第三章勾股定理单元复习卷（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第三章《勾股定理》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26
2．如图，在中，，则的长是（　　）
A． B． C．2 D．
3．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　）
A．25 B．36 C．49 D．64
4．在中，，，若，则长度为（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论中，正确的有（ ）
①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②的三边长分别为，若，则；
③在中，若，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
9．如图1，将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图（2）所示的方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是
A． B．
C．大正方形的边长是 D．大正方形的边长是
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．在中，，，，则 ．
12．如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么 ．
13．如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ．
14．如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
15．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长为
16．在中，，，，则的面积为 ．
17．如图，在中，，是角平分线，，，，则 ．

18．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（6分）王宣同学想运用所学知识测量一棵大树的高度，如图，他在地面上点的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点处时，测得测距仪到树干的水平距离米，测距仪到大树顶端的距离米，已知于点，米，请你求出这棵大树的高度．
20．（6分）如图的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图．
(1)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为锐角三角形；
(2)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为直角三角形；
(3)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为钝角三角形，请在边上找到一点，使的面积等于面积的．
21．（8分）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米
22．（8分）如图，四边形中，，，，，且．求证：．
23．（8分）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数．
(2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作．
①探索的形状并说明理由．
②请你帮助小明完成证明过程．
24．（8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
25．（10分）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点和点处，于，于，已知，，，则阅览室建在距点多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等．
(1)用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)求的长．
26．（10分）洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等．
(1)求的长；
(2)若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
参考答案
一．选择题
1．C
解：A.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B. ，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C. ，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D. ，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
2．D
解：∵在中，，
∴，
故选：D．
3．A
解：正方形和正方形的面积之和为，
在中，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
4．C
解：过A作于D，
在中，，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．C
解：如图，
由题意得，，
∴，
∴点A所表示的数为．
故选：C．
6．A
解：由题意得：，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
故选：A．
7．C
解：①中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为或，故原说法是错误的；
②的三边长分别为，若，则，故原说法是错误的；
③中，若，此时，则这个三角形是一个直角三角形，故原说法是正确的；
④若三角形的三边比为，则设三边为，∵，∴该三角形是直角三角形，故原说法是正确的；
故选C．
8．B
解：A． 由，结合内角和得，
代入得，解得，
为直角三角形，故此选项不符合题意．
B． 设，
则，
解得，
故，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意．
C． 展开得，即，
由勾股定理的逆定理知，为直角三角形，故此选项不符合题意．
D． ∵，
∴，
由勾股定理的逆定理知，
∴故为直角三角形故此选项不符合题意．
故选：B．
9．C
解：如图，设为为为，图2中的余角为，
∵为等腰三角形，，
，
，
，
结合两图，可得，
设为，由勾股定理得，
∴，解得：．
故选：C．
10．D
解：按如图所示分割后可拼成一个大正方形，
∴，
A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、大正方形的边长为：，选项正确，不符合题意；
D、大正方形的边长是，选项不正确，符合题意．
故选：D．
二．填空题
11．4
解：∵，，，
∴．
故答案为：4．
12．225
解：由勾股定理和正方形的性质可得正方形A的面积加上正方形C的面积等于正方形B的面积，
∵B的值为289，C的值为64，
∴A的值为，
故答案为：225．
13．8
解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：8 ．
14．
解：如图1所示展开时：
，
此时；
如图2所示展开时：
此时．
∵，
∴它需要爬行的最短路线的长是，
故答案为：．
15．4
解：∵在中，，为边上的高，为边上的中线，，，
∴，
在中，
故答案为：．
16．30
解：∵在中，，，，
，
的面积为：，
故答案为：30．
17．3
解：过D点作于点E，

设，则，
∵是角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：3．
18．1.75
解：在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，
∴的垂直平分线为，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
设，则，，
在直角三角形由ABD中，由勾股定理：，
解得，
∴，
故答案为：1.75．
三．解答题
19．解：∵，，，
∴，
∴大树的高度(米)
20．（1）解：∵，
∴ 为等腰三角形且为锐角三角形；
∵，，
∴ 为等腰三角形且为锐角三角形；
∴即为所求（答案不唯一）．
（2）解：∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，且为直角三角形；
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，且为直角三角形；
∴即为所求（答案不唯一）．
（3）解：∵，，
∴为等腰三角形，且为钝角三角形，
∵，，
∴的面积等于面积的；
∴点即为所求．
21．解：由题知：，
在中，由勾股定理得：，
，
（米），
答：点到地面的距离的长为米．
22．证明：在中，
∴，
∴，
在中，，，
，
为直角三角形，，
．
23．（1）解：，，
，，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：①等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
是等腰三角形
②由①得，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
是“类勾股三角形”．
24．（1）解：圆柱的底面半径为，
∴圆柱底面圆的周长为，
如图所示，即为最短路径，，，
∴，
∴最短的路线长是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，，
∴四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作，
∴，
∴四边形，是矩形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴绳索的长为．
25．（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点，
∴根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得到点即为所求；
（2）解：设，由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
26．（1）解：如图，作与点，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
（2）解：如图，该生继续向前走，到达处，连接，
此时，
在中，
，
此时迎宾门铃距离该生头顶米．