第一章三角形期末考点复习题（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第一章《三角形》期末考点复习题
考点讲练1：三角形的个数问题
1．如图，以点A为顶点的三角形有 个．
2．如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d．
①当时，能作出 个；
②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ．
考点讲练2：三角形的分类
3．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）
考点讲练3：三角形三边关系的应用
5．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ．
6．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
考点讲练4：与三角形的高有关的计算
7．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为
考点讲练5：根据三角形的中线求长度
9．如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，，求的度数；
(3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长．
10．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点讲练6：根据三角形的中线求面积
11．如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ．
12．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
考点讲练7：三角形内角和定理的证明
13．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作
B．如图②所示，过三角形内部一点P作
C．如图③所示，过点C作于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作
14.如图，已知三角形．
(1)用直尺和三角尺作图：过点A画；
(2)在（1）的条件下，求证：．
考点讲练8：三角形折叠中的角度问题
15．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度．
16．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ．
考点讲练9：三角形内角和定理的应用
17．【特例研究】
（1）如图1，直线经过点，，，，
①求，，的度数
②三角形三个内角，，度数的和为_____；
【拓广探索】
在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论．
请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明；
（2）如图2，已知三角形，求证：；
【启发应用】
（3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数．
18．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数．
考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和
19．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ．
考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形
21．请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）．
示例
22．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等
23．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求四边形的面积；
(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
24．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．

考点讲练13：全等的性质与SSS综合
25．如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
26．已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等
27．如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动．
(1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明；
(2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使；
28．如图，已知点、是内两点，且，，，．
(1)求证：≌；
(2)延长、交于点，若，，求的度数．
考点讲练15：全等的性质与SAS综合
29．已知：如图，点，，在同一条直线上，，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
30．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ．
考点讲练16：全等的性质与ASA综合
31．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
32．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点．
(1)求证：；
(2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由．
考点讲练17：全等的性质与HL综合
33．如图，中，于点D，，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，求的度数．
34．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等．
考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等
35．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　）
A．n B． C． D．
36．数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件：
甲补充条件，全等的判定依据是；
乙补充条件，全等的判定依据是 ；
丙补充条件 ，全等的判定依据是．
(1)请补全乙、丙同学展示的答案；
(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程．
考点讲练19：角平分线的判定定理
37．如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
38．如图1，在四边形中，边AD∥BC，，点为对角线上一点，且．
（1）求证：；
（2）连结交于点，为上一点，连结并延长交于点，且．
①连结，如图2，试判断的形状，并说明理由；
②连结，如图3，求证：平分．
考点讲练20：作角平分线（尺规作图）
39．已知：如图，是的角平分线．
(1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：．
40．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．
在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
考点讲练21：线段垂直平分线的判定
41．如图，以的顶点O圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接CD，则下列说法错误的是( )
A．射线OE是的平分线 B．是等腰三角形
C．OE垂直平分线段CD D．O、E两点关于CD所在直线对称
42．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE= ．
考点讲练22：作已知线段的垂直平分线
43．按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在中，，．
(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．
(2)求所作图形中的度数．
44．如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是 ．
考点讲练23：作垂线（尺规作图）
45．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
46．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）
(1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得；
(2)作图依据______．
考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）
47．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长中线至点Q，使得；
②连接，把集中在中；
③利用三角形的三边关系，可得．
请根据该小组的方法思考，回答下列问题：
(1)直接写出的取值范围是___________；
(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明．
48．【特例感知】
如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（1）中线的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．
【拓展应用】
如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．
考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题）
49．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
50．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）．
考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题）
51．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
52．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题）
53．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
54．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
考点讲练28：全等三角形的综合问题
55．如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（ ）
A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
56．已知，平分，平分，
(1)求的度数．
(2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：；
(3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积
参考答案
考点讲练1：三角形的个数问题
1．4
解：以点A为顶点的三角形有，，，，
∴以点A为顶点的三角形有4个，
故答案为：4．
2． 2 或
解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d．
∴当时，，
∴能作出2个；
故答案为：2
②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或，
故答案为：或
考点讲练2：三角形的分类
3．C
解：∵，
∴是直角三角形，，
∵于点，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∴、是直角三角形，
综上，直角三角形有、、、、，一共5个，
故选：C．
4．直角
解：∵的三个内角的比为，
∴中最大角为，
∴的形状是直角三角形，
故答案为：直角．
考点讲练3：三角形三边关系的应用
5．3
解：由题意得，，
∴，
若，则（舍）；
若，则，
∴边的长为3，
故答案为：3．
6．（1）解：∵ 三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴等边三角形．
