24.2.4
圆的确定
教案(一)
教学目标：
1．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
2．经历不在同一条直线上三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
3．使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法．
教学重点：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
4．反证法证题的步骤．
教学难点：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点．
2．
理解反证法的推理依据及方法．
教学过程：
一．圆的确定及三角形内接圆
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考(投影片一)
(1)线段垂直平分线的性质及作法．
(2)作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片二)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定．所以以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
作法
图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆
投影片(三)
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
二．反证法
1、提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2．
2、探究
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由．
探究：
假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立．
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确．像这样的证明方法叫做反证法．
3、应用新知
例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C．
小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．
例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c．求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A．那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．∴a//b．
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾．
三．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程方法．
2．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
3．研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用．对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高．24.2.4
圆的确定
教案
（三）
教学目标：
1.经历探索不在同一条直线上的三点确定一个圆的过程．
2.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
3.进一步体会解决数学问题的策略．
教学重点：
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2.三角形的外接圆、外心．
教学难点：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学过程：
一、复习引入
1.过一点可以作几条直线？
2.过几点可确定一条直线？（引入：过几点可以确定一个圆呢？）
二、探究新知
1.经过一点A作圆，能作多少个圆？
（经过一点可以作无数个圆．）
2.经过两点A、B作圆，能作多少个圆？这些圆的圆心有什么特点？
（经过两点也可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上．）
3.经过三点A、B、C，能不能作圆？
第一步，让学生思考怎样才能做出这个圆呢？
教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？
经过A、B、C三点能否作圆，关键是看能否找到一点O，使OA＝OB＝OC．若⊙O经过A、B两点，圆心O应在AB的垂直平分线上；同样，若⊙O经过B、C两点，圆心O应在BC的垂直平分线上．所以AB、BC两条线段的垂直平分线的交点O就是所求的圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．
作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．
第二步，学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置进行讨论，有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点．
教学时，要给学生足够的时间探索交流，通过讨论获得认识：不在同一条直线上三点能确定一个圆．
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
注意：经过同一条直线上三点能不能确定一个圆？
接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
显然，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
注意：“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．
三、知识运用
【例1】生活生产中的问题：车间工人要将一个如图所示的
破损的圆盘复原，你有办法吗？
【例2】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站P应建在何处？请画出图，并说明理由．
分析：既然到A、B、C三个村庄的输水管线长度相等，
那么自水厂P应建在以A、B、C为顶点的三角形的外心上.
课堂小结
通过本节课的学习，你又有什么收获？
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
思考：1.经过4个点是不是一定能作圆？
2.分别作出一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并比较它们的外心位置有怎样的特点？
A
B
·O3
·O1
·O2
A
A·
·B
·C24.2.4
圆的确定
教案（二）
教学目标：
1.知道点与圆的三种位置关系及其判定方法，并能初步运用点与圆的位置关系的判定方法解决有关数学问题；
2.经历以过已知点画圆为线索探索确定一个圆所需条件的过程；知道“不在同一直线上三个点确定一个圆”，能画出过已知不在同一直线上三点的圆；
3.了解三角形的外心、外接圆、圆的内接三角形以及多边形的外接圆、圆的内接多边形等概念。
教学重点：
1.点与圆位置关系的描述与简单应用；
2.平面内不共线的三点如何确定一个圆，三角形的外接圆的作法。
教学难点：
1.不在同一直线上的三个点确定一个圆；
2.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念并能掌握三角形外接圆的画法。
教具准备：
PPT课件
教学过程;
一、复习引入
复习圆的概念：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有的点所成的图形。
这个定点是圆心，定长是圆的半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O。
二、新课探索
提出问题：如图，说说图中三点分别位于圆的哪里？
小结：
平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
这三种位置关系可以用平面上点与圆心的距离与圆的半径的大小关系来描述
设一个圆的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，
则（1）点P在圆外
d＞R
（2）点P在圆上
d＝R
（3）点P在圆内
0≤d＜R
试一试：已知线段AB和点C，⊙C经过点A，根据如下所给点C的位置，判断点B和⊙C的位置关系：
（1）如图，点C在线段AB上，且0＜AC＜AB
A
C
B
（2）如图，点C在线段AB的垂直平分线MN上
M
C
A
B
N
思考：有上题可知，如果以CA为半径的⊙C经过点A,且圆心C在线段AB的垂直平分线上，那么⊙C经过点A、B。反过来，如果⊙C经过A、B两点，那么点C在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
操作探究：
1.过平面上任意一点可画几个圆？
结果：可画无数个圆.
2.过平面上任意两点可画几个圆？其圆心位置有什么规律？
结果：也可以画无数个圆，圆心在联结这两点的线段的垂直平分上.
3.过平面上三点能否画一个圆？为什么？
结果：（1）过不在一直线上的三点可以画出一个圆；
（2）过一直线上的三点的圆不存在.
小结：
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
概念：
三角形的三个顶点确定一个圆，经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆；这个多边形叫做这个圆的内接多边形；
操作：
已知钝角三角形ABC，用直尺和圆规作出这个三角形的外接圆。
拓展
如图，已知锐角三角形ABC，直角三角形A1B1C1，你能分别作出这两个三角形的外接圆？并结合上题，比较这三个三角形外心的位置，你能有什么发现？
小结：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心就是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。
课堂小结
理解点与圆的位置关系.
2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念并能掌握三角形外接圆的画法．
