原方程的根，且符合题意.
当 x=10 时，1.5 x=15 .
答:甲、乙单独输入完成这份书稿各需要10 h，15 h .
8.五一期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25 km 的科技馆研学，一部分同学在班长的带领下骑自行车提前80 min 出发，另一部分同学在王老师的带领下乘客车前往，结果两队同时到达.若客车速度是自行车速度的 3 倍，求各队的速度.
解：设自行车的速度是 x km/h，那么客车的速度是 3x km/h .
根据题意，得
= ，
解得
x =12.5 .
经检验，x=12.5 是原方程的根，且符合题意.
当 x=12.5 时，3 x=37.5 .
答:自行车的速度是12.5 km/h，那么客车的速度
是 37.5 km/h .
9.某村准备发展80 hm2大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20 天完工. 求工程队原计划每天建多少公顷大棚.
解：设工程队原计划每天建x hm2大棚.
根据题意，得
= 20，
解得
x =2.4 .
经检验，x=2.4是原方程的根，且符合题意.
答:原计划每天建2.4 hm2大棚.
B 组
1. 填空:
（1）如果 x2-4xy+4y2=0，那么 =_____；
（2）如果 = ，那么 =_____ .
1
2.计算:
3.计算:
4.某单位将沿街的店面出租，第一年租给一家公司获租金6万元，第二年租给一些个体经营户获租金7.2万元. 已知第一年每间店面房的租金比第二年少1000元，问这两年每间店面房的租金各是多少元
解：设第一年每间店面房的租金是 x 元，那么第二年
每间店面房的租金(x+1000)元.
根据题意，得
= ，
解得
x = 5000 .
经检验，x= 5000 是原方程的根，且符合题意.
当 x=5000 时，x +1000=6000 .
答:第一年、第二年每间店面房的租金是5000元、6000元 .
5.某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如下表所示:
月用水量a/m3 a≤20 20＜a≤30 a＞30
收费标准/元·m-3 2.49 3.07
9月份小华家缴纳水费87.8元，小莉家缴纳水费102.4元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的.求月用水量大于30 m3 时的收费标准.
解：设月用水量大于 30 m3 的部分收费标准为x 元/m3.
小莉家用水量为y m3，则小华家的用水量为 y m3.
答:月用水量大于30 m3 时的收费标准为3.65 元.
20×2.49=49.8(元)
20×2.49+10×3.07=80.5(元)
因为87.8＞80.5 ，
所以小华、小莉家用水均超过30 m3.
由题意，得
解得
x = 3.65，
y = 36.
( y -30)x=87.8-80.5
(y -30)x=102.4-80.5
6.某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路.若让两队合做，24天可以完工，需要费用 120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需要费用110万元.问:
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天
（2）甲、乙两队单独完成此项工程各需要费用多少
万元
解：（1）设甲队单独完成此项工程需用x天，乙队
单独完成此项工程需用y天.
由题意，得
解得
x = 30，
y = 120.
经检验， 是原方程的解.
x = 30，
y = 120.
答:甲队单独完成此项工程需用30天，乙队单独完成此项工程需用120 天.
（2）设单独做时，甲队每天需费用t 万元，
乙队每天需费用k万元.
由题意，得
24t +24k=120，
20t +40k=110，
解得
t =4.5 ，
k =0.5 .
因而甲队单独完成此项工程需费用:
30×4.5=135(万元)，
乙队单独完成此项工程需费用:
120×0.5=60 (万元).
C 组
1.解下列方程组：
（1）
（2）
解:（1）由①得 4y+3x =10xy，③
由②得 9y-7x = -5xy. ④
由③×9-④×4，得 55x=110xy，
解得 y = .
把 y = 代入①得 x=1 .
经检验， 是方程组的解.
x=1，
y =
（1）
①
②
（2）
（2）设 =m，=n ，
所以
①
②
原方程组可化为
解得
4m+6n =3，
9m- n =1 .
m= ，
n = .
x+y =2，
x- y =6 .
解方程组得
x =4，
y = -2 .
经检验， 是方程组的解.
x =4，
y = -2 .
考点1 三个概念
概念1 分式
1. 下列代数式中，属于分式的是( )
D
A. B. C. D.
2. 写一个值不可能为0的分式：_ ________________.
（答案不唯一）
概念2 分式方程
3. 下列关于 的方程中不是分式方程的是( )
D
A. B.
C. D.
概念3 增根（无解）
4. 若关于的分式方程（ 为常数）有增根，
则 ___.
5
【点拨】 ，
方程两边都乘，得 .
因为原方程有增根，
所以，解得 .
把代入，得 ，解
得 .
5. 已知关于的分式方程 .
（1）若这个方程的解为，则 的值为___；
5
【点拨】 ，
去分母，得，解得 .
因为，所以，解得 .
经检验, 是该分式方程的解.
（2）若这个方程无解，求 的值.
【解】因为关于的分式方程 无解，
所以或，解得或 .
经检验， 是该分式方程的解.
考点2 一个性质——分式的基本性质
6. [2025湖北] 计算 的结果是___.
2
7. 将分式中的， 均扩大为原来的2倍，则分式的值
( )
D
A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的 D. 不变
考点3 一种运算——分式的运算
8. [2025陕西] 化简： .
【解】原式
.
9. [2025烟台] 先化简，再求值： ，其
中 .
【解】原式
.
因为 ，
所以原式 .
考点4 一个解法——分式方程的解法
10. [2025徐州] 分式方程 的解为______.
11. 解方程： .
【解】 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ,
解得 .
检验：当时， ，
所以原分式方程的解为 .
考点5 一个应用——分式方程的应用
12. [2025广州] 智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成
本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某
种水果采摘.
（1）若用人工采摘的成本为 元，相比人工采摘，用智能机
器人采摘的成本可降低 .求用智能机器人采摘的成本是多
少元；（用含 的代数式表示）
【解】因为用人工采摘的成本为 元，相比人工采摘，用智
能机器人采摘的成本可降低 ,所以用智能机器人采摘的成
本是 （元）.
（2）若要采摘4 000千克该种水果，用这台智能采摘机器人
采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能
采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘
机器人每天可采摘该种水果多少千克.
设一个工人每天采摘该种水果 千克，则这台智能采摘机器
人每天可采摘该种水果 千克，根据题意，得
，解得 ，
经检验， 是该分式方程的解，且符合题意，所以这
台智能采摘机器人每天可采摘该种水果
（千克）.
考点6 四种思想
思想1 消元思想
13. 已知，， ，
则 的值为____.
【点拨】由题意,得
，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
将，代入 ，得
.
思想2 整体思想
14. 已知，则代数式 ___.
3
【点拨】
.
因为 ，
所以.所以原式 .
思想3 换元思想
15. 设，， 都是实数，若
2
，则分式 ___.
【点拨】设,, ，
由已知，得 ，
整理，得 .①
因为 ，
所以 .②
，得 ，
所以.所以 .
所以 .
思想4 类比思想
16. 关于的方程的解是；关于 的方程
的解是；关于的方程的解是 ；
关于的方程的解是 .
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于 的方程
的解是什么？并利用“方程的解”的概念进
行验证；
【解】猜想关于的方程的解是 .
验证：当时，左边 右边，
所以 是该方程的解.
（2）的解是____，的解是
___；
10
4
（3）利用阅读材料，解关于 的方程
.
将方程可变形为 .
由（1）得，即 .
因为，所以 .
所以 .
经检验， 是原分式方程的解.