第4章平面直角坐标系单元复习卷（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第4章《平面直角坐标系》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．已知点的坐标满足，则点在（ ）
A．纵轴上 B．横轴上 C．纵轴或横轴上 D．原点处
2．已知点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中一个轴对称图形（只有一条对称轴），其中点和点是这个图形上对称点，若此图形上另有一点B，则点B的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（ ）
A． B．3 C．7 D．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．三个顶点的坐标分别为，将平移到了，其中，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ．
12．若以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐是 ．
13．在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ．
14．如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为 ．
15．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ．
18．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，，以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长至点，使；以为边作等边，延长至点，使；按照以上方式依次作，，…则点的坐标为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（6分）各顶点的坐标分别为：，，．
(1)在图中作，使和关于x轴对称；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
20．（6分）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点在轴上；
(3)点的坐标为，直线轴．
21．（8分）在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，满足，P为x轴上一点（与O、B两点不重合），，点P关于y轴的对称点为Q，过Q作的垂线交直线于点H，交直线于点M．
(1)如图，点P在线段上．
已知，直接用含的式子表示出 ________；
过点P作交于点D，求证：．
若P点在射线上，请你画图探究点M的位置并直接写出相对应的点M的坐标（用含m、n的式子表示）．
22．（8分）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点为“友好点”． 例如：点，令，得，，所以是“友好点”．
(1)请判断点是否为“友好点”，并说明理由．
(2)以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“友好点”，求t的值．
23．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题．
(1)在图1中，画出关于y轴对称的（点D与点A对应），点E的坐标为______；
(2)在图1中，画出的中线，点M的坐标为______；
(3)在图2中，画出的高；（保留作图痕迹）
(4)在图2中，P为线段上任一点，画出点P关于y轴对称的点．
24．（8分）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1)和位置关系是_______；
(2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为．
①请分别用含t的式子表示和的面积；
②若，求出点P的坐标；
在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
26．（10分）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．

(1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数；
(2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，．
①请直接写出点的坐标；
②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
解： ，
，
即，
点在纵轴上，
故选：A．
2．C
解：∵点在第一象限，
∴，解得：．
故选C．
3．A
解：∵点和点是这个图形上的对称点，
∴点A与点关于直线对称，
∴点 B关于直线对称为，
故选：A．
4．D
解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
∴，
∵在第二象限，
∴，
∴，，
故选：D．
5．C
解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，因为点M的坐标都是整数，
所以．
故选：C．
6．C
解：∵点在第二象限，
∴，
又∵到轴的距离为5，
∴，即，
解得：，
故选C．
7．D
解：点的坐标为，轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相等为3，
点的横坐标为或，
点的坐标为或，
故选：D．
8．C
解：∵顶点的A的坐标为，将平移到了，其中，
∴横坐标减3，纵坐标加2，
∵，
∴对应点的坐标为：．
故选：C．
9．D
解：由题知，矩形的周长为，
由物体甲、乙的运动方向相反可知，甲乙每隔秒相遇一次，
当两个物体运动后的第2024次相遇时，经过的时间为秒，
物体甲运动一圈需秒，
又，
又物体甲从点A开始，按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动8秒后到达的位置为，
两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是，
故选：D．
10．D
解：∵，，，，，
∴“凸”形的周长为，
∴的余数为，
∴细线另一端所在的位置的点在处上面个单位的位置，坐标为，
故选：D．
二．填空题
11．
解：将线段平移至的位置，
点的纵坐标由变为，
线段向上平移了个单位长度，
，
点的横坐标由变为，
线段向右平移了个单位长度，
，
．
故答案为： ．
12．或或
解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得点有三种情况，
若以为对角线构建平行四边形则第四个顶点坐标为，
若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为，
若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为，
综上所述，第四个顶点坐标为或或；
故答案为：或或
13．或2
解：如图，
点的坐标为，
点在直线上，
当点在的左侧且的面积等于10时，即点，
∵，
，
解得，
当点在的右侧且的面积等于10时，即点，
∵，
，
解得，
的面积等于10，则或．
故答案为：或2．
14．
解：连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点P横坐标为5，点A坐标为，
∴，，
∵点P是的平分线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中
∴，
∴．
，
∵点B在y轴的正半轴上，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
15．
解：设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，交轴于，连接，
直线，
当时，；当时，；
，，
，
根据对称可得，，
∵，，
四边形是平行四边形，，
，
平行四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
．
当最小时，最小，
当时，最小，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
16．或
解：分两种情况：
当时，由题意得：，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当时，由题意得：，
解得：，
∵，
∴符合题意；
综上所述：点P的坐标为或．
故答案为：或．
17．
解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵等腰直角，
∴，，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
∴在直线上运动，
作关于直线的对称点，连接，
∴，，
∴当三点共线时，取最小值，
如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
18．
解：由于构造的都是等边三角形，所以点每运动6次绕原点旋转一周，
根据题意得，
，
，
，
，
……
∴，
根据周期性可得，，
∴点在第二象限，
此时，由等腰三角形的三线合一及含角的直角三角形的性质得，，
由勾股定理得，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三．解答题
19．（1）如图所示，即为所求；
（2）∵，，，和关于x轴对称，
∴，，；
（3）的面积
20．（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
故点的坐标为；
（2）解：∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：∵点，点的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
21．（1）①解：∵，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②证明：过点作轴于点，连接．
根据轴对称可得，
∴，
，
，
，
点P关于y轴的对称点为Q，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴和为等腰直角三角形，
，
．
（2）解：如图中，当点在上时，
，
，
，
；
如图中，当点在的延长线上时，
，
，
，
∴．
22．（1）解：点，令，
得，
，
∴不是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
∵点是“友好点”，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的值为10．
23．（1）解：作出点A、B关于y轴的对称点D、E，则即为所求作的三角形．
点E的坐标为：．
故答案为：．
（2）解：连接，交于一点M，连接，点M即为所求，
根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为．
故答案为：；
（3）解：连接，交于一点F，如图所示：
（4）作出点关于轴对称的点，连接，即可得到点．
24．（1）解：当时，
，
∴点的“3之立信点”的坐标为，
故答案为：；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
．
∴点P的坐标为，
∵点P的“k之立信点”为点，
∴点的坐标为，
时，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：1；
（3）当时，去分母整理得：，
∵原方程无解，
∴①，即，
②，即，则，；；
综上所述，或．
25．（1）解： ，
，，
，，
，，，
．
故答案为：；
（2）解：①过点作于，
设时间经过秒，，则，，，，，
，，
②，
解得，，
，
，
点的坐标为；
（3）解：或．
理由如下：
①当点在点的上方时，过点作，如图2所示，
，
，，
，
，
，即；
②当点在点的下方时；过点作如图3所示，
，
，，
，
，
，
，
即，
综上所述，或．
26．（1）解：如图1，设，，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
过点作，则，
，
，
，
即的度数为；
（2）解：①∵，，，
∴，
由长方形的性质知，
∴；
②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下：
，
∴长方形只在第一象限内移动，
如图2，延长交轴于点，则，
∵，，
∴，
由题意知，，，，
，
∵，
，
，
，
解得．