18.2 勾股定理的逆定理 学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 18.2 勾股定理的逆定理 学案（无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 18.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-18 16:06:35 | ||
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文档简介
18．2勾股定理的逆定理
学案
学习目标
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
3．培养学生与人合作、交流的团队意识．
学习重点难点：
学习重点：勾股定理逆定理的证明.
学习难点：勾股定理逆定理在生活中的应用.
学习过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1：以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________（填序号），能构成直角三角形的是____________．
①3，4，5
②1，3，4
③4，4，6
④6，8，10
⑤5，7，2
⑥13，5，12
⑦7，25，24
设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．
师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．
在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．
生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦
讲授新课
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．
（1）你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；
（2）请你证明你所发现的规律．
过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“（
）2＋（
）2＝（
）2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝（22－1）2，82＝（32－1）2，152＝（42－1）2，242＝（52－1）2；所以我们可推想，第—项一定是（n2－1）2．（其n＞1，n为整数），同理可得第二项一定是（2n）2，等式右边一定是（n2＋1）2（其中n＞1，n为整数）．
（1）解：上面的式于是有规律的，即（n2－1）2＋（2n）2＝（n2＋1）2（n为大于1的整数）．
第5个式子是n＝6时，即（62－1）2＋（2×6）2＝（62＋1）2化简，得352＋122＝372．
（2）证明：左边＝（n2－1）2＋（2n）2＝（n4－2n2＋1）＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2＝右边，证毕．
进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．
师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流．
教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
②能否发现问题，反思后及时纠正．
③能否积极主动地与同学交流意见．
生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：（1）因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
（2）因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225
所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．
生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．
三、巩固练习
师：我们先来完成练习第1题．
生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
（1）判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．
请问：上述解法对吗？为什么？
（2）已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．
设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．
师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣．
生：例：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．
四、课时小结
问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
五、作业布置
P60习题18．2第1、4题．
达标测试
一、选择题.
1．若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．以上答案均不对
2．△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为
（
）
A．1
B．3
C．4
D．5
二、解答题.
3．如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和是______．
4．如图4，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．
5．如图
，以ΔABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系？请你说明理由．
6．如图，正方形ABCD的边长为6，F是DC边上的一点，且DF∶FC=1∶2，E为BC的中点，连结AE、AF、EF．
（1）求△AEF的周长；（2）求△AEF的面积．
图3
图4
学案
学习目标
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
3．培养学生与人合作、交流的团队意识．
学习重点难点：
学习重点：勾股定理逆定理的证明.
学习难点：勾股定理逆定理在生活中的应用.
学习过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1：以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________（填序号），能构成直角三角形的是____________．
①3，4，5
②1，3，4
③4，4，6
④6，8，10
⑤5，7，2
⑥13，5，12
⑦7，25，24
设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．
师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．
在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．
生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦
讲授新课
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．
（1）你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；
（2）请你证明你所发现的规律．
过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“（
）2＋（
）2＝（
）2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝（22－1）2，82＝（32－1）2，152＝（42－1）2，242＝（52－1）2；所以我们可推想，第—项一定是（n2－1）2．（其n＞1，n为整数），同理可得第二项一定是（2n）2，等式右边一定是（n2＋1）2（其中n＞1，n为整数）．
（1）解：上面的式于是有规律的，即（n2－1）2＋（2n）2＝（n2＋1）2（n为大于1的整数）．
第5个式子是n＝6时，即（62－1）2＋（2×6）2＝（62＋1）2化简，得352＋122＝372．
（2）证明：左边＝（n2－1）2＋（2n）2＝（n4－2n2＋1）＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2＝右边，证毕．
进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．
师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流．
教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
②能否发现问题，反思后及时纠正．
③能否积极主动地与同学交流意见．
生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：（1）因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
（2）因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225
所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．
生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．
三、巩固练习
师：我们先来完成练习第1题．
生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
（1）判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．
请问：上述解法对吗？为什么？
（2）已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．
设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．
师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣．
生：例：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．
四、课时小结
问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
五、作业布置
P60习题18．2第1、4题．
达标测试
一、选择题.
1．若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．以上答案均不对
2．△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为
（
）
A．1
B．3
C．4
D．5
二、解答题.
3．如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和是______．
4．如图4，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．
5．如图
，以ΔABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系？请你说明理由．
6．如图，正方形ABCD的边长为6，F是DC边上的一点，且DF∶FC=1∶2，E为BC的中点，连结AE、AF、EF．
（1）求△AEF的周长；（2）求△AEF的面积．
图3
图4