24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 学案（无答案）

24.2.3
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
学案
学习目标：
1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；
2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；
3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．
学习重点和难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系；
难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系．
学习过程：
一、创设情景，引入新课
圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．
1．动态演示，发现规律
投影出示图，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：
(1)结果怎样？
学生答：和原来的平行四边形重合．
(2)这样的图形叫做什么图形？
学生答：中心对称图形．
投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，90°，让学生观察发现什么结论？
得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．
进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？
学生答：仍然与原来的图形重合．
于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．
2．圆心角，弦心距的概念．
我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．(如有条件可电脑闪动显示图形．)
在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．
在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．
顶点在圆心的角叫做圆心角．
再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？
学生答：过圆心O作弦AB的垂线．
在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题)
二、大胆猜想，发现定理
再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？
学生很容易猜出：
AB=A′B′，OM=OM′．
教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？
学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？
让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？
学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．
请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？
学生：旋转．
下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．
把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程．教师边演示边提问．
我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么？
学生：因为∠AOB=∠A′OB′，
所以射线OB与射线OB′重合．
要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合．这两对点分别重合吗？
学生：重合．
你能说明理由吗？
学生：因为OA=OA′，OB=OB′，
所以点A与点A′重合，点B与点B′重合．
当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？
学生：与重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合．
为什么OM也与OM′重合呢？
学生：根据垂线的唯一性．
于是有结论：
AB=A′B′，OM＝OM′．
以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．
教师板书定理．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
教师引导学生补全定理内容．
投影显示如图7－53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答与．AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？
在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆．(投影显示叠合过程)
这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整．
然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：
定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？
在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法．
最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论．
请学生归纳，教师板书．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
三、例题解析
例1已知：如图24-26，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上．
求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
证明：连接OA，OB，OC．
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA
=×360°=120°．
例2已知：如图24-27，点O是∠A平分线上的一点，⊙O分别交∠A两边于点C、D和点E，F．
求证：CD=EF．
证明过点O作OK⊥CD、OK′⊥EF，垂足分别为K，K′．
∵OK=OK′(角平分线性质)，
∴CD=EF．
例3如图24-28，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB，为40°，求∠BOD的度数．
解连接OE．
∵为40°，
∴∠COE=40°．
四、师生共同小结
教师提问：
(1)这节课学习了哪些具体内容？
(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？
(3)应注意哪些问题？
在学生回答的基础上，教师总结．
(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形．得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论．这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．
(2)本节通过观察——猜想——论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想．
(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．
达标测试：
1．下列说法中正确的是（
）．
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等
D．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm的圆中，有一条长为6cm的弦，则圆心到此弦的距离为（
）．
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，则弦AB的长是（
）．
A．cm
B．2cm
C．cm
D．cm
5．弦AB把⊙O分成1∶2两部分，AB＝8cm，则弦AB的弦心距等于___________．
6．直径为20cm的圆中，有一条长为cm的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O中，AB是弦，∠OAB＝50°，则弦AB所对的圆心角的度数是___________，弦AB所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O中，OC是半径，弦EF过OC的中点且垂直于OC，则弦EF所对的圆心角的度数是___________，弦EF的弦心距和弦EF的长的比是___________．
9．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦AE∥CD，连结CE、BC，求证：BC＝CE．（用两种方法加以证明）