1.2.1 平方差公式 课件（共44张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共44张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
1.2.1 平方差公式
第1章 整式的乘法
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (x + y)(x - y)；
④ (5y + z)(5y - z).
算一算：看谁算得又快又准.
平方差公式
合作探究
1
平方差公式 教学过程幻灯片分页内容
第1页：情境导入，引发思考
问题1：计算下列多项式乘法：（1）(x+1)(x-1) （2）(m+2)(m-2) （3）(2x+1)(2x-1)。请学生独立完成后，观察结果与原式的结构特点，思考：这类算式的结果有什么规律？
第2页：探究推导，得出公式
1. 引导学生分析上述算式共性：都是两个数的和与这两个数的差相乘。设这两个数为a、b，即(a+b)(a-b)。2. 推导过程：用多项式乘法法则展开：(a+b)(a-b)=a -ab +ab -b ，合并同类项后得a -b 。3. 总结平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b ，语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
第3页：例题解析，巩固应用
例1：计算(3x+2)(3x-2)。解析：将3x看作a，2看作b，代入公式：(3x) -2 =9x -4。例2：计算(-x+5y)(-x-5y)。引导学生识别a=-x，b=5y，应用公式得(-x) -(5y) =x -25y 。
第4页：规律总结，深化理解
1. 平方差公式适用条件：两个因式为“两数和与两数差”的形式（即相同项与相反项的乘积）。2. 关键：找准相同项（a）和相反项（b），结果为相同项的平方减去相反项的平方。3. 课堂小练：口答(1)(a+3)(a-3) (2)(2a+1)(2a-1)，检验学生掌握情况。
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (x + y)(x - y) = x2 - y2
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= x2－12
= m2－22
= x2－y2
= (5y)2－z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
(x + y)(x y) = x2 y2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(x – y) (x + y) = x2 y2，
(y + x)( y + x ) = x2 y2.
平方差公式：
知识要点
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(x + y)(x - y) = x2 - y2
相同为 x
相反为 y
适当交换
合理加括号
例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y).
解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替，
可得
典例精析
分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算.
(2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1.
看作 x
看作 y
例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ).
解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得
典例精析
(x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2.
看作 y
例2 运用平方差公式计算:
.
解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得
＝
＝.
例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a).
典例精析
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b)
＝(4a)2－b2
＝16a2－b2.
方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式．
将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
平方差公式的几何验证
2
合作探究
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
a
a
a2
b
a
a2 - b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
自主探究
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900
平方差公式的运用
3
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母
表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a 1)(a + 1) = a2 1
例4 计算：(1) 1002×998；
解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
典例精析
于是由平方差公式得
(1000＋2)(1000－2) = 10002－22
= 1000000－4
= 999996
因此 1002×998 = 999996.
例4 计算： (2) 118×122.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
典例精析
例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
1. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
3. 若，则， 的值分别为
_________.
，
4. 榫卯结构是我国古建筑中采用的一种凹凸
结合的连接方式.如图①是一个榫卯结构的零部件，整体是一
个长为，宽为,高为 的长方体，中
间凿掉一个棱长为 的正方体，图②是其截面图.则这个零
部件的体积为____________ .
5. 已知,求 的值.
【解】原式 .
6. 教材P17练习T2 用平方差公式简便计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式 .
7. [厦门校级期中] 先化简，再求值：
，其中， .
【解】原式
.
当， 时，原式
.
8. 试说明：对任意自然数 ，式子
的值都能被12整除.
【解】 .
所以对任意自然数，式子 的
值都能被12整除.
9. 若，则 等于
( )
B
A. B. C. 6 D. 8
10. 利用平方差公式计算 ，以下结果正
确的是( )
D
A. B.
C. D.
11. 若，则 的值为
( )
B
A. 4 B. 8 C. D.
12. 如图，大正方形与
小正方形的面积之差是48，则阴影部分的
面积是( )
C
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
【点拨】设大正方形的边长为 ,小正方形
的边长为,所以 ,
.因为大正方形与小正方形
的面积之差是48，所以 .根据
题图可得 ,所以
,
.所以阴影部分的面积 故选C.
13. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇
数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，如 ，
，则8，16均为“和谐数”.在不超过217的正整数
中，所有的“和谐数”之和为_______.
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14. [北京海淀区期中] 在月历上，我们可以发现其中某些数
满足一定的规律.
（1）图①是某月的月历，我们用如图所示的“ ”字型框架任
意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置 ，
上的数相乘，位置， 上的数相乘，再相减，例如：
____， ____，不难发现，
结果都等于____；
15
15
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（2）设“”字型框架中位置上的数为 ，请利用整式的运算
对（1）中的规律加以说明；
【解】因为“”字型框架中位置上的数为，所以位置 ，
，，上的数依次为，，，.所以 .
（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分
（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的
乘积为105，那么中间位置上的数 的值为____.
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【点拨】因为中间位置上的数为，所以最小的数为 ，
最大的数为.依题意得 ，所以
，所以，所以或
（不符合题意，舍去）.所以中间位置上的数 .
15. 阅读下列材料：#1
某同学在计算时，把3写成 后，
发现可以连续运用平方差公式计算：
.他很受启发,后来在求
时，联
想到“凑成”平方差公式：将乘积式前面乘1，并且把1写成
，得 .
解答下列问题：#1.2
（1）计算： ；
【解】原式
.
（2）化简：
.
当 时，
原式 ；
当 时，
原式
.
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用