1.2.2.1完全平方公式 课件（共23张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共23张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
1.2.2.1完全平方公式
第1章 整式的乘法
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
完全平方公式教学课件（教学过程部分）
幻灯片1：情境导入——引发思考
问题1：现有边长为a的正方形花坛，现将边长增加b，扩建为新正方形花坛，新花坛的面积如何表示？（展示图形）
问题2：若将原正方形边长减少b，新正方形面积又该如何表示？
引导学生从图形面积角度初步感知，激发探究欲望。
幻灯片2：探究推导——得出公式
1. 代数推导：利用多项式乘法法则计算（a+b） 和（a-b）
（a+b） = (a+b)(a+b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b
（a-b） = (a-b)(a-b) = a - ab - ab + b = a - 2ab + b
2. 几何验证：结合导入环节的正方形面积，对应代数表达式，验证公式合理性。
3. 总结公式：完全平方公式：（a±b） = a ± 2ab + b
幻灯片3：公式辨析——深化理解
1. 口诀记忆：“首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号跟着首尾项”
2. 易错警示：判断对错并改正
①（a+b） = a + b （×，缺少2ab）
②（a-b） = a - b （×，应为a - 2ab + b ）
强调：公式中“2ab”的符号由括号内两项的符号决定。
幻灯片4：基础应用——巩固公式
例1：计算（1）（3x+2） （2）（5y-1）
解析：（1）将3x看作a，2看作b，代入公式：（3x） + 2×3x×2 + 2 = 9x + 12x + 4
（2）将5y看作a，1看作b，代入公式：（5y） - 2×5y×1 + 1 = 25y - 10y + 1
练习：计算（2a+3b） 和（4x-3y） ，学生板演，师生点评。
完全平方公式
p2 + 2p + 1
m2 + 4m + 4
p2－2p + 1
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？
(x＋y)2 = .
x2 + 2xy + y2
(x－y)2 = .
x2－2xy + y2
1
完全平方公式
(x + y)2 = ；
x2 + 2xy + y2
(x - y)2 = .
x2 - 2xy + y2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
知识要点
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式.
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图 2
想一想：
设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b) = a ± 2ab + b .
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
完全平方公式1：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
完全平方公式2：
a b
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
a2
(1) ( a + )2；
= a2
+ a
+
+
+ 2 a
解：( a + )2 =
例1 运用完全平方公式计算：
典例精析
解：(2x－3)2 =
= 4x2
(3) (2x－3)2.
( x－y )2 = x2 － 2xy + y2
(2x)2
－ 2×(2x)×3
+ 32
－ 12x
+ 9.
(2) (3m＋n)2.
解：将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代 入，可得
(3m＋n )2＝ (3m)2＋2 3m n ＋n2
＝9m2＋6mn＋n2.
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
所以(m＋1)xy＝±2×6x · 5y.
所以m＋1＝±60.
所以 m＝59 或 m＝－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解．
1. 下列算式： ；
； ；
.其中计算
错误的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如果,则 的值是( )
D
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】因为 ,
,所以,.所以 .所
以 .
3. 教材P19练习T3 边长为 的正方形如图所示，
这个正方形的面积不能表示为( )
C
A.
B.
C.
D.
4. 在多项式 中添加一个单项式，使
其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______________
_____（写出一个即可）.
（答案不唯
一）
5. 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） ；
原式
.
（4） .
原式
.
6. 已知,,为实数，且 ，
，则,, 之间的大小关系是( )
A
A. B. C. D.
【点拨】因为①， ，
由，得，即 .因为
，所以，所以，即 ；由
，得，即 ，所以
，所以 ，所以
，即 .
7. 已知， ，则
的值为( )
B
A. 2 B. 19 C. 25 D. 31
【点拨】因为 ，所以
.所以 .又因为
，所以.所以.所以 .故选B.
8. 现有甲、
乙两个正方形纸片，如图，将
甲、乙并列放置后得到图①，
已知点为 的中点，连接
， ；将乙纸片放到甲纸
19
片的内部得到图②，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图
②中阴影部分的面积为6，则图①中阴影部分的面积为____.
【点拨】设甲正方形纸片的边
长为 ,乙正方形纸片的边长为
,则, ,
，所以
，即
.因为点为 的中点，所以
.因为题图②中阴影部分的面积
，所以
. 所以
.所以题图①中阴影部分的面积 .
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构
特点及结果两方面）