考点讲练4：与三角形的高有关的计算
7．B
解：∵是中线，
∴，故D选项不正确，不符合题意；
∴，故B选项正确，符合题意；
∵是高，
∴，
∴，故A选项不正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，故C选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8．5
解：∵，，
∴
故答案为：5
考点讲练5：根据三角形的中线求长度
9．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵的周长为，，
∴设，则，
∵是的中线，
∴，
则，
，
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
综上可知：或．
10．D
∵是的中线，
∴，A说法正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，B说法正确，不符合题意；
∵是高，
∴，
∴，C说法正确，不符合题意；
∵，
∴，D说法错误，符合题意．
故选：D．
考点讲练6：根据三角形的中线求面积
11．
解：∵，E是的中点，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴
∵
∴
解得，
∴，，
则
设，则，
∵，
∴
解得，
即的面积为，
故答案为：
12．A
解：点D、E、F分别为、、的中点，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
考点讲练7：三角形内角和定理的证明
13．C
解：A、∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵
∴，
∵，
∴同A选项中的证明方法可得，
∴，故B不符合题意；
C、根据现有条件无法证明，故C符合题意；
D、设交于O，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故选；C．
14．（1）解：如图，直线即为所求：
（2）证明：，
，，
，
，
即．
考点讲练8：三角形折叠中的角度问题
15．
解：，
，
三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合，
，
，
，
故答案为：．
16．
解：由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
考点讲练9：三角形内角和定理的应用
17．（1）解：①解：∵，，，
∴，
∴
②∵，
∴，
∴
故答案为：
（2）证明：如图，过点C作直线，
∴，
∴
（3）解：延长分别交于点H，Q，如图，
∵，，
∴
过点G作，
∵，
∴，
∴，
∴，
18．解：∵都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与平行，
∴．
考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和
19．B
解：如图，
，，，
，
，
，
∴，
故选：B．
20．
解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形
21．解：如图所示：
22．解：如图所示：
（答案不唯一）．
考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等
23．（1）证明：∵在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的面积；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
24．
解：连接，，

由作图可知，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
考点讲练13：全等的性质与SSS综合
25．（1）证明：点是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
26．（1）证明：在和中，
，
；
（2）解： 设、相交于点，
，
，
又，，
，
，
．
考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等
27．（1）解：点的速度与点的速度相等，都是，
经1s后，，
，
，
，
点为的中点，，
，
，
在和中，，
∴；
（2）解：，
，
点是的中点，，
，
点的运动时间为：，
点运动的时间为，
点运动的速度是：，
当点的速度为时，能够使；
28．（1），
，
，
在和中，
，
∴≌．
（2），
，
，
．
考点讲练15：全等的性质与SAS综合
29．（1）∵
∴
∵，，
∴
∴；
（2）∵
∴，
∴．
30．64
解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
考点讲练16：全等的性质与ASA综合
31．（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
32．（1）证明：分别是的平分线，
．
，
．
又，
．
同理，．
．
在和中，
．
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
∴，
在和中，
，
．
．
，
．
考点讲练17：全等的性质与HL综合
33．（1）证明：在和中
∴
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴，
即．
34．3或7或10
解：∵，，
∴，
∵，
当E在线段上时，
若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
若，
∴，
∴，
∴（舍去），
当E在线段延长线上时，
若，
∴，
∵，
∴，
若，
∴，
∵，
∴，
∴当或7或10秒时，与全等．
故答案为：3或7或10．
考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等
35．C
解：∵和关于直线对称，
∴，，
在与中，
，
∴．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴图2中有对三角形全等；
同理：图3中有对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
36．（1）乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
故答案为：；．
（2）甲：∵，，，
∴；
乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
考点讲练19：角平分线的判定定理
37.D
解： ∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过点O作于E，于F，
∵，
∴，，
∴，
∴平分，故④正确；
∴，
∵,,且,
∴．故②错误；
综上所述正确的有①③④．
故选：D．
38．（1）∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
②过点A作，，
∴，
由①可得，，
∴，
∴，
∴平分；
考点讲练20：作角平分线（尺规作图）
39．（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）解：如图所示，点F即为所求，
∵，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，
∴，
∴．
40．C
【规范解答】
考点讲练21：线段垂直平分线的判定
41．D
A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，
又OE是公共边，
∴△EOC≌△EOD(SSS)，
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，故A选项正确，不符合题意；
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，故B选项正确，不符合题意；
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，
∴OE是CD的垂直平分线，故C选项正确，不符合题意；
D、根据作图不能得出CD平分OE，
∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，故D选项错误，符合题意，
故选D．
42．40°
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°
∴∠ABC=90°-25°=65°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=25°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=65°-25°=40°．
故答案为40°．
考点讲练22：作已知线段的垂直平分线
43．（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线．
（2） ，，
，，
是的角平分线，
，
线段是边上的高，
，
，
，
．
44．①②
解：①是的垂直平分线上的点
，
故①正确；
②在与中，
故②正确；
③如图，连接MD
为的中点，
不平分，
故③错误；
④
故④错误，
综上所述，正确的是①②
故答案为：①②．
考点讲练23：作垂线（尺规作图）
45．A
A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意；
B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
46．（1）解：如图所示，在上截取，延长，在延长线上截取，连接，
（2）解：在和中，
，
∴，
∴即为所求．
故答案为：．
考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）
47．（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由三角形三边关系定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图2，，理由如下：
延长到K，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
48．（1）解：如图1，延长到点，使得，连接．
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长交的延长线于点，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
，
即，
平分；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题）
49．解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
50．（1）证明：①∵，
∴，
因为于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
②由①知，
∴，，
∴；
（2）解：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：结论：．
与（2）同法可得，
∴，，
∴．
考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题）
51．（1）证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）
52．（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°
∴△ACE≌△CBG．
∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF -BF=AE+EF -BF=CG+EF -GE=CE+EF=2EC．
考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题）
53．（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，
∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
54．D
解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
考点讲练28：全等三角形的综合问题
55．C
解：如图所示，连接，
∵于点于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
延长到点G，使，连接，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴平分，故③⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C.
56．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8．