18.1 勾股定理 学案（无答案）
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文档简介
18.1勾股定理
学案
学习目标
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.
学习重点难点
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边.
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和.
疑点：灵活运用勾股定理.
学习过程
一、创设情境，导入课题
1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°（互余）；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？
2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形？（板书课题）
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书）
（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书）
（3）如果一个三角形的三边a，b
，c，满足a2
+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
3、合作探究
（1）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用.
（2）动手实践，发现新知.
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形（按角分类）
1）3，4，4
锐角三角形
2）2，3，4
钝角三角形
3）3，4，5
直角三角形
使用“几何画板”演示（拼图/还原/度量），加深学生对拼出三角形形状的认识.
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
1）3，4，4
锐角三角形
←
32＋42
>
42
2）2，3，4
钝角三角形
←
22＋32
<
42
3）3，4，5
直角三角形
←
32＋42
=
52
勾股定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：
1）确定最大边；
2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；
3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；
4、例（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°.
分析：（1）运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大.②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值.③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.
（2）要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大.根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可.
（3）由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证.
已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.
分析：∵AC2=AD2+CD2，
BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2
5、学习小结
（1）内容总结
可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；
运用勾股定理可以解决许多实际问题；
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理.
（2）方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生良好的学习方法，逐步养成优良的学习.
6、实践活动
动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系.
7、巩固练习
课本练习
达标测试
1、填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=
.
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
.
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=
，b=
.
（4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
.
（5）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为
.
（6）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为
，面积为
.
2、判断题
（1）勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形.（
）
（2）△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形.（
）
3、选择题
（1）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中错误的是（
）
A、如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B、如果c2=
b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C、如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形
D、如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
（2）下列四条线段不能组成直角三角形的是（
）
A、a=8，b=15，c=17
B、a=9，b=12，c=15
C、a=，b=，c=
D、a：b：c=2：3：4
4、应用题
已知AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
学案
学习目标
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.
学习重点难点
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边.
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和.
疑点：灵活运用勾股定理.
学习过程
一、创设情境，导入课题
1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°（互余）；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？
2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形？（板书课题）
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书）
（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书）
（3）如果一个三角形的三边a，b
，c，满足a2
+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
3、合作探究
（1）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用.
（2）动手实践，发现新知.
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形（按角分类）
1）3，4，4
锐角三角形
2）2，3，4
钝角三角形
3）3，4，5
直角三角形
使用“几何画板”演示（拼图/还原/度量），加深学生对拼出三角形形状的认识.
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
1）3，4，4
锐角三角形
←
32＋42
>
42
2）2，3，4
钝角三角形
←
22＋32
<
42
3）3，4，5
直角三角形
←
32＋42
=
52
勾股定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：
1）确定最大边；
2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；
3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；
4、例（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°.
分析：（1）运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大.②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值.③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.
（2）要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大.根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可.
（3）由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证.
已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.
分析：∵AC2=AD2+CD2，
BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2
5、学习小结
（1）内容总结
可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；
运用勾股定理可以解决许多实际问题；
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理.
（2）方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生良好的学习方法，逐步养成优良的学习.
6、实践活动
动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系.
7、巩固练习
课本练习
达标测试
1、填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=
.
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
.
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=
，b=
.
（4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
.
（5）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为
.
（6）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为
，面积为
.
2、判断题
（1）勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形.（
）
（2）△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形.（
）
3、选择题
（1）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中错误的是（
）
A、如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B、如果c2=
b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C、如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形
D、如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
（2）下列四条线段不能组成直角三角形的是（
）
A、a=8，b=15，c=17
B、a=9，b=12，c=15
C、a=，b=，c=
D、a：b：c=2：3：4
4、应用题
已知AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？