第3章勾股定理单元复习卷（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章《勾股定理》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
2．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形，正方形的面积分别为和．若，，则的值为（ ）
A．7 B．5 C．13 D．25
7．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）．
A．10 B． C． D．不能确定
8．如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了多少厘米？（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，的平分线交于，过点D作交于点E．若，．下列结论：①是等腰三角形； ； 其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ．
12．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是 ．
13．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ．
14．如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ．
15．如图，在中，，，，，点为边的中点，点在边上，则周长的最小值为 ．
16．如图，于点于点A，点是的中点，若，则的长是 ．
17．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ．
18．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（6分）如图，在中，，的高，交于点P．
(1)求证：．
(2)若，，求．
20．（6分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
21．（8分）下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，．
(1)求摩天轮到淘气堡的距离；
(2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离．
22．（8分）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．
(1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ；
(2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长；
(3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点．
23．（8分）如图，四边形中，，，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)当，，时，求的长．
24．（8分）《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
25．（10分）综合运用：
“在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接运用：
①请直接写出图1中的面积为____________；
②请在图2中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形；
(2)若的边长分别为，且，试运用构图法在图3中画出相应的，并用表示的面积．
(3)拓展应用：求代数式的最小值．
26．（10分）如图，在四边形中，，，，，
(1)求的长；
(2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．
①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．
②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）．
参考答案
一．选择题
1．B
解：如图，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得： ，
∴，
故选：B．
2．B
解：根据勾股定理可得圆的半径为，
∴点A处所表示的数为．
故选：B．
3．A
解：画出图形，如图所示：
由勾股定理可得：，
故选：A．
4．A
解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
5．B
解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意；
B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意；
C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意；
D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意．
故选：B．
6．D
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
解：如图所示，当沿着高把长方体展开时，
在中，，
∴；
如图所示，当沿着长把长方体展开时，
在中，，
∴；
如图所示，当沿着宽把长方体展开时，
在中，，
∴；
∵，
∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是，
故选：C．
8．B
解：如图1，作于E，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴到的垂直距离为；
如图2，作于，作于，
由题意知，缩短后，
∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上，
∴，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴到的垂直距离为；
∴点的高度下降了，
故选：B．
9．C
解：作于．
的平分线交于，
．
，
．
．
．
是等腰三角形，故①符合题意；
，
．
设，则．
．
，
，解得．
，．
，
，解得．
，
，解得．
．
在和中，
．
，．
，故符合题意．
，
．故符合题意；
故选：C
10．B
解：∵
，
是直角三角形，，
作交于点，
，
又 是的平分线，
．
，
即，
，
是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上，
．
过点作交于点H，
∴
当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值．
由（1）可知，是直角三角形，
，
解得：．
故选：B．
二．填空题
11．5或
解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：，
边长为4的边是斜边时，第三边为：．
故答案为：5或．
12．
解：∵直角三角形的两边长分别为2、1，
∴直角形的斜边长为：，
∴点A所表示的数a的值为：．
故答案为：．
13．
解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2，
，，
，即，
，
，
故答案为：．
14．
解：由题意侧面展开得到下图所示：
∵底面直径为，高为，
∴，，
∴，
∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是，
故答案为：．
15．
解：过点B作的对称点，连接，
∵，，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴
由对称得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴的最小值为，当三点共线时，取得最小值，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
16．8
解：如图：延长交于点F．
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得．
故答案为：8．
17．
解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，，
∴，，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
18．
解：如图，过点作于点，于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵ ，，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题
19．（1）证明：∵，
∴，
∵，都是的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
20．解：根据题意，
，，，
因为，
即，所以，
由“远航”号沿东北方向航行可知，，
因此，即“海天”号沿西北方向航行，
答：“海天”号沿西北方向航行．
21．（1），
．
，，
．
，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上，
．
答：摩天轮到淘气堡的距离为
（2）；
，
，，
，
答：淘气堡到旋转木马的距离为60m．
22．（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当最长时，，
设，则，
∴，
解得：，
即；
当最长时，，
设，则，
，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或；
（3）证明：如图，过点A作，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
23．（1）解：如图，连接、，

，为中点，
，
，
，
，
是中点，
；
（2）解：，，、分别是边、的中点，
，，
．
．
24．解：设秋千绳索的长为尺，
根据题意，得，，
，
在中，，
所以，，
解得，，
所以，秋千绳索的长为尺．
25．（1）解：①由网格可得：，
故答案为：；
②在网格中取格点，依次连接，则为所求，如图：
由网格可得：，，，
∴；
（2）解：如图：由勾股定理，知，即为所求，
的面积
；
（3）解：构造图形如下：
依题意，得，
的最小值为的长，
，
由勾股定理，得，
代数式的最小值是．
26．（1）解：，，
；
（2）解：①它们的关系为．理由如下
如图1，延长到点G，使，连结，
又，
，，
，
又，
即
②依题意得，记的周长，
，，
，
（I）当秒时，点在线段上，点在上，
由①知
，
II）当时，点与点重合，不存在.
III）当时，点在延长线上，点在延长线上，
如图2，在上取点G，使，连结，
同理可得，
综上所述，当秒时周长为，
当时，不存在.
当秒时，周长为